行列の区分け（2）

区分けされた行列について成り立つ演算法則を示します。行列の区分けの考え方は、和とスカラー倍、積の演算に対応しています。

適切に区分けされた行列どうしの演算では、$1$ つ $1$ つのブロックを成分のように取り扱うことができます。

演算法則#

定理 2.6（行列の区分け）#

（$\text{i}$）$(l, m)$ 型の行列 $A, B$ を同じ型のブロックに区分けするとき、行列の和とスカラー倍は次のように表せる。

（$\text{ii}$）$(l, m)$ 型の行列 $A$ と $(m, n)$ 型の行列 $B$ を、$A$ の列方向と $B$ の行方向について同じ型のブロックに区分けするとき、行列の積は次のように表せる。

要するに、ブロック行列に関しても、基本的には通常の行列のように和とスカラー倍や積の演算ができるということです。ただし、和と積の演算については行列の区分けの仕方に条件があります。

まず、ブロック行列の和が定義されるためには、$2$ つの行列が同じ型のブロックに区分けされている必要があります。そもそも行列の和 $A + B$ が定義されるためには $2$ つの行列 $A, B$ が同じ型である必要があります。上の場合、$A, B$ はともに $(l, m)$ 型であり、これを満たしています。また、$A, B$ はともに、縦に $p$ 個、横に $q$ 個の計 $pq$ 個のブロックに区分けされていますが、更にその区分けの仕方も同じである必要があります。すなわち、上から $s$ 番目、左から $t$ 番目のブロック $A_{st}, B_{st}$ はともに $(l_{s}, m_{t})$ 型であり、すべての $s, t$ についてこれが成り立つ必要があります。明示的には、次の（$\ast$）式の条件を満たす必要があるといえます。つまり、$A, B$ の各ブロックがすべて同じ型に区分けされている必要があるということです。これは（$2.4.2$）式において、右辺の各成分 $A_{st} + B_{st}$ が定義されるために必要な条件と考えれば明らかといえます。

次に、ブロック行列の積が定義されるためには、$A$ の列方向と $B$ の行方向について同じ型のブロックに区分けされている必要があります。そもそも行列の積 $AB$ が定義されるために $A$ の列の数と $B$ の行の数が一致している必要があります。上の場合、$A$ は $(l, m)$ 型、$B$ は $(m, n)$ 型であり、これを満たしています。また、$A$ は縦に $p$ 個、横に $q$ 個の計 $pq$ 個のブロックに、$B$ は縦に $q$ 個、横に $r$ 個の計 $qr$ 個のブロックに、それぞれ区分けされていますが、$A$ の横方向のブロックの数と $B$ の縦方向のブロックの数（$q$ 個）が一致している必要があります。これに加えて、次の条件をともに満たしている必要があります。すなわち、$A$ の上から $s$ 番目、左から $t$ 番目のブロック $A_{st}$ は $(l_{s}, m_{t})$ 型、$B$ の上から $t$ 番目、左から $u$ 番目のブロック $B_{tu}$ は $(m_{t}, n_{u})$ 型として、すべての $t$ について $m_{t}$ が一致する必要があるということです。簡単にいえば、$A$ の横方向と $B$ の縦方向が同じように区切られている必要があるということです。これも（$2.4.5$）式において、行列の積 $A_{st} B_{tu}$ が定義されるために必要な条件と考えれば明らかといえます。

次の（$\ast \ast$）式は、関係する $l, m, n$ すべての区切り方に関する条件を並べたものです。しかしながら、上の考察より、ブロック行列の積を考えるためには、$A$ と $B$ が、それぞれ $A$ の列方向、$B$ の行方向について区切り方を共有していればよいことがわかります。すなわち、$A$ と $B$ の積に関する（$2.4.4$）式が成り立つためには、（$\ast \ast$）式のうち $m$ に関する $m &= m_1 + m_2 + \cdots + m_q$ という条件のみを満たせばよいということです。

以上のように、特定の条件を満たす場合、区分けされた行列どうしの和や積について、あたかもブロックを成分のようにして（通常の行列の和や積と同じように）計算できます。

定理 2.6の証明は、（$\text{i}$）和とスカラー倍については明らかといえます。行列の区分けの条件（$\ast$）を満たしていることを確認すれば、あとは行列の成分に着目することで簡単に示すことができます。（$\text{ii}$）積についても、特別な発想なしに、定義に従って粛々と示すことができますが、添え字が多いため丁寧な取り扱いを要します。下に（$\text{ii}$）積の場合のみ証明します。

証明#

$(l, m)$ 型の行列 $A = (\, a_{ij} \,)$ と $(m, n)$ 型の行列 $B = (\, b_{jk} \,)$ を、それぞれ $pq$ 個、$qr$ 個のブロックに区分けする。

このとき、$A_{st}$ が $(l_s, m_t)$ 型であり、$B_{tu}$ が $(m_t, n_u)$ 型であるとすると、以下が成り立つ。

また、$AB = C$ としてこれを $pr$ 個のブロックに分け、$C_{su}$ は $(l_s, n_u)$ 型であるとする。

このとき、次が成り立てば題意が示される。

まず、$A_{st}$ は $(l_s, m_t)$ 型であり、$B_{tu}$ は $(m_t, n_u)$ 型であるから、右辺の行列は $(l_s, n_u)$ 型となり、$C_{su}$ の型と一致する。次に、両辺の行列の $(\alpha, \beta)$ 成分を比較する。

したがって、両辺の行列の成分が等しいので（$\dag$）が成り立つ。$\quad \square$

証明の骨子#

区分けの条件を確認しつつ、行列の積の定義に従って示します。添え字の管理に細心の注意を払います。

• まず、行列 $A, B$ を置きます。

  • $A = (\, a_{ij} \,)$ を $(l, m)$ 型の行列、$B = (\, b_{jk} \,)$ を $(m, n)$ 型の行列とします。$i, j, k$ は、$A, B$ の成分を表す添え字として用います。

    $$ \begin{align*} \left\{ \begin{align*} \; i &= 1, 2, \cdots, l \\ j &= 1, 2, \cdots, m \\ k &= 1, 2, \cdots, n \end{align*} \right. \end{align*} $$
    
    

  • $A, B$ をそれぞれ $pq$ 個、$qr$ 個のブロックに区分けします。

    $$ \begin{align*} \begin{array} {ccc} A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1q} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{p1} & A_{p2} & \cdots & A_{pq} \\ \end{pmatrix} , & B = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1r} \\ B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2r} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ B_{q1} & B_{q2} & \cdots & B_{qr} \\ \end{pmatrix} \end{array} \end{align*} $$
    
    

  • ブロック行列の積が考えられるための区分けの条件を確認します。すなわち、$A$ の列方向と $B$ の行方向について同じように区切られているようにします。$s, t, u$ は、ブロックを特定する添え字として用います。

    $$ \begin{align} \begin{array} {ccc:ccc} \left\{ \begin{align*} \; s = 1, 2, \cdots, p \\ t = 1, 2, \cdots, q \\ u = 1, 2, \cdots, r \\ \end{align*} \right. & & & & & \left\{ \begin{align*} \quad l &= l_1 + l_2 + \cdots + l_p \\ m &= m_1 + m_2 + \cdots + m_q \\ n &= n_1 + n_2 + \cdots + n_r \\ \end{align*} \right. \end{array} \end{align} \tag{2.4.8} $$
    
    

• 次に、行列の積 $AB$ の区分けを行います。

  • $AB = C$ としてこれを $pr$ 個のブロックに分けます。

    $$ \begin{align*} C = \begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1r} \\ C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2r} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{p1} & C_{p2} & \cdots & C_{pr} \\ \end{pmatrix} \end{align*} $$
    
    

  • 示したい命題は、$C$ の各ブロックが次の式により計算される、ということを主張するものです。これを（$\dag$）と置きます。

    $$ \begin{align*} C_{su} = \displaystyle \sum_{t} A_{st} B_{tu} \tag{\dag} \end{align*} $$
    
    

• （$\dag$）の両辺を比較します。

  • まず、両辺の行列の型が一致することを確認します。そもそも両辺の行列が比較可能であることを確かめる必要があるためです。
    • 左辺の行列 $C_{su}$ は $(l_s, n_u)$ 型です。
    • 右辺について、$A_{st}$ は $(l_s, m_t)$ 型、$B_{tu}$ は $(m_t, n_u)$ 型なので、その積 $A_{st} B_{tu}$ は $(l_s, n_u)$ 型となります。
    • よって、両辺の行列の型が一致します。
  • 次に、両辺の行列の成分が一致していることを確認します。確認する対象を $(\alpha, \beta)$ 成分と置きます。

    • 左辺の $C_{su}$ は $C$ を区分けしたブロックの $1$ つであり、$C$ とは積 $AB$ のことですから、$C_{su}$ の成分は $A$ と $B$ の成分の積の和で示せると考えられます。

    • また、$C_{su}$ は上から $s$ 番目、左から $u$ 番目のブロックですので、以下のように置くことで、$C_{su}$ の $(\alpha, \beta)$ 成分を $C$ の $(i, j)$ と対応させることができます。

      $$ \begin{align*} \left\{ \begin{align*} \quad i &= l_1 + l_2 + \cdots + l_{s-1} + \alpha \\ k &= n_1 + n_2 + \cdots + n_{u-1} + \beta \\ \end{align*} \right. \end{align*} $$
      
      

    • したがって、$C_{su}$ の $(\alpha, \beta)$ 成分は $C$ の $(i, j)$ 成分と等しく $\displaystyle \sum_{j} a_{ij} b_{jk}$ と表せることがわかります。

    • 右辺について、まず行列の積 $A_{st} B_{tu}$ の $(\alpha, \beta)$ 成分を示して、これを $t$ について足し上げることを考えます。

    • $A_{st} B_{tu}$ の $(\alpha, \beta)$ 成分についても、上の $i$ と $k$ により、$A$ と $B$ の成分と対応させることができます。ただし、$A_{st}$ と $B_{tu}$ は区分けされたブロックなので、$A_{st}$ の列と $B_{tu}$ の行を示す添え字 $j$ の範囲は $m_1 + m_2 + \cdots + m_{t-1} + 1 \sim m_1 + m_2 + \cdots + m_{t}$ に限られます。よって、$A_{st} B_{tu}$ の $(\alpha, \beta)$ 成分は次のように表されます。

      $$ \begin{align*} \sum_{j = m_1 + m_2 + \cdots + m_{t-1} + 1}^{m_1 + m_2 + \cdots + m_{t}} a_{ij} b_{jk} \end{align*} $$
      
      

    • $A_{st} B_{tu}$ の $(\alpha, \beta)$ 成分が表せたので、これを $t$ について足し上げますと、$\displaystyle \sum_{t} A_{st} B_{tu}$ の $(\alpha, \beta)$ 成分は次のように表せます。

      $$ \begin{align*} \sum_{t}^q \left( \sum_{j = m_1 + m_2 + \cdots + m_{t-1} + 1}^{m_1 + m_2 + \cdots + m_{t}} a_{ij} b_{jk} \right) = \sum_{j} a_{ij} b_{jk} \end{align*} $$
      
      

    • これは、$t = 1$ のとき $1 \leqslant j \leqslant m_1$、$t = 2$ のとき $m_1 + 1 \leqslant j \leqslant m_1 + m_2$ $\cdots$、と $1$ つずつ考えていくとわかりやすいです。結局、$t$ について足し上げると、すべての $j$ についての和になるということです。

  • 以上の考察から、（$\dag$）の両辺の行列の成分が等しいことがわかりました。これにより題意が示されました。

まとめ#

• ブロック行列に関して、通常の行列のように和とスカラー倍や積の演算ができる。
  
  • ブロック行列の和が考えられるのは、$2$ つの行列が同じ型のブロックに区分けされている場合に限る。
    
  • ブロック行列の積が考えられるのは、$A$ の列方向と $B$ の行方向について同じ型のブロックに区分けされている場合に限る。
    

参考文献#