置換の符号の一意性

置換を 互換の積として表したとき、積に含まれる互換の数の偶奇は、もとの置換に対して一意に定まります。

これは、 置換の符号が定義できる根拠となる定理です。

置換の符号が定義できる根拠#

定理 3.5（置換の符号の一意性）#

任意の置換を互換の積として表したとき、積に含まれる互換の数が偶奇は与えられた置換により一意に定まる。

解説#

置換の分解（互換の積）は一意的でない#

任意の 置換は 互換の積として表すことができます（ 定理 3.3（置換の分解））。

しかしながら、置換を互換の積として表したとき、その積の形は一意的に定まりません。つまり、ある置換を互換の積として表す方法は幾通りか存在します（ 置換の分解 まとめ等を参照）。

互換の数の偶奇は一意的である#

これに対して、 置換を 互換の積として表したときに、その積に含まれる互換の数が偶数であるか奇数であるかは一意的に定まります。

これが、 定理 3.5（置換の符号の一意性）の主張です。

置換の符号が定義できる根拠#

定理 3.5（置換の符号の一意性）により、任意の置換に対して 置換の符号が定義できることが担保されます。

すなわち、任意の置換に対して、その置換を互換の積として表したときに積に含まれる互換の数の偶奇が一意に定まります。これにより、置換の符号も一意に定まるということです（ 置換の符号の定義を参照）。

証明#

定理 3.3（置換の分解）より、任意の置換 $\sigma$ は互換の積として表せる。いま、$\tau, \rho$ を互換として、$\sigma$ は、次のように $2$ 通りの互換の積として表せるとする

また、$\varDelta$ を差積とすると、任意の互換 $\tau$ に対して $\tau \varDelta = - \varDelta$ であることから、$\tau_{1} \tau_{2} \cdots \tau_{r} \, \varDelta = (-1)^{r} \, \varDelta$ が成り立つ。同様に、$\rho \varDelta = - \varDelta$ であることから、$\rho_{1} \rho_{2} \cdots \rho_{s} \, \varDelta = (-1)^{s} \, \varDelta$ が成り立つ。よって、

であり、

が成り立つ。したがって、$r$ と $s$ の偶奇は一致する。$\quad \square$

証明の考え方#

定理 3.3（置換の分解）より任意の置換が互換の積として表せることを用います。（$1$）まず、ある置換を互換の積として $2$ 通りに表します。（$2$）次に、 定理 3.4（差積の交代性）により、それぞれを差積に作用させることで、積に含まれる互換の数の偶奇が一致することを導きます。

（1）置換の分解#

• まず、ある置換を互換の積として $2$ 通りに表します。

• 任意の置換は互換の積として表せます。このことは、 定理 3.3（置換の分解）により（または 定理 3.1（置換と巡回置換）と 定理 3.2（巡回置換と互換）により）既に示されています。

• したがって、$\sigma$ を置換、$\tau, \rho$ を互換とすると、$\sigma$ は、次のように $2$ 通りの互換の積として表せます。

  $$ \begin{align*} \sigma &= \tau_{1} \tau_{2} \cdots \tau_{r} \\ &= \rho_{1} \rho_{2} \cdots \rho_{s} \end{align*} $$

• ここで、それぞれの表し方における互換の個数 $r$ と $s$ の偶奇が一致していることを示せばよいわけです。

（2）差積への作用#

• 次に、$2$ 通りの互換の積として表した置換を差積に作用させ、それぞれの積に含まれる互換の数の偶奇を調べます。

• 定理 3.4（差積の交代性）より、任意の互換 $\tau$ に対して $\tau \varDelta = - \varDelta$ となります。

  • これは、$\tau \varDelta = - \varDelta$ という式が、$\tau$ がどんな互換でも（どの $2$ 文字を入れ替えても）成り立つということを示しています
  • したがって、差積に作用させる互換が $1$ 個であれば $\tau_{1} \, \varDelta = - \varDelta$ 、互換が $2$ 個であれば $\tau_{1} \tau_{2} \, \varDelta = - (- \varDelta) = + \varDelta$ 、$\cdots$ のように、差積に作用させる互換の数の偶奇により正負が定まります。

• したがって、置換 $\sigma = \tau_{1} \tau_{2} \cdots \tau_{r}$ を差積 $\varDelta$ に作用させると、次のようになります。

  $$ \begin{align*} \sigma \varDelta &= \tau_{1} \tau_{2} \cdots \tau_{r} \, \varDelta \\ &= (-1)^{r} \, \varDelta \\ \end{align*} $$

• 同様に、置換 $\sigma = \rho_{1} \rho_{2} \cdots \rho_{s}$ を差積 $\varDelta$ に作用させると、次のようになります。

  $$ \begin{align*} \sigma \varDelta &= \rho_{1} \rho_{2} \cdots \rho_{s} \, \varDelta \\ &= (-1)^{s} \, \varDelta \\ \end{align*} $$

• いま、置換 $\sigma$ を $2$ 通りの互換の積として表していますが、もとの置換は同じであるので、それぞれを差積に作用させた結果も等しくなるはずです。よって、次が成り立ちます。

  $$ \begin{align*} \sigma \varDelta &= (-1)^{r} \, \varDelta \\ &= (-1)^{s} \, \varDelta \end{align*} $$

• したがって、$(-1)^{r} = (-1)^{s}$ であり、$r$ と $s$ の偶奇は一致しなければならないということがわかります。

• 以上から、任意の置換を互換の積として表したとき、積に含まれる互換の数が偶数であるか奇数であるかが、与えられた置換により一意に定まるといえます。

まとめ#

• 任意の置換を互換の積として表したとき、積に含まれる互換の数が偶奇は与えられた置換により一意に定まる。

参考文献

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[7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022.
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