正則行列の条件（行列式）

余因子行列を用いて、行列が正則である（逆行列を持つ）ための条件を示します。

すなわち、ある行列 $A$ が正則であることと、行列式の値が $0$ でないこと（$\det A \neq 0$）は同値です。

逆行列を持つための条件#

定理 3.22（逆行列を持つための条件）#

$n$ 次の正方行列 $A$ が正則であるためには、$\det A \neq 0$ であることが必要にして十分である。また、このとき、$A$ の逆行列は、次の式により与えられる。

解説#

正則であるための条件（行列式）#

定理 3.22（逆行列を持つための条件）は、 前項で定義した 余因子行列を用いて、行列が正則である（逆行列を持つ）ための条件を示すものです。すなわち、ある行列 $A$ が正則である（逆行列を持つ）ことと行列式の値が $0$ でない（$\det A \neq 0$）ことは同値です。

当然ながら、ある行列が正則であるためには正方行列でなければならない（ 正則行列の定義）ので、 定理 3.22は正方行列に限って成り立ちます。

正則であるための条件（様々な観点）#

ある行列が正則であるための条件は、様々な観点から示すことができます。

主な条件として、次のようなものがあります。それぞれ、（$1$）行列式（$2$）ベクトルの線型独立性（$3$）連立一次方程式（$4$）行列の階数の観点から、正則行列の条件を表しています。

具体的に与えられた行列が正則であるか否かの判定を行う際は、状況に応じて使いやすい条件を用いることができます。

逆行列の定義について#

正方行列 $A$ の逆行列は、$AB = BA = E$ を満たす $B$ として定義されています（ 正則行列の定義）。

定理 3.22（逆行列を持つための条件）の （3.6.8）式は、あくまで逆行列を定義するものではありません。これを定義と混同しないよう注意が必要です。

逆行列の求め方#

また、具体的に与えられた行列の逆行列を求める際に、 定理 3.22（逆行列を持つための条件）を用いるのは効率的ではありません。

余因子行列を求めるために必要な計算が多く、が非常に面倒だからです。一般的には、 行列の基本変形による方法の方が実用的です。

定理 3.22の意義は、実用面よりもむしろ理論的な面にあります。

証明#

$A$ が正則であるとすると $AB= BA = E_n$ となる $B$ が存在する。このとき、$\det (AB) = \det A \cdot \det B$ 、かつ $\det E_n = 1$ であることから $\det A \cdot \det B = 1$ が成り立つ。したがって $\det A \neq 0$ である。

また、$\det A \neq 0$ であるとして $B = \dfrac{1}{\det A} \tilde{A}$ とおくと、 定理 3.21（余因子行列）より、$A \tilde{A} = \tilde{A} A = (\det A) \; E_n$ であるから、$AB = BA = E_n$ が成り立つ。よって $A$ は正則である。

以上から、$A$ が正則であるためには $\det A \neq 0$ であることが必要かつ充分である。また、このとき、$A$ の逆行列は $A^{-1} = B = \dfrac{1}{\det A} \tilde{A}$ となる。 $\quad \square$

証明の考え方#

（$\text{i}$）$A$ が正則である、（$\text{ii}$）$\det A \neq 0$ である、とし、$2$ つの条件の同値性を示します。また、 定理 3.21（余因子行列）を用いて、逆行列が余因子行列で表せることを示します。

必要性の証明（$\text{i}$）$\Rightarrow$（$\text{ii}$）#

• まず、「$A$ が正則 $\Rightarrow$ $\det A \neq 0$」を示します。
  • すなわち、「$\det A \neq 0$」が、「$A$ が正則」であるための必要条件であることを示します。
• 正則行列の定義より、$A$ が正則であれば $AB= BA = E_n$ となる $B$ が存在します。
• この等式（特に、$AB = E_n$）の両辺の行列式を考えると、$\det A \cdot \det B = 1$ が成り立つことがわかります。

  • （左辺）行列の積 $AB$ の行列式は、より次のようになります（ 定理 3.15（積の行列式）） 。

    $$ \begin{align*} \det (AB) = \det A \cdot \det B \end{align*} $$

  • （右辺）単位行列 $E_n$ の行列式は $1$ に等しくなります（ 系 3.18（三角行列の行列式））。

    $$ \begin{align*} \det E_n = 1 \end{align*} $$

  • 同様に、$BA = E_n$ の両辺の行列式を考えると、$\det B \cdot \det A = 1$ が成り立つことがわかります。

• したがって、特に、$\det A \neq 0$ が成り立つことが確かめられました。
• 以上から、（$\text{i}$）$\Rightarrow$（$\text{ii}$）が示されました。

十分性の証明（$\text{i}$）$\Leftarrow$（$\text{ii}$）#

• 次に、「$\det A \neq 0$ $\Rightarrow$ $A$ が正則」を示します。

  • すなわち、「$\det A \neq 0$」が、「$A$ が正則」であるための十分条件であることを示します。

• $\det A \neq 0$ であることを仮定して、$A$ が正則である（$AB= BA = E_n$ となる $B$ が存在する）ことを導けば良いので、$AB= BA = E_n$ を満たすような $B$ を考えます。

• 定理 3.21（余因子行列）より、$A \tilde{A} = \tilde{A} A = (\det A) \; E_n$ であることがわかっていますので、$B = \dfrac{1}{\det A} \tilde{A}$ と置けば、$AB= BA = E_n$ が成り立つといえます。

  • $AB$ については、次の通り。

    $$ \begin{split} AB &= A \cdot \dfrac{1}{\det A} \tilde{A} \\ &= \dfrac{1}{\det A} A \tilde{A} \\ &= \dfrac{1}{\det A} (\det A) \; E_n \\ &= E_n \\ \end{split} $$

  • $BA$ についても、同様に、次の通り。

    $$ \begin{split} BA &= \dfrac{1}{\det A} \tilde{A} \cdot A \\ &= \dfrac{1}{\det A} \tilde{A} A \\ &= \dfrac{1}{\det A} (\det A) \; E_n \\ &= E_n \\ \end{split} $$

• 以上から、（$\text{ii}$）$\Rightarrow$（$\text{i}$）が示されました。

余因子行列と逆行列#

• ここまでで、定理の前半である必要十分性が示されました。最後に、$A$ の逆行列が余因子行列で表せることを示します。

• 十分性の証明（$\text{ii}$）$\Rightarrow$（$\text{i}$）で示した通り、$B$ を次のようにおけば、$AB = BA = E_n$ を満たすことがわかっています。

  $$ \begin{align*} B = \dfrac{1}{\det A} \tilde{A} \end{align*} $$

• よって、$A$ の逆行列は $B$ に等しく、$A^{-1} = B = \dfrac{1}{\det A} \tilde{A}$ により与えられることがわかります。

まとめ#

• $n$ 次の正方行列 $A$ が正則であるための必要十分条件は $\det A \neq 0$ である。
• このとき、$A$ の逆行列は次の式により与えられる。
  $$ \begin{equation*} A^{-1} = \dfrac{1} {\det A} \tilde{A} \end{equation*} $$

参考文献

[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
[3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010.
[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008.
[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022.
[8] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.