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行列の定義（2）
いくつかの基本的で重要な行列について、ここで定義します。
重要な行列
定義 2.2（零行列）
成分がすべて $0$ であるような $(m, n)$ 型の行列を $(m, n)$ 型の零行列（$\text{zero matrix}$）といい、$O_{m, n}$ と表す。混同のおそれがない場合は、単に $O$ とも表す。
$$
\begin{equation} \tag{2.1.2}
O_{m, n} = \begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 \\
\end{pmatrix}
\end{equation}
$$
定義 2.3（正方行列）
行の数と列の数が等しい行列を正方行列（$\text{square matrix}$）という。特に、$(n, n)$ 型の行列を $n$ 次の正方行列という。
$$
\begin{align*} \tag{2.1.3}
A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
正方行列において、対角線上に並ぶ成分を対角成分（$\text{diagonal element}$）と呼びます。すなわち、定義に示す行列 $A$ において、$a_{11}, a_{22}, \cdots, a_{nn}$ が対角成分にあたります。
次に定義する対角行列と単位行列や、後に定義する正則行列などは正方行列です。線型代数学においては、正方行列を土台にして議論を進めることが多くあり、例えば、行列や固有値と固有ベクトル、ジョルダン標準形なども正方行列を基礎としております。このように、正方行列は線型代数学において非常に重要な概念であり、幾何における三角形と同じくらい重要であるといえます。
定義 2.4（対角行列）
対角成分以外の成分がすべて $0$ である行列を対角行列（$\text{diagonal matrix}$）という。
$$
\begin{align*} \tag{2.1.4}
A = \begin{pmatrix}
a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & a_{22} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{nn} \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
対角行列は、以下のように表されることもあります。大きな $O$ は、その部分の成分がすべて $0$ であることを表しています。
$$
\begin{align*}
A = \begin{pmatrix}
\begin{matrix}
a_{11} & \\ & a_{22}
\end{matrix} & \large{O} \\
\large{O} & \begin{matrix}
\ddots & \\ & a_{22} \\
\end{matrix}
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
定義 2.5（単位行列）
対角成分が $1$ で、それ以外の成分がすべて $0$ である行列を単位行列（$\text{unit matrix}$）という。$n$ 次の単位行列を $E_n$ と表す。また、混同のおそれがない場合は、単に $E$ とも表す。
$$
\begin{align*} \tag{2.1.5}
E_n = \begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
単位行列は $E = (\, \delta_{ij} \,)$ とも表されます。$\delta_{ij}$ は、クロネッカーのデルタ（$\text{Kronecker’s delta}$）と呼ばれる記号であり、次のように定義されます。いま $E$ の $(i, j)$ 成分を $e_{ij}$ とすれば、$i = j$ ならば $e_{ij} = 1$ かつ $i \neq j$ ならば $e_{ij} = 0$ であることから $e_{ij} = \delta_{ij}$ となり、したがって $E = (\, e_{ij} \,) = (\, \delta_{ij} \,)$ であることがわかります。
$$
\begin{align*}
\delta_{ij} = \left\{ \begin{array} {cc}
1 & (i = j) \\ 0 & (i \neq j)
\end{array} \right.
\end{align*}
$$
まとめ
- 成分がすべて $0$ であるような行列を零行列といい、$O_{m, n}$ と表す。
- 行の数と列の数が等しい行列を正方行列という。対角行列、単位行列などは正方行列である。
- 対角成分以外の成分がすべて $0$ である行列を対角行列という。
- 対角成分が $1$ で、それ以外の成分がすべて $0$ である行列を単位行列といい、$E_n$ と表す。
参考文献
[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
[3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010.
[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[6] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[7] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[8] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[9] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[10] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[11] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2005.
[12] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[13] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.
初版：2023-01-03 | 改訂：2024-09-01
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