置換の定義

置換とは、集合の上で定義される全単射です。

ここでは、行列式の定義に必要となる、置換の定義するとともに、置換の表記法を導入します。置換は、線型代数だけでなく、代数学（群論やガロア理論など）にも現れる非常に重要な概念です。

置換の定義#

まず、置換の定義を示します。

定義 3.1（置換）#

$M$ を集合とすると、$M$ から $M$ への全単射 $\sigma : M \to M$ を、$M$ 上の置換（$\text{permutation}$）という。

解説#

置換とは：集合の上の全単射#

置換とは、ある集合の上で定義された全単射です。すなわち、ある集合 $M$ から $M$ への写像で、全単射であるものを置換と呼ぶということです。

文字の集合 $M_{n}$#

まず、$M_{n}$ を $n$ 個の文字 $1, 2, \cdots, n$ からなる集合とします。

いま、文字の集合に対して置換を定義しますが、一般に、任意の有限集合に対して置換が定義できます。

集合 $M_{n}$ 上の全単射#

次に、集合 $M_{n}$ から $M_{n}$ への写像 $\sigma : M_{n} \to M_{n}$ について考えます。

$\sigma$ は写像であるので、任意の $1, \cdots, n \in M_{n}$ に対して $\sigma(1), \, \cdots, \, \sigma(n) \in M_{n}$ が存在します（写像の定義を参照）。

また、$\sigma$ を単射とすると、$1, \cdots, n$ の $\sigma$ による像 $\sigma(1), \, \cdots, \, \sigma(n)$ は互いに相異なります（単射の定義を参照）。

更に、任意の $\sigma$ による像 $\sigma(1), \, \cdots, \, \sigma(n) \in M_{n}$ に対して、$M_{n}$ の元 $1, \cdots, n \in M_{n}$ が存在します（全射の定義を参照）。つまり、置換 $\sigma$ は、$M_{n}$ のすべての文字を置き換えます。

このような全単射 $\sigma : M_{n} \to M_{n}$ こそ、$M_{n}$ 上の置換 $\sigma$ に他なりません。

置換と順列の対応#

$M_{n}$ 上の置換は、$n$ 個の文字の順列と $1$ 対 $1$ に対応します。

上記の考察より、置換 $\sigma$ による像 $\sigma(1), \, \cdots, \, \sigma(n)$ は、もとの文字 $1, \cdots, n$ の順序を入れ替えたものといえます。これは、$n$ 個の文字 $1, \cdots, n$ の順列に他なりません。

つまり、$M_{n}$ 上の置換 $\sigma$ は、$n$ 個の文字の順列と、$1$ 対 $1$ に対応するものです。

$n$ 文字の置換の総数は $n!$ 個#

$n$ 個の文字の集合 $M_{n}$ に対して、$M_{n}$ 上の置換 $\sigma$ 全体の集合を $S_{n}$ とします。

このとき、$S_{n}$ の要素の数は $n!$ 個になります。

このことは、置換を、$n$ 個の要素からなる集合の要素の並び替え（すなわち $n$ 個の要素の順列）と考えれば、その総数が $n!$ になることからも理解できます。

用語について（置換）#

上記のように定義される「置換」は、英語の教科書では $\text{permutation}$ が用いられています。

また、確率論に現れる「順列」も、同じく $\text{permutation}$ と訳されます。（順列を意味する記号 ${}_n \mathrm{P}_k$ の $\mathrm{P}$ は、$\text{permutation}$ の頭文字を表しています。）

このことからも、「置換」と「順列」が $1$ 対 $1$ に対応するものであることがわかります。

置換の表記法#

次に、置換の表記法を示します。

置換の表記法#

$M_{n} = \{\, 1, 2, \cdots, n \, \}$ とすると、$M_n$ 上の置換 $\sigma$ を次のように表す。

解説#

置換による文字の対応#

$n$ 文字の置換 $\sigma$ は、上記の（3.1.2）式のように、置換による文字の対応として表すことができます。

置換 $\sigma$ を $n$ 個の文字の順列（並び替え）と考えると、（3.1.2）式は、上段にもとの文字を、下段に置換による行き先の文字を並べたものと捉えることができます。

（3.1.2）式においては、両辺に $\sigma$ が現れます。左辺の $\sigma$ は置換そのものを、左辺の $\sigma(1), \, \cdots, \, \sigma(n)$ は置換 $\sigma$ による像（文字）を表している点に注意が必要です。

もとの文字と置換による像との対応#

具体的に、置換 $\sigma$ により、$1, 2, \cdots, n \in M_{n}$ が、それぞれ $i_1, \, i_2, \, \cdots, \, i_n \in M_{n}$ に移されるとします。このとき、$\sigma$ は次のように表せます。

ここで、$\sigma(1) = i_1, \; \sigma(2) = i_2, \; \cdots, \; \sigma(n) = i_n$ であり、$n$ 個の文字 $1, 2, \cdots, n$ と、その（置換 $\sigma$ による）像は、それぞれ次のように対応しています。

置換の表記は順序によらない#

置換 $\sigma$ は、文字 $1, \cdots, n$ が、それぞれどの文字に移るかによって定まります。したがって、上記の表記法において、上段と下段の組み合わせが変わらなければ、並び順が変わっても問題ありません。

並び順の変更#

つまり、上段が $1, 2, \cdots, n$ の順に並んでなくても良いということです。文字の行き先が変わらなければ、並び順を変えても写像として同じだからです。

このような並べ替えは、次項で導入する置換の積の計算において大変便利です。

並び順の変更（具体例）#

例えば、$4$ つの文字からなる集合 $M_4$ 上の置換として、次のような $\sigma$ を考えます。

また、同じく $M_4$ 上の置換として、次のような $\sigma^{\prime}$ を考えます。

このとき、$\sigma$ と $\sigma^{\prime}$ において、上段と下段の文字の組み合わせは同じです。

したがって、これらは同じ置換を表しているといえます。

まとめ#

• 集合 $M$ から $M$ への全単射 $\sigma : M \to M$ を、$M$ 上の置換という。

• 置換と順列は $1$ 対 $1$ に対応する。

• $M_n$ を $n$ 文字の集合とすると、$M_n$ 上の置換 $\sigma$ を次のように表す。

  $$\begin{align*} \sigma = \begin{pmatrix} \, 1 & 2 & \cdots & n \, \\ \, \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \, \end{pmatrix} \end{align*}$$

• 置換による行き先が変わらなければ、文字の並び順を変えて表記してもよい。

参考文献#

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