余因子行列と逆行列（2）

前項に定義した余因子行列を用いて、ある行列が正則である（逆行列を持つ）ための条件に関する定理を示します。

この定理により、ある行列 $A$ が正則である（逆行列を持つ）ことと、行列式 $\det A$ が $0$ でない（$\det A \neq 0$）ことは同値であるといえます。

逆行列を持つための条件#

定理 3.22（逆行列を持つための条件）#

$n$ 次の正方行列 $A$ が正則であるための必要十分条件は $\det A \neq 0$ である。このとき、$A$ の逆行列は次の式により与えられる。

すなわち、ある行列 $A$ が正則である（逆行列を持つ）ことと行列式 $\det A$ が $0$ でない（$\det A \neq 0$）ことは同値であるといえます。この定理は、ある行列が正則である（逆行列を持つ）ための条件を示す大変重要な定理です。しかしながら、ある行列が正則であることと同値な条件は「$\det A \neq 0$ である」ことの他にもあり、例えば、「行列 $A$ の列ベクトルが線型独立である」、「一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ が自明でない解を持たない」、「$\text{rank} A = n$ である」などもこれにあたります。与えられた行列が正則であるか否かの判定を行う際は、状況に応じて使いやすい条件を用いることができます。

この定理により得られる（3.6.8）式（$A^{-1} = \dfrac{1} {\det A} \tilde{A}$）を逆行列の定義と混同してはいけません。少なくとも我々の導出の仕方では、あくまで、$AB = BA = E$ となる $B$ を $A$ の逆行列と定義しています（正則行列の定義）。また、実際に逆行列の計算にあたって（3.6.8）式を用いるのは、実はあまり効率的ではありません。余因子行列の計算が非常に面倒だからです。一般的には、行列の基本変形を用いる方法の方が実用的です。この定理の意義は、実用面よりもむしろ理論的な面にあります。もちろん、余因子行列が計算しやすい形など（3.6.8）式が有効な場合もありますので、こちらも、状況に応じて使い分ければ良いかと思います。

証明#

$A$ が正則であるとすると $AB= BA = E_n$ となる $B$ が存在する。このとき、$\det (AB) = \det A \cdot \det B$ かつ $\det E_n = 1$ であることから $\det A \cdot \det B = 1$ となる。したがって $\det A \neq 0$ である。また、$\det A \neq 0$ であるとして $B = \dfrac{1}{\det A} \tilde{A}$ とおくと、定理 3.21より $A \tilde{A} = \tilde{A} A = (\det A) \; E_n$ であるから、$AB = BA = E_n$ となる。よって $A$ は正則である。以上から、$A$ が正則であるためには $\det A \neq 0$ であることが必要かつ充分である。また、上の計算より $A$ の逆行列は $A^{-1} = B = \dfrac{1}{\det A} \tilde{A}$ となる。 $\quad \square$

証明の骨子#

（$\text{i}$）$A$ が正則である、（$\text{ii}$）$\det A \neq 0$ として、（$\text{i}$）と（$\text{ii}$）が同値であることを示します。証明にあたっては、定理 3.21（余因子行列）を用います。

• （$\text{i}$）$\Rightarrow$（$\text{ii}$）

  • 示すべきことは「$A$ が正則 $\Rightarrow$ $\det A \neq 0$」になります。このとき「$\det A \neq 0$」であることは「$A$ が正則」であるための必要条件となります。

  • 正則行列の定義より、$A$ が正則であれば $AB= BA = E_n$ となる $B$ が存在します。この等式について、両辺の行列式を考えます。

    • $A$ と $B$ の積の行列式 $\det (AB)$ は、定理 3.15（積の行列式）より次のようになります。

      $$ \begin{align*} \det (AB) = \det A \cdot \det B \end{align*} $$
      
      

    • また、系 3.18（三角行列の行列式）より、単位行列 $E_n$ の行列式は $1$ に等しくなります。

      $$ \begin{align*} \det E_n = 1 \end{align*} $$
      
      

  • したがって、$\det A \cdot \det B = 1$ であり、特に $\det A \neq 0$ であることが確かめられました。

  • 以上から（$\text{i}$）$\Rightarrow$（$\text{ii}$）が示されました。

• （$\text{i}$）$\Leftarrow$（$\text{ii}$）

  • 示すべきことは「$\det A \neq 0$ $\Rightarrow$ $A$ が正則」になります。このとき、「$\det A \neq 0$」であることは「$A$ が正則」であるための十分条件となります。

  • $\det A \neq 0$ であることを仮定して、$A$ が正則である（$AB= BA = E_n$ となる $B$ が存在する）ことが導ければ良いわけですので、$AB= BA = E_n$ を満たすような $B$ を考えます。

  • 定理 3.21（余因子行列）より、$A \tilde{A} = \tilde{A} A = (\det A) \; E_n$ であることがわかっていますので、$B = \dfrac{1}{\det A} \tilde{A}$ と置けば、$AB= BA = E_n$となります。

    $$ \begin{split} AB &= A \cdot \dfrac{1}{\det A} \tilde{A} = \dfrac{1}{\det A} A \tilde{A} = \dfrac{1}{\det A} (\det A) \; E_n = E_n \\ BA &= \dfrac{1}{\det A} \tilde{A} \cdot A= \dfrac{1}{\det A} \tilde{A} A = \dfrac{1}{\det A} (\det A) \; E_n = E_n \\ \end{split} $$
    
    

  • 以上から（$\text{ii}$）$\Rightarrow$（$\text{i}$）が示されました。

  • ここまでで、定理の前半である必要十分性が示されました。

• $A$ の逆行列について示します。
  • 十分性の証明（（$\text{ii}$）$\Rightarrow$（$\text{i}$）の証明）で考えた通り、$B = \dfrac{1}{\det A} \tilde{A}$ とすれば $AB = BA = E_n$ となることがわかっています。よって、$A$ の逆行列は $B$ に等しく $A^{-1} = B = \dfrac{1}{\det A} \tilde{A}$ により与えられることがわかります。

まとめ#

• $n$ 次の正方行列 $A$ が正則であるための必要十分条件は $\det A \neq 0$ である。
• このとき、$A$ の逆行列は次の式により与えられる。
  $$ \begin{equation*} A^{-1} = \dfrac{1} {\det A} \tilde{A} \end{equation*} $$
  
  

参考文献#