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行列式の定義
これまでに準備した置換や置換の符号などの概念を用いて行列式を定義します。また、$3$ 次の正方行列の行列式について、定義に則って計算します。
行列式の定義
定義 3.8（行列式）
$n$ 次の正方行列 $A = ( \, a_{ij} \, )$ に対して、以下のように定義される式を $A$ の行列式（$\text{determinant}$）といい、$\det A$ などと表す。
$$
\begin{equation} \tag{3.4.1}
\det A = \sum_{\sigma \; \in \; S_n} \text{sgn} (\sigma) \;a_{1 \sigma(1)} a_{2 \sigma(2)} \cdots a_{n \sigma(n)}
\end{equation}
$$
ここで、和の記号 $\displaystyle\sum_{\sigma \; \in \; S_n}$ は、$n$ 文字の置換 $\sigma \in S_n$ すべてにわたる和を示しています。$n$ 文字の置換 $\sigma \in S_n$ は $n!$ 個あります（置換の定義）ので、$n$ 次の正方行列の行列式とは、$n!$ 個の項からなる多項式であるとも捉えられます。和の対象となる $\text{sgn} (\sigma) \;a_{1 \sigma(1)} a_{2 \sigma(2)} \cdots a_{n \sigma(n)}$ は、$A$ の各行から置換 $\sigma$ により定まる成分 $a_{i \sigma(i)}$ を $1$ つずつとってできる $n$ 個の積に、置換の符号 $\text{sgn} (\sigma)$ を掛けたものです。置換は全単射である（置換の定義）ので、$A$ の成分 $a_{i \sigma(i)}$ のとり方は、どの行、列についても漏れなく被りないとり方となっていることがわかります。すなわち、$\text{sgn} (\sigma) \;a_{1 \sigma(1)} a_{2 \sigma(2)} \cdots a_{n \sigma(n)}$ において、同じ行や列から $2$ つの成分がとられることはなく、また成分がとられない行や列もないということです。下の例において $3$ 次の正方行列の行列式を実際に求めてみることで、よりイメージがつかめるかと思います。
また、$A$ の行列式は $\text{det} A$ などと表しますが、行列式を表す記法には他に次のようなものがあります。ただし $\bm{a_i}$ は $A$ の列ベクトルを表します。
$$
\begin{align*}
\begin{array} {cccc}
\det A, & \vert \, A \, \vert,
& \begin{vmatrix}
\; a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \; \\
\; a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \; \\
\; \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \; \\
\; a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \; \\
\end{vmatrix},
& \det (\bm{a_1}, \bm{a_2}, \cdots, \bm{a_n}) \text{}
\end{array}
\end{align*}
$$
例（$3$ 次の行列式）
上の定義に則って、3次の正方行列（$n=3$ の場合）の行列式について計算してみます。
まず、
$$
\begin{align*}
A_3 =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
いま $n=3$ ですので、$3$ 文字の置換は $3! = 6$ 個あり、これを列挙すると $S_3$ は以下のようになります。
$$
\begin{align*}
S_n = \left\{
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \\ \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix}
\right\}
\end{align*}
$$
$6$ つの置換をそれぞれ $\sigma_{1}, \cdots, \sigma_{6}$ として、以下のように互換の積として表します（置換の分解）。ここで、$\sigma_{1}$ は恒等置換 $\epsilon$ に等しくなります。互換の数の偶奇は一意的であるため、それぞれ偶置換であるか奇置換であるかが定まり、置換の符号が求められます（置換の符号）。
$$
\begin{align*}
\begin{array} {llcl}
\sigma_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{pmatrix}
= \epsilon \; (\text{identity permutation})
& \cdots & \text{even} & \Rightarrow \; \text{sgn} (\sigma_{1}) = +1 \\
\sigma_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \\ \end{pmatrix}
= (\, 2 \; 3 \,)
& \cdots & \text{odd} & \Rightarrow \; \text{sgn} (\sigma_{2}) = -1 \\
\sigma_{3} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix}
= (\, 1 \; 2 \,)
& \cdots & \text{odd} & \Rightarrow \; \text{sgn} (\sigma_{3}) = -1 \\
\sigma_{4} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix}
= (\, 1 \; 2 \; 3 \,) = (\, 1 \; 3 \,) \; (\, 1 \; 2 \,)
& \cdots & \text{even} & \Rightarrow \; \text{sgn} (\sigma_{4}) = +1 \\
\sigma_{5} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix}
= (\, 1 \; 3 \; 2 \,) = (\, 1 \; 2 \,) \; (\, 1 \; 3 \,)
& \cdots & \text{even} & \Rightarrow \; \text{sgn} (\sigma_{5}) = +1 \\
\sigma_{6} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix}
= (\, 1 \; 3 \,)
& \cdots & \text{odd} & \Rightarrow \; \text{sgn} (\sigma_{6}) = -1 \\
\end{array}
\end{align*}
$$
次に、それぞれの置換に対して $\text{sgn} (\sigma) \;a_{1 \sigma(1)} a_{2 \sigma(2)} a_{3 \sigma(3)}$ を求めていきます。これは、行列式の定義において、置換全体にわたる和の対象となっている項を求めることに対応しています。置換の符号 $\text{sgn} (\sigma)$ は上で求めた通りです。また、$A_3$ の成分の積 $a_{1 \sigma(1)} a_{2 \sigma(2)} a_{3 \sigma(3)}$ は、置換ごとに、$A_3$ の $(1, \sigma(1))$ 成分、$(2, \sigma(2))$ 成分、$(3, \sigma(3))$ 成分をとっていき、それらの積をとることで求めることができます。例えば $\sigma_{2}$ の場合は、$\text{sgn} (\sigma_2) = -1$ であり、また、 $\sigma_{2}$ により $1 \to 1$ なので $a_{11}$、$\sigma_{2}$ により $2 \to 3$ なので $a_{23}$、$\sigma_{2}$ により $3 \to 2$ なので $a_{32}$ をとり、これらの積をとることで $\text{sgn} (\sigma_{2}) \;a_{1 \sigma_{2} (1)} a_{2 \sigma_{2} (2)} a_{3 \sigma_{2} (3)} = - a_{11} a_{23} a_{32}$ が求まります。ここで、置換の表記において上段が行、下段が列に対応していると考えるとわかりやすいかと思います。
$$
\begin{align*}
\begin{array} {llcl}
\sigma_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{pmatrix}
& \Rightarrow
& \text{sgn} (\sigma_{1}) \;a_{1 \sigma_{1} (1)} a_{2 \sigma_{1} (2)} a_{3 \sigma_{1} (3)} = + a_{11} a_{22} a_{33} \\
\sigma_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \\ \end{pmatrix}
& \Rightarrow
& \text{sgn} (\sigma_{2}) \;a_{1 \sigma_{2} (1)} a_{2 \sigma_{2} (2)} a_{3 \sigma_{2} (3)} = - a_{11} a_{23} a_{32} \\
\sigma_{3} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix}
& \Rightarrow
& \text{sgn} (\sigma_{3}) \;a_{1 \sigma_{3} (1)} a_{2 \sigma_{3} (2)} a_{3 \sigma_{3} (3)} = - a_{12} a_{21} a_{33} \\
\sigma_{4} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix}
& \Rightarrow
& \text{sgn} (\sigma_{4}) \;a_{1 \sigma_{4} (1)} a_{2 \sigma_{4} (2)} a_{3 \sigma_{4} (3)} = + a_{12} a_{23} a_{31} \\
\sigma_{5} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix}
& \Rightarrow
& \text{sgn} (\sigma_{5}) \;a_{1 \sigma_{5} (1)} a_{2 \sigma_{5} (2)} a_{3 \sigma_{5} (3)} = + a_{13} a_{21} a_{32} \\
\sigma_{6} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix}
& \Rightarrow
& \text{sgn} (\sigma_{6}) \;a_{1 \sigma_{6} (1)} a_{2 \sigma_{6} (2)} a_{3 \sigma_{6} (3)} = - a_{13} a_{22} a_{31} \\
\end{array}
\end{align*}
$$
最後に、上で求めた $\text{sgn} (\sigma) \;a_{1 \sigma(1)} a_{2 \sigma(2)} a_{3 \sigma(3)}$ の置換全体にわたる和を求めます。いま、置換全体は $S_3 = \lbrace \, \sigma_{1}, \cdots, \sigma_{6} \, \rbrace$ になりますので、上の $6$ つの項の和をとればよいことがわかります。
$$
\begin{align*}
\det A_3 =
& \; a_{11} a_{22} a_{33}
+ a_{12} a_{23} a_{31}
+ a_{13} a_{21} a_{32} \\
& - a_{11} a_{23} a_{32}
- a_{12} a_{21} a_{33}
- a_{13} a_{22} a_{31}
\end{align*}
$$
以上から、$n = 3$ の場合の行列式が具体的に求めることができました。$n = 2$ の場合も、同様の手順に従って、行列式を求めることができます。
$$
\begin{align*}
\det A_2 = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}
\end{align*}
$$
これらは、「サラスの公式（$\text{Sarrus’ rule}$）」や「たすき掛けの規則」などと呼ばれる計算方法として、以下のように視覚的なイメージとともに覚えることができます。左上から右下への線（実線）が符号が $+$ となる項に、右上から左下への線（破線）が符号が $-$ となる項に、それぞれ対応しています。
久しぶりに $3$ 次の行列式を計算する際など、たすき掛けで斜めに掛けていくことは覚えていられるのですが、左上から右下への線と右上から左下への線、どちらが $+$ でどちらが $-$ か、おぼつかない場合があります（私だけでしょうか $\cdots$）。そんなときは、定義に立ち戻りさえすれば、（左上から右下に並ぶ）対角成分が恒等置換（偶置換）に対応していることと恒等置換が偶置換であるから、左上から右下への線が $+$ に対応することを簡単に思い出せます。私はこのことに結構助けられて来ましたので、忘れっぽい方にはおすすめです。
たすき掛けの規則は、$2$ 次や $3$ 次の行列式を簡単に計算できる非常に便利な方法ですが、$n \geqslant 4$ 以上の場合にはほとんど使えません。$n = 4$ ならば $4! = 24$ 個、$n = 5$ ならば $5! = 120$ 個、と、和を求める項の数が非常に多くなってしまうためです。それほど多くの項を持つ多項式を書き出すこと（計算すること）は現実的ではありませんので、高次の行列式は、次項以降で示す行列式の性質や行列式の展開などを用いて、次数を落としてから計算することになります。一般の行列式を計算する手順については行列式の計算にまとめます。
まとめ
$n$ 次の正方行列 $A = ( \, a_{ij} \, )$ に対して、以下のように定義される式を $A$ の行列式といい、$\det A$ などと表す。
$$ \begin{equation} \tag{3.4.1} \det A = \sum_{\sigma \; \in \; S_n} \text{sgn} (\sigma) \;a_{1 \sigma(1)} a_{2 \sigma(2)} \cdots a_{n \sigma(n)} \end{equation} $$- $\displaystyle\sum_{\sigma \; \in \; S_n}$ は、$n$ 文字の置換 $\sigma \in S_n$ すべてにわたる和である。
- $n$ 次の正方行列の行列式は $n!$ 個の項からなる多項式である。
- $\displaystyle\sum_{\sigma \; \in \; S_n}$ は、$n$ 文字の置換 $\sigma \in S_n$ すべてにわたる和である。
参考文献
[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
[3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010.
[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[6] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[7] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[8] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[9] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[10] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[11] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2005.
[12] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[13] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.
初版：2022-11-26 | 改訂：2024-08-16