行列式の性質（4）

行列式の性質に関する諸定理を導きます。ここでは行列式を写像として捉え、行列式とは多重線型性と交代性という性質を満たす写像であることを示します。

これにより、多重線型性と交代性が行列式を特徴づける基本的で重要な性質であるということがわかります。また、ここで示す定理は行列式の定義と表裏一体であり、行列式の積に関する定理や三角行列の行列式に関する定理の証明などにおいて大変役に立ちます。

写像としての行列式#

定理 3.14（写像としての行列式）#

$n$ 個の $n$ 次元数ベクトルの組 $\bm{a}_{1}, \bm{a}_{2}, \cdots, \bm{a}_{n}$ に対して、数 $F (\bm{a}_{1}, \bm{a}_{2}, \cdots, \bm{a}_{n})$ を対応させる写像 $F$ が、$n$ 重線型性

および交代性

の $3$ つの条件を満たすとき、$F$ は定数倍を除いて行列式に一致する。すなわち、

が成り立つ。ただし、$\bm{e}_{1}, \bm{e}_{2}, \cdots, \bm{e}_{n}$ は $n$ 次元単位ベクトルを指す。

この定理は、行列式は $n$ 重線型性（多重線型性）と交代性を持つ写像（特に線型写像）であるということを指しています。 その意味において、定理 3.7（多重線型性）と定理 3.9（交代性）は行列式を特徴づける基本的で重要な性質であるということがいえます。

下に定理 3.14の証明を示しますが、証明の中で置換全体にわたる和が自然な形で出てきます。このようなことからも、この定理が行列式の定義と表裏一体ということがわかります。実際、多重線型性と交代性の条件を満たし、かつ $F (E) = 1$ であるような写像 $F : K^n \times \cdots \times K^n \to K$ を行列式の定義とする仕方もあります。ここで、$F (E) = 1$ を条件に加えるのは、定理 3.14における「$\cdots$ 定数倍を除いて $\cdots$」という多義性を免れ、行列式が一意的に定まることを担保するためです。一方で、我々は既に行列式を次のように定義しており（行列式の定義）、このように定義された行列式が多重線型性と交代性という性質を持つというような順に導出しています。そのような理由から、多重線型性と交代性の条件を満たす写像 $F$ は行列式とその定数倍になる、という定理 3.14を得るわけです。

[1], [2], [3]など多くの線型代数の教科書では（3.4.1）式により行列式を定義し、その後に行列式の基本的性質として多重線型性や交代性などを導いています。一方で、線型代数の教科書としては [4]や、[10], [11]など代数学の教科書では、多重線型性や交代性を満たす写像として行列式を定義し、そのような行列式が存在し（3.4.1）式を満たすという順に導出されているものもあります。前者の定義の仕方は若干天下り的ではあるものの、（次数の低い行列に関しては）はじめから具体的に計算する手立てが与えられている分、理解しやすいです。一方で、後者の定義の仕方は本質的ではあるものの、具体的な行列式を扱うより前に、多重線型性や交代性などを満たす行列式が存在し、かつ一意に定まることを証明しなければならず（しかも、これがなかなか大変）初学時には向いていません。どちらの方向からも導出できることが理想的ではありますが、ここでは、理解のしやすさから前者の流れに沿って導出しています。

また、この定理の有用性は一見して理解しづらいですが、この定理を用いることで、行列式の積に関する定理や三角行列の行列式に関する定理など、定義から証明するのが少し骨が折れる定理をきわめて簡潔に証明できるなど、とても便利な面もあります。

証明#

$\bm{a}_{j} = \displaystyle \sum_{i} a_{i \, j} \, \bm{e}_{i} \; (1 \leqslant j \leqslant n)$ とおくと、$n$ 重線型性（条件（$\text{i}$）、（$\text{ii}$） ）より、次が成り立つ。

交代性（条件（$\text{iii}$））より、$i_{1}, i_{2}, \cdots, i_{n}$ のうちに等しいものがあれば $F (\bm{e}_{i_1}, \bm{e}_{i_2}, \cdots, \bm{e}_{i_n}) = 0$ となるから、和は $i_{1}, i_{2}, \cdots, i_{n}$ がすべて異なる場合のみを加えればよい。したがって、

となる。また、再び交代性（条件（$\text{iii}$））より $F (\bm{e}_{\sigma(1)}, \bm{e}_{\sigma(2)}, \cdots, \bm{e}_{\sigma(n)}) = \text{sgn} (\sigma) \; F (\bm{e}_{1}, \bm{e}_{2}, \cdots, \bm{e}_{n})$ であるから、

証明の骨子#

仮定する $3$ つの条件を順に適用して証明します。

• まず、$n$ 次元数ベクトル $\bm{a}_{1}, \bm{a}_{2}, \cdots, \bm{a}_{n}$ を単位ベクトル $\bm{e}_{1}, \bm{e}_{2}, \cdots, \bm{e}_{n}$ を用いて表します。
  

  • これは、以下のような列ベクトルの展開に相当します。

    $$ \begin{align*} \bm{a}_{j} = \begin{pmatrix} a_{1 \, j} \\ a_{2 \, j} \\ \vdots \\ a_{n \, j} \end{pmatrix} = a_{1 \, j} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + a_{2 \, j} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + \cdots + a_{n \, j} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} = \sum_{i} a_{i \, j} \, \bm{e}_{i} \end{align*} $$
    
    

  • $j = 1, 2, \cdots, n$ それぞれに対して $i = 1, 2, \cdots, n$ がありますので、これを $i_j$ のように表して、$\bm{a}_{1} = \displaystyle \sum_{i_1} a_{i_1 \, 1} \, \bm{e}_{i_1}, \; \bm{a}_{2} = \displaystyle \sum_{i_2} a_{i_2 \, 2} \, \bm{e}_{i_2}, \cdots \,$ とします。これは、以下のような $n \times n$ の行列 $A$ を列ベクトルで表していることに相当します。

    $$ \begin{align*} A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} = (\, \bm{a}_1, \, \bm{a}_2, \, \cdots, \, \bm{a}_n \,) \end{align*} $$
    
    

  • よって、$F (\bm{a}_{1}, \bm{a}_{2}, \cdots, \bm{a}_{n})$ は以下のように表せます。ここまでは、表記を変えたのみです。

    $$ \begin{align*} F (\bm{a}_{1}, \bm{a}_{2}, \cdots, \bm{a}_{n}) = F ( \; \sum_{i_1} a_{i_1 \, 1} \, \bm{e}_{i_1}, \; \sum_{i_2} a_{i_2 \, 2} \, \bm{e}_{i_2}, \cdots, \; \sum_{i_n} a_{i_n \, n} \, \bm{e}_{i_n} \; ) \\ \end{align*} $$
    
    

• 次に、$n$ 重線型性（条件（$\text{i}$）、（$\text{ii}$） ）を繰り返し適用して、$F (\bm{a}_{1}, \bm{a}_{2}, \cdots, \bm{a}_{n})$ を簡単にします。

  • 条件（$\text{i}$）より、ベクトルの和の像はそれぞれの像の和になりますので、$\displaystyle \sum_{i_j}$ は $F$ の外に出ます。
  • 同様に、条件（$\text{ii}$）より、ベクトルの定数倍の像はそれぞれの像の定数倍になりますので、$a_{i \, j}$ は $F$ の外に出ます。
    $$ \begin{align*} \begin{split} F (\bm{a}_{1}, \bm{a}_{2}, \cdots, \bm{a}_{n}) &= F ( \; \sum_{i_1} a_{i_1 \, 1} \, \bm{e}_{i_1}, \; \sum_{i_2} a_{i_2 \, 2} \, \bm{e}_{i_2}, \cdots, \; \sum_{i_n} a_{i_n \, n} \, \bm{e}_{i_n} \; ) \\ &= \sum_{i_1} \sum_{i_2} \cdots \sum_{i_n} \, a_{i_1 \, 1} \, a_{i_2 \, 2} \cdots a_{i_n \, n} \; F (\bm{e}_{i_1}, \bm{e}_{i_2}, \cdots, \bm{e}_{i_n}) \\ \end{split} \end{align*} $$
    
    

• 交代性（条件（$\text{iii}$））を用いて、和を見直します。

  • 条件（$\text{iii}$）から、直ちに、$i_{1}, i_{2}, \cdots, i_{n}$ のうちに等しいものがあれば $F (\bm{e}_{i_1}, \bm{e}_{i_2}, \cdots, \bm{e}_{i_n}) = 0$ となります。まず、このことを用います。

    • これは、定理 3.9（行列式の交代性）から直ちに系 3.11が得られたことと同じです。
    • 例えば、$i_{s} = i_{t}$ となる $1 \leqslant s, t \leqslant n$ が存在するとすると、条件（$\text{iii}$）より $F (\bm{e}_{i_1}, \cdots, \bm{e}_{i_t}, \cdots, \bm{e}_{i_s}, \cdots, \bm{e}_{i_n}) = \text{sgn} ( (\, i_s \; i_t \,) ) \; F (\bm{e}_{i_1}, \cdots, \bm{e}_{i_s}, \cdots, \bm{e}_{i_t}, \cdots, \bm{e}_{i_n})$ となりますが、$i_{s} = i_{t}$ であり、$\text{sgn} ( (\, i_s \; i_t \,) ) = -1$ であるので、$F (\bm{e}_{i_1}, \cdots, \bm{e}_{i_s}, \cdots, \bm{e}_{i_t}, \cdots, \bm{e}_{i_n}) = -F (\bm{e}_{i_1}, \cdots, \bm{e}_{i_s}, \cdots, \bm{e}_{i_t}, \cdots, \bm{e}_{i_n})$ 。したがって、$F (\bm{e}_{i_1}, \cdots, \bm{e}_{i_s}, \cdots, \bm{e}_{i_t}, \cdots, \bm{e}_{i_n}) = 0$ となります。

  • いま、$i_{1}, i_{2}, \cdots, i_{n}$ のそれぞれについて $1 \sim n$ の和をとるわけですが、$i_{1}, i_{2}, \cdots, i_{n}$ のうちに $1$ 組でも同じものが含まれれば、$F (\bm{e}_{i_1}, \cdots, \bm{e}_{i_n}) = 0$ となるので、この場合は和に含めなくてもよいことがわかります。

  • つまり、$i_{1}, i_{2}, \cdots, i_{n}$ がすべて異なる場合に限って和をとればよいわけですが、これは、$n$ 文字の置換全体についての和をとることに等しいです。

    • 次のような $n$ 文字の置換 $\sigma$ を考えます。置換は全単射であることから、$i_1, i_2, \cdots, i_n$ は互いに相異なり（単射）、$\{ 1, 2, \cdots, n \}$ のすべての元をわたります（全射）。このことは、置換が、$i_1, i_2, \cdots, i_n$ の順序を入れ替えたもの、つまり順列と $1$ 対 $1$ に対応していることからも理解できます。
      
      $$ \begin{align*} \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ i_1 & i_2 & \cdots & i_n \\ \end{pmatrix} \end{align*} $$
      
      

  • よって、$i_{1}, i_{2}, \cdots, i_{n}$ についての和は $\sigma \in S_n$ についての和に見直せます。これにより、もともとの $n \times n \times \cdots \times n = n^n$ 個の和（$1$ 行目）が、$n!$ 個の和（$2$ 行目）にスリム化されました。

    $$ \begin{align*} \begin{split} F (\bm{a}_{1}, \bm{a}_{2}, \cdots, \bm{a}_{n}) &= \sum_{i_1} \sum_{i_2} \cdots \sum_{i_n} \, a_{i_1 \, 1} \, a_{i_2 \, 2} \cdots a_{i_n \, n} \; F (\bm{e}_{i_1}, \bm{e}_{i_2}, \cdots, \bm{e}_{i_n}) \\ &= \sum_{\sigma \in S_n} \, a_{\sigma(1) \, 1} \, a_{\sigma(2) \, 2} \, \cdots \, a_{\sigma(n) \, n} \; F (\bm{e}_{\sigma(1)}, \bm{e}_{\sigma(2)}, \cdots, \bm{e}_{\sigma(n)}) \\ \end{split} \end{align*} $$
    
    

• 交代性（条件（$\text{iii}$））を再び用いて、行列式 $\text{det} \, (\bm{a}_{1}, \cdots, \bm{a}_{n})$ の形を抽出します。

  • 和の見直しにより得られた上の式のうち、$F$ による像 $F (\bm{e}_{\sigma(1)}, \bm{e}_{\sigma(2)}, \cdots, \bm{e}_{\sigma(n)})$ に条件（$\text{iii}$）を適用します。すなわち、$F (\bm{e}_{\sigma(1)}, \bm{e}_{\sigma(2)}, \cdots, \bm{e}_{\sigma(n)}) = \text{sgn} (\sigma) \; F (\bm{e}_{1}, \bm{e}_{2}, \cdots, \bm{e}_{n})$ となります。

    • これは、$\sigma(1), \sigma(2), \cdots, \sigma(n)$ 順に並んでいた列ベクトルを $1, 2, \cdots, n$ 順に並び替えたことに相当します。この並び替えにより $\text{sgn} (\sigma)$ が出てくるとともに、$\sigma$ に依存しない $F (\bm{e}_{1}, \bm{e}_{2}, \cdots, \bm{e}_{n})$ が得られます。$F (\bm{e}_{1}, \bm{e}_{2}, \cdots, \bm{e}_{n})$ が $\sigma$ に依存しないということは、この項を $\sigma$ による和の外に出しても良いということです。
    • $\bm{e}_{1}, \bm{e}_{2}, \cdots, \bm{e}_{n}$ は、単位行列を列ベクトルで表したものに相当しますので、$F (\bm{e}_{1}, \bm{e}_{2}, \cdots, \bm{e}_{n}) = F(E)$ とも考えられます。

  • これにより、行列式の定義 $\displaystyle \sum_{\sigma \in S_n} \, \text{sgn} (\sigma) \, a_{\sigma(1) \, 1} \, a_{\sigma(2) \, 2} \, \cdots \, a_{\sigma(n) \, n}$ の形が得られます。

    $$ \begin{split} F (\bm{a}_{1}, \bm{a}_{2}, \cdots, \bm{a}_{n}) &= \sum_{\sigma \in S_n} \, a_{\sigma(1) \, 1} \, a_{\sigma(2) \, 2} \, \cdots \, a_{\sigma(n) \, n} \; F (\bm{e}_{\sigma(1)}, \bm{e}_{\sigma(2)}, \cdots, \bm{e}_{\sigma(n)}) \\ &= \sum_{\sigma \in S_n} \, a_{\sigma(1) \, 1} \, a_{\sigma(2) \, 2} \, \cdots \, a_{\sigma(n) \, n} \; \text{sgn} (\sigma) \; F (\bm{e}_{1}, \bm{e}_{2}, \cdots, \bm{e}_{n}) \\ &= F (\bm{e}_{1}, \bm{e}_{2}, \cdots, \bm{e}_{n}) \, \sum_{\sigma \in S_n} \, \text{sgn} (\sigma) \, a_{\sigma(1) \, 1} \, a_{\sigma(2) \, 2} \, \cdots \, a_{\sigma(n) \, n} \\ &= F (\bm{e}_{1}, \bm{e}_{2}, \cdots, \bm{e}_{n}) \; \text{det} \, (\bm{a}_{1}, \bm{a}_{2}, \cdots, \bm{a}_{n}) \\ \end{split} $$
    
    

  • 以上で、題意が示されました。

まとめ#

• 多重線型性と交代性を満たす写像 $F : K^n \times \cdots \times K^n \to K$ は、定数倍を除いて行列式に一致する。
  $$ \begin{align*} F (\bm{a}_{1}, \cdots, \bm{a}_{n}) = F (\bm{e}_{1}, \cdots, \bm{e}_{n}) \; \text{det} \, (\bm{a}_{1}, \cdots, \bm{a}_{n}) \\ \end{align*} $$
  
  

参考文献#