Title here
Summary here
行列式の性質（8）
三角行列の行列式の値は、対角成分の積に等しくなります。
ここでは、三角行列を定義するとともに、三角行列の行列式の値が対角成分の積に等しいことを示します。これは、 定理 3.16（零行列をブロックにもつ行列の行列式）の系ともいえる性質です。
三角行列の定義
まず、三角行列（上三角行列と下三角行列）の定義を示します。
定義 3.9（三角行列）
正方行列のうち、対角線より左下の成分がすべて $0$ であるような行列を上三角行列（$\text{upper /}$ $\text{right}$ $\text{triangular matrix}$）、対角線より右上の成分がすべて $0$ であるような行列を下三角行列（$\text{lower /}$ $\text{left}$ $\text{triangular matrix}$）という。これらを合わせて、三角行列（$\text{triangular}$ $\text{matrix}$）という。
解説
三角行列とは
三角行列とは、対角線より左下（あるいは右上）の成分がすべて $0$ であるような正方行列のことです。
上記の 定義のとおり、上三角行列と下三角行列を合わせて三角行列と呼びます。
上三角行列とは
上三角行列とは、対角線より左下の成分がすべて $0$ であるような正方行列のことです。
上三角行列を具体的に表すと、次のようになります。ここで、大きな $O$ はその部分の成分がすべて $0$ であることを表しています。
$$
\begin{align*}
A_{u}
&= \begin{pmatrix}
\; \begin{matrix}
a_{11} & a_{12} \\ & a_{21} \\
\end{matrix} &
\begin{matrix}
\cdots & a_{1n} \\ \cdots & a_{2n} \\
\end{matrix} \; \\
\; \Large{O} &
\begin{matrix}
\ddots & \vdots \\ & a_{nn} \\
\end{matrix} \; \\
\end{pmatrix} \\
% &= \begin{pmatrix}
% \; a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \; \\
% \; 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \; \\
% \; \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \; \\
% \; 0 & 0 & \cdots & a_{n n} \; \\
% \end{pmatrix} \\
\end{align*}
$$
上三角行列 $A_{u} = (\, a_{ij} \,)$ において、$i \gt j \Rightarrow a_{ij} = 0$ が成り立ちます。これは、$A_{u}$ において対角線よりも左下の成分がすべて $0$ に等しいことを表す条件です。
下三角行列とは
下三角行列とは、対角線より右上の成分がすべて $0$ であるような正方行列のことです。
下三角行列を具体的に表すと、次のようになります。ここで、大きな $O$ はその部分の成分がすべて $0$ であることを表しています。
$$
\begin{align*}
A_{l}
&= \begin{pmatrix}
\; \begin{matrix}
a_{11} & \\ a_{21} & a_{22} \\
\end{matrix} &
\Large{O} \; \\
\; \begin{matrix}
\vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} \\
\end{matrix} &
\begin{matrix}
\ddots & \\ \cdots & a_{nn} \\
\end{matrix} \; \\
\end{pmatrix} \\
% &= \begin{pmatrix}
% \; a_{11} & 0 & \cdots & 0 \; \\
% \; a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \; \\
% \; \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \; \\
% \; a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{n n} \; \\
% \end{pmatrix}
\end{align*}
$$
下三角行列 $A_{l} = (\, a_{ij} \,)$ において、$i \lt j \Rightarrow a_{ij} = 0$ が成り立ちます。これは、$A_{l}$ において対角線よりも右上の成分がすべて $0$ に等しいことを表す条件です。
三角行列の行列式
次に、三角行列の行列式の値が対角成分の積に等しいことを示します。
系 3.18（三角行列の行列式）
三角行列の行列式の値は、対角成分の積に等しい。
$$
\begin{equation} \tag{3.5.16}
\begin{vmatrix}
\; \begin{matrix}
a_{11} & a_{12} \\ & a_{21} \\
\end{matrix} &
\begin{matrix}
\cdots & a_{1n} \\ \cdots & a_{2n} \\
\end{matrix} \; \\
\; \Large{O} &
\begin{matrix}
\ddots & \vdots \\ & a_{nn} \\
\end{matrix} \; \\
\end{vmatrix}
= a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}
\end{equation}
$$
解説
三角行列の行列式の値
系 3.18（三角行列の行列式）は、三角行列の行列式の値が、その対角成分の積に等しいことを表しています。 系 3.18により、具体的に与えれらた行列が三角行列であれば、行列式の値を直ちに計算することができます。
（3.5.16）式は、上三角行列について、 系 3.18が成り立つことを示した式です。このことは、下三角行列についても同様に成り立ちます。
$$
\begin{equation} \tag{3.5.16$^{\prime}$}
\begin{vmatrix}
\; \begin{matrix}
a_{11} & \\ a_{21} & a_{22} \\
\end{matrix} &
\Large{O} \; \\
\; \begin{matrix}
\vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} \\
\end{matrix} &
\begin{matrix}
\ddots & \\ \cdots & a_{nn} \\
\end{matrix} \; \\
\end{vmatrix}
= a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}
\end{equation}
$$
系 3.18（三角行列の行列式）の証明
系 3.18（三角行列の行列式）を証明する方法は、主に、次の $2$ 通りがあります。
系 3.18は、 定理 3.16（零行列をブロックに持つ行列の行列式）の系であり、同じく 定理 3.16の系である 系 3.17（$0$ を含む行列の行列式）から直ちに導くことができます（ 証明 1）。
一方で、 定理 3.16とは独立に 行列式の定義から直接導くこともできます（ 証明 2）。
証明 1（行列式の性質を利用する方法）
系 3.17（$0$ を含む行列の行列式）より、次が成り立つ。
$$
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
\; \begin{matrix}
a_{11} & a_{12} \\ & a_{21} \\
\end{matrix} &
\begin{matrix}
\cdots & a_{1n} \\ \cdots & a_{2n} \\
\end{matrix} \; \\
\; \Large{O} &
\begin{matrix}
\ddots & \vdots \\ & a_{nn} \\
\end{matrix} \; \\
\end{vmatrix}
&= a_{11} \cdot \begin{vmatrix}
\; \begin{matrix}
a_{22} & a_{23} \\ & a_{33} \\
\end{matrix} &
\begin{matrix}
\cdots & a_{2n} \\ \cdots & a_{3n} \\
\end{matrix} \; \\
\; \Large{O} &
\begin{matrix}
\ddots & \vdots \\ & a_{nn} \\
\end{matrix} \; \\
\end{vmatrix} \\
&= a_{11} a_{22} \cdot \begin{vmatrix}
\; \begin{matrix}
a_{33} & a_{34} \\ & a_{44} \\
\end{matrix} &
\begin{matrix}
\cdots & a_{3n} \\ \cdots & a_{4n} \\
\end{matrix} \; \\
\; \Large{O} &
\begin{matrix}
\ddots & \vdots \\ & a_{nn} \\
\end{matrix} \; \\
\end{vmatrix} \\
&\; \; \vdots \\
&= a_{11} a_{22} \cdots a_{nn} \qquad \qquad \square
\end{align*}
$$
証明の考え方（証明 1）
系 3.17（$0$ を含む行列の行列式）を繰り返し適用ことで証明します。
- 上三角行列において、$i \gt j \Rightarrow a_{ij} = 0$ が成り立つ（ 三角行列の定義）ので、第 $1$ 列の成分は $(1, 1)$ 成分を除いて（第 $2$ 行以降）すべて $0$ となります。
- したがって、 系 3.17（$0$ を含む行列の行列式）を用いることができ、$a_{11}$ のみ行列式の記号の外に出て、次数が $1$ つ下がります。
- 新たに得られた（次数が $1$ つ下がった）行列も上三角行列になりますので、再び 系 3.17を用いることができます。
- これを繰り返すことで、結果として、対角成分のみの積が得られます。
証明 2（行列式の定義による方法）
$n$ 次の正方行列 $A = (\, a_{ij} \,)$ が上三角行列であるとすると、行列式の定義より、次が成り立つ。
$$
\begin{align*}
\vert \, A \, \vert = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn} (\sigma) \; a_{1 \, \sigma (1)} \, a_{2 \, \sigma (2)} \, \cdots \, a_{n \, \sigma (n)} \\
\end{align*}
$$
ここで、上三角行列において、$i \gt j \Rightarrow a_{ij} = 0$ が成り立つので、$j = 1$ であるならば、$a_{i1} = 0 \; (i \gt 1)$ となる。つまり、上式において、$\sigma(2), \cdots, \sigma(n)$ の中に $1$ が現れる場合、$a_{1 \, \sigma (1)} \, a_{2 \, \sigma (2)} \, \cdots \, a_{n \, \sigma (n)} = 0$ となる。したがって、置換全体の和は、$\sigma(1) = 1$ となる場合のみを考えればよい。同様に、$j \geqslant 2$ であるならば $a_{ij} = 0 \; (i \gt j)$ となることから、置換全体の和は、$\sigma(j) = j$ となるの場合のみを考えればよい。すなわち、$\sigma$ が恒等置換の場合についてのみ考えればよいことになる。したがって、次が成り立つ。
$$
\begin{split}
\vert \, A \, \vert
&= \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn} (\sigma) \; a_{1 \, \sigma (1)} \, a_{2 \, \sigma (2)} \, \cdots \, a_{n \, \sigma (n)} \\
&= \sum_{\sigma \, = \, \epsilon} \text{sgn} (\sigma) \; a_{1 \, \sigma (1)} \, a_{2 \, \sigma (2)} \, \cdots \, a_{n \, \sigma (n)} \\
&= \text{sgn} (\epsilon) \; a_{1 \, \epsilon (1)} \, a_{2 \, \epsilon (2)} \, \cdots \, a_{n \, \epsilon (n)} \\
&= a_{11} a_{22} \cdots a_{nn} \\
\end{split}
$$
このことは、$A$ が下三角行列であるとしても同様に成り立つ。したがって、三角行列の行列式の値は、対角成分の積に等しい。$\quad \square$
証明の考え方（証明 2）
基本的な考え方は、 定理 3.16（零行列をブロックに持つ行列の行列式）や 系 3.17（$0$ を含む行列の行列式）の証明と同じです。
前提事項の整理
$n$ 次の正方行列 $A = (\, a_{ij} \,)$ を、次のような上三角行列であるとします。
$$ \begin{align*} A &= \begin{pmatrix} \; \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ & a_{21} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \cdots & a_{1n} \\ \cdots & a_{2n} \\ \end{matrix} \; \\ \; \Large{O} & \begin{matrix} \ddots & \vdots \\ & a_{nn} \\ \end{matrix} \; \\ \end{pmatrix} \\ \end{align*} $$このとき、$A$ の行列式を 定義に従って書き下すと、次のようになります。
$$ \begin{align*} \vert \, A \, \vert = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn} (\sigma) \; a_{1 \, \sigma (1)} \, a_{2 \, \sigma (2)} \, \cdots \, a_{n \, \sigma (n)} \\ \end{align*} $$
置換全体の和の縮約
- 三角行列の性質を用いて、$\sigma \in S_{n}$ に関する和を見直します。
$j = 1$ の場合
まず、$j = 1$ の場合（$A$ の第 $1$ 列）について考えます。
いま、$A$ は上三角行列なので、$i \gt j \Rightarrow a_{ij} = 0$ が成り立ちます。
- すなわち、行列の $(i, j)$ 成分について、行番号 $i$ が列番号 $j$ よりも大きい場合 $a_{ij} = 0$ となります。
- $A$ の第 $1$ 列 $( j = 1 )$ の成分 $a_{i1}$ に着目すると、$i = 2, 3, \cdots, n$ ならば $a_{i1} = 0$ となります。
よって、$i = 2, 3, \cdots, n$ かつ $\sigma(i) = 1$ であるとき $a_{i \, \sigma(i)} = 0$ となり、次が成り立ちます。
$$ \begin{align*} a_{1 \, \sigma(1)} \, \cdots \, a_{i \, \sigma(i)} \, \cdots \, a_{(n) \, \sigma(n)} = 0 \end{align*} $$つまり、このような場合は、行列式の計算において、置換全体の和に含めなくてよいということです。
したがって、$j = 1$ のときは、$i = 1$ となる場合のみを考えればよいということがわかります。
$j \geqslant 2$ の場合
- 次に、$j \geqslant 2$ の場合について考えます。
- 第 $2$ 列以降 $( j \geqslant 2 )$ についても、同様に $i \gt j \Rightarrow a_{ij} = 0$ が成り立ちます。
- つまり、$i \gt j$ かつ $\sigma(i) = j$ であれば $a_{i \, \sigma(i)} = 0$ とるので、このような場合は、置換全体の和に含めなくてよいことがわかります。
- したがって、$j \geqslant 2$ のときも、$i = j \; ( \geqslant 2 )$ となる場合のみを考えればよいということがわかります。
行列式の計算
以上の考察から、行列式の計算においては、$i = j$ となる場合、つまり、行番号と列番号が一致する場合のみ、置換全体の和をとればよいということがわかります。
- これは、$\sigma$ が恒等置換 $\epsilon$ の場合に限ると考えても同じです。
したがって、$\vert \, A \, \vert$ は次のように計算できます。
$$ \begin{split} \vert \, A \, \vert &\overset{(\text{i})}{=} \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn} (\sigma) \; a_{1 \, \sigma (1)} \, a_{2 \, \sigma (2)} \, \cdots \, a_{n \, \sigma (n)} \\ &\overset{(\text{ii})}{=} \sum_{\sigma \, = \, \epsilon} \text{sgn} (\sigma) \; a_{1 \, \sigma (1)} \, a_{2 \, \sigma (2)} \, \cdots \, a_{n \, \sigma (n)} \\ &\overset{(\text{iii})}{=} \text{sgn} (\epsilon) \; a_{1 \, \epsilon (1)} \, a_{2 \, \epsilon (2)} \, \cdots \, a_{n \, \epsilon (n)} \\ &\overset{(\text{iv})}{=} a_{11} a_{22} \cdots a_{nn} \quad \quad \quad \square \\ \end{split} $$- （$\text{iv}$） 恒等置換 $\epsilon$ が偶置換であることより、$\text{sgn} (\epsilon) = 1$ が成り立ちます。
また、このことは、$A$ が下三角行列であるとしても同様に成り立ちます。
以上から、題意が示されました。
行列式の定義による証明に関する考察
証明の考え方について
定理 3.16（零行列をブロックに持つ行列の行列式）や 系 3.17（$0$ を含む行列の行列式）の証明と同様の考え方で、行列式の定義における、置換全体の和を精査していくことで証明できます。
系 3.18（三角行列の行列式）においては、上三角行列について、第 $1$ 列 $( j = 1 )$、第 $2$ 列 $( j = 2 ) \cdots$ と段階的に考えていけば、恒等置換の場合についてのみ和をとればよいことがわかり、結果として対角成分の積が得られます。下三角行列に関しても同様に示すことができ、その場合は、第 $1$ 行 $( i = 1 )$、第 $2$ 行 $( i = 2 ) \cdots$ と考えを進めていくことになります。
行列式の性質による方法との差異（採用するメリット）
系 3.17（$0$ を含む行列の行列式）の証明では、行列式の定義による証明に一定のメリットがありました。 定理 3.16（零行列をブロックに持つ行列の行列式）に先立って 系 3.17を証明することで、 定理 3.16の証明は簡単になります。
しかし、 系 3.18（三角行列の行列式）に関しては、そのようなメリットはほとんどありません。
したがって、 証明 2（行列式の定義による方法）よりも、 証明 1（行列式の性質を利用する方法）を採用する方が素直かと思います。
まとめ
- 次の $2$ つを合わせて三角行列という。
- 上三角行列：対角線より左下の成分がすべて $0$ であるような正方行列。
- 下三角行列：対角線より右上の成分がすべて $0$ であるような正方行列。
- 三角行列の行列式は対角成分の積に等しい。$$ \begin{equation*} \begin{vmatrix} \; \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ & a_{21} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \cdots & a_{1n} \\ \cdots & a_{2n} \\ \end{matrix} \; \\ \; \Large{O} & \begin{matrix} \ddots & \vdots \\ & a_{nn} \\ \end{matrix} \; \\ \end{vmatrix} = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn} \end{equation*} $$
参考文献
[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
[3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010.
[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008.
[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022.
[8] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.
初版：2022-12-13 | 改訂：2025-03-27