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行列の定義（2）
いくつかの、基本的で重要な行列を定義します。
基本的で重要な行列
定義 2.2（零行列）
成分がすべて $0$ であるような $(m, n)$ 型の行列を $(m, n)$ 型の零行列（$\text{zero matrix}$）といい、$O_{m, n}$ と表す。混同のおそれがない場合は、単に $O$ とも表す。
$$
\begin{equation} \tag{2.1.2}
O_{m, n} = \begin{pmatrix}
\; 0 & \cdots & 0 \; \\
\; \vdots & \ddots & \vdots \; \\
\; 0 & \cdots & 0 \; \\
\end{pmatrix}
\end{equation}
$$
解説
零行列とは
零行列とは、成分がすべて $0$ である行列のことです。
零行列の役割（重要性）
行列の演算において、零行列は、通常の数（実数や複素数）における $0$ の役割を果たします。そのような意味で、零行列は極めて重要な行列です。
行列の和やスカラー倍、 行列の積といった演算や、そこでの零行列の役割については、 次項以降で詳しくみていきます。
定義 2.3（正方行列）
行の数と列の数が等しい行列を正方行列（$\text{square matrix}$）という。特に、$(n, n)$ 型の行列を $n$ 次の正方行列という。
$$
\begin{align*} \tag{2.1.3}
A = \begin{pmatrix}
\; a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \; \\
\; a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \; \\
\; \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \; \\
\; a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \; \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
解説
正方行列とは
正方行列とは、行の数と列の数が等しく、成分が正方形状に並ぶ行列です。
正方行列において、対角線上に並ぶ成分を対角成分（$\text{diagonal element}$）と呼びます。すなわち、上記の （2.1.3）式において、$a_{11}, a_{22}, \cdots, a_{nn}$ が対角成分にあたります。
正方行列の役割（重要性）
次に定義する 対角行列や 単位行列、後に定義する 正則行列など、重要な行列は基本的に正方行列であることが多いです。
線型代数学においては、正方行列を土台にして議論を進めることが多く、例えば、 行列式や、 固有値と固有ベクトル、ジョルダン標準形といったテーマでは、正方行列を基礎として論理が展開します。
このように、正方行列は線型代数学において非常に重要な概念であり、幾何における三角形と同じくらい重要であるといえます。（幾何では、正方形よりも三角形の方が重要ですが、線形代数では 三角行列よりも正方行列の方が重要ですね $\cdots$ 。）
定義 2.4（対角行列）
対角成分以外の成分がすべて $0$ である行列を対角行列（$\text{diagonal matrix}$）という。
$$
\begin{align*} \tag{2.1.4}
A = \begin{pmatrix}
\; a_{11} & 0 & \cdots & 0 \; \\
\; 0 & a_{22} & \cdots & 0 \; \\
\; \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \; \\
\; 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \; \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
解説
対角行列とは
対角行列とは、正方行列のうち、対角成分以外のがすべて $0$ である行列です。
対角行列は、次のように表されることもあります。ここで、大きな $O$ は、その部分の成分がすべて $0$ であることを表しています。
$$
\begin{align*}
A = \begin{pmatrix}
\; \begin{matrix}
a_{11} & \\ & a_{22}
\end{matrix} & \large{O} \; \\ \\
\; \large{O} & \begin{matrix}
\ddots & \\ & a_{nn} \\
\end{matrix} \;
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
対角行列の役割（重要性）
対角行列は和や積の演算について可換であり、対角行列どうしの和や積は、それぞれの対角成分の和や積を成分に持つ対角行列になります。
ある種の行列に関する問題は、対角行列の場合に簡単になることがあります。そのため、どのような正方行列が対角化可能か、といった考察が非常に重要となります。また、 行列の対角化は、古典力学や量子力学などの物理における応用上も重要な問題です。
行列の対角化については、 固有値と固有ベクトルにおいて詳しく考察します。
定義 2.5（単位行列）
対角成分が $1$ で、それ以外の成分がすべて $0$ である行列を単位行列（$\text{unit matrix}$）という。$n$ 次の単位行列を $E_n$ と表す。また、混同のおそれがない場合は、単に $E$ とも表す。
$$
\begin{align*} \tag{2.1.5}
E_n = \begin{pmatrix}
\; 1 & 0 & \cdots & 0 \; \\
\; 0 & 1 & \cdots & 0 \; \\
\; \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \; \\
\; 0 & 0 & \cdots & 1 \; \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
解説
単位行列とは
単位行列とは、正方行列のうち、対角成分が $1$ で、それ以外の成分がすべて $0$ である行列です。
単位行列は $E = (\, \delta_{ij} \,)$ とも表されます。ここで、$\delta_{ij}$ は、クロネッカーのデルタ（$\text{Kronecker’s delta}$）と呼ばれる記号であり、次のように定義されます。
$$
\begin{align*}
\delta_{ij} = \left\{ \begin{array} {cc}
1 & (i = j) \\ 0 & (i \neq j)
\end{array} \right.
\end{align*}
$$
いま $E$ の $(i, j)$ 成分を $e_{ij}$ とすれば、$i = j$ ならば $e_{ij} = 1$ かつ $i \neq j$ ならば $e_{ij} = 0$ であることから $e_{ij} = \delta_{ij}$ となり、したがって $E = (\, e_{ij} \,) = (\, \delta_{ij} \,)$ であることがわかります。
単位行列の役割（重要性）
行列の積の演算において、単位行列は、通常の数（実数や複素数）における $1$ の役割を果たします。そのような意味で、単位行列は極めて重要な行列です。
行列の積の演算や 正則行列の定義における単位行列の役割については、 次項以降で詳しくみていきます。
まとめ
- 成分がすべて $0$ であるような行列を零行列といい、$O_{m, n}$ と表す。
- 行の数と列の数が等しい行列を正方行列という。対角行列、単位行列などは正方行列である。
- 対角成分以外の成分がすべて $0$ である行列を対角行列という。
- 対角成分が $1$ で、それ以外の成分がすべて $0$ である行列を単位行列といい、$E_n$ と表す。
参考文献
[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
[3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010.
[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008.
[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022.
[8] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.
初版：2023-01-03 | 改訂：2025-02-17
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