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行列式の計算
行列式を計算する方法について整理します。
本章において、 行列式の定義や 基本的な性質、 余因子による 行列式の展開について考察してきました。これらを踏まえて、具体的に与えられた行列式を計算する方法を示します。
行列式の計算方法
まず、具体的に与えられた行列の行列式を計算する手順について整理します。
行列式の計算方法（手順）
具体的に与えられた行列に対して、次の手順でその行列式を計算することができる。
（$1$）ある行または列が共通因子を持つ場合、それをくくり出す。
（$2$）ある行または列の定数倍を他の行または列に加えて、$0$ の多い行または列をつくる。
（$3$）$0$ の多い行または列に沿って、行列式を展開する。
（$4$）（$1$）$\sim$（$3$）を繰り返し、計算可能な次数まで下がった行列式を計算する。
（$2$）ある行または列の定数倍を他の行または列に加えて、$0$ の多い行または列をつくる。
（$3$）$0$ の多い行または列に沿って、行列式を展開する。
（$4$）（$1$）$\sim$（$3$）を繰り返し、計算可能な次数まで下がった行列式を計算する。
解説
各手順の概要と根拠
手順（$1$）と（$2$）は、行列式の基本的性質である 多重線型性と 交代性に基づく操作です。具体的には、 定理 3.7（行列式の多重線型性）と 定理 3.9（行列式の交代性）および各定理の系により、この操作の妥当性の根拠となります。
手順（$3$）は、 余因子を用いた 行列式の展開に基づく操作です。 定理 3.19（行列式の展開 1）に示した通り、 行列式の展開により、行列式の次数を $1$ つ下げることができます。したがって、（$1$）$\sim$（$3$）の操作を繰り返すことで、行列式の次数を現実的に計算可能な次数（$2$ 次、または $3$ 次）にまで下げることができるというわけです。
手順（$4$）では、直接的に行列式を計算します。（$1$）$\sim$（$3$）の操作により $2$ 次、または $3$ 次まで次数が下がっていれば、 行列式の定義に示したような、 たすき掛けの規則（サラスの公式）を用いて効率的に計算することができます。
行列式の計算における基本方針
要するに、具体的に与えられた行列式を計算する際の基本方針は「次数下げ」になります。
より効率的に計算するために、行列式の基本的性質を利用して $0$ の多い行または列を作り、その行または列に沿って行列式を展開します。これにより、展開後の行列式の数を少なくすることができます。その上で、次数の下がった行列式を計算するという流れになります。
行列式の計算例
次に、上記の手順に沿って行列式を計算する例を $2$ つ示します。
例題1（$4$ 次の行列式）
次の行列式を計算せよ。
$$
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
\; 2 & 4 & 3 & -2 \; \\
\; 1 & -2 & 1 & 6 \; \\
\; 5 & 4 & 3 & 2 \; \\
\; 1 & 1 & 3 & 4 \; \\
\end{vmatrix}
\end{align*}
$$
解答（例題1）
$$
\begin{split}
\begin{vmatrix}
\; 2 & 4 & 3 & -2 \; \\
\; 1 & -2 & 1 & 6 \; \\
\; 5 & 4 & 3 & 2 \; \\
\; 1 & 1 & 3 & 4 \; \\
\end{vmatrix}
&\overset{\text{(i)}}{=} 2 \,
\begin{vmatrix}
\; 2 & 4 & 3 & -1 \; \\
\; 1 & -2 & 1 & 3 \; \\
\; 5 & 4 & 3 & 1 \; \\
\; 1 & 1 & 3 & 2 \; \\
\end{vmatrix} \\
&\overset{\text{(ii)}}{=} 2 \,
\begin{vmatrix}
\; 0 & 2 & -3 & -5 \; \\
\; 0 & -3 & -2 & 1 \; \\
\; 0 & -1 & -12 & -9 \; \\
\; 1 & 1 & 3 & 2 \; \\
\end{vmatrix} \\
&\overset{\text{(iii)}}{=} 2 \cdot (-1) \,
\begin{vmatrix}
\; 2 & -3 & -5 \; \\
\; -3 & -2 & 1 \; \\
\; -1 & -12 & -9 \; \\
\end{vmatrix} \\
&\overset{\text{(iv)}}{=} -2 \,
\begin{vmatrix}
\; -13 & -13 & 0 \; \\
\; -3 & -2 & 1 \; \\
\; -28 & -30 & 0 \; \\
\end{vmatrix} \\
&\overset{\text{(v)}}{=} -2 \cdot (-1) \,
\begin{vmatrix}
\; -13 & -13 \; \\
\; -28 & -30 \; \\
\end{vmatrix} \\
&\overset{\text{(vi)}}{=} +2 \cdot (-13) \cdot (-2) \,
\begin{vmatrix}
\; 1 & 1 \; \\
\; 14 & 15 \; \\
\end{vmatrix} \\
&\overset{\text{(vii)}}{=} 52 \cdot (15 - 14) \\
&\overset{\text{(viii)}}{=} 52 \\
\end{split}
$$
解答の考え方（例題1）
基本的に、 上記の計算方法（手順）にしたがって計算を進めることで解が得られます。
- （$\text{i}$）第 $4$ 列は共通因子 $2$ を持つので、これをくくり出します。
- （$\text{ii}$）第 $1 \sim 3$ 行に第 $4$ 行の定数倍を加えて、第 $1$ 列に $0$ をつくります。
- 具体的には、（第 $1$ 行）$-2 \times$（第 $4$ 行）、（第 $2$ 行）$-$（第 $4$ 行）、（第 $3$ 行）$-5 \times$（第 $4$ 行）とします。
- （$\text{iii}$）第 $1$ 列に沿って行列式を展開します。
- （$\text{ii}$）において、第 $1$ 列は $(4, 1)$ 成分以外 $0$ なので、展開の結果、次数が $1$ つ下がった行列式が $1$ つだけ残ります。
- このとき、$(-1)^{4+1} \cdot 1 = -1$ が係数として出ますので、忘れずに掛けておきます。
- （$\text{iv}$）第 $1$、$3$ 行に第 $2$ 行の定数倍を加えて、第 $3$ 列に $0$ をつくります。
- 既に $3$ 次の行列式になっていますのでここで計算をしてもよいのですが、更に計算を楽にするために再び $0$ をつくることを考えます。
- 具体的には、（第 $1$ 行）$+5 \times$（第 $2$ 行）、（第 $3$ 行）$+9 \times$（第 $2$ 行）とします。
- （$\text{v}$）第 $3$ 列に沿って行列式を展開します。
- この結果、$2$ 次の行列式が1つ残り、再び係数 $-1$ が掛かります。
- （$\text{vi}$）第 $1$ 行の共通因子 $-13$、第 $2$ 行の共通因子 $-2$ をそれぞれくくり出します。
- （$\text{vii}$）簡単になった行列式を計算します。
- （$\text{viii}$）計算結果を整理します。
例題2（文字を含む行列式）
次の行列式を計算せよ。
$$
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
\; a & a^{2} & b+c \; \\
\; b & b^{2} & c+a \; \\
\; c & c^{2} & a+b \; \\
\end{vmatrix}
\end{align*}
$$
解答（例題2）
$$
\begin{split}
\begin{vmatrix}
\; a & a^{2} & b+c \; \\
\; b & b^{2} & c+a \; \\
\; c & c^{2} & a+b \; \\
\end{vmatrix}
&\overset{\text{(i)}}{=}
\begin{vmatrix}
\; a - b & a^{2} - b^{2} & - (a - b) \; \\
\; b - c & b^{2} - c^{2} & - (b - c) \; \\
\; c & c^{2} & a+b \; \\
\end{vmatrix} \\
&\overset{\text{(ii)}}{=} (a - b) (b - c)
\begin{vmatrix}
\; 1 & a + b & -1 \; \\
\; 1 & b + c & -1 \; \\
\; c & c^{2} & a+b \; \\
\end{vmatrix} \\
&\overset{\text{(iii)}}{=} (a - b) (b - c)
\begin{vmatrix}
\; 0 & a + b & -1 \; \\
\; 0 & b + c & -1 \; \\
\; a + b + c & c^{2} & a+b \; \\
\end{vmatrix} \\
&\overset{\text{(iv)}}{=} (a - b) (b - c) (a + b + c)
\begin{vmatrix}
\; a + b & -1 \; \\
\; b + c & -1 \; \\
\end{vmatrix} \\
&\overset{\text{(v)}}{=} (a - b) (b - c) (c - a) (a + b + c)
\end{split}
$$
解答の考え方（例題2）
こちらも、 上記の計算方法（手順）にしたがって計算しますが、若干、手順が前後します。
- （$\text{i}$）第 $1$、$2$ 行について $1$ つ下の行との差をとって共通因子をつくります。
- 具体的には、（第 $1$ 行）$-$（第 $2$ 行）、（第 $2$ 行）$-$（第 $3$ 行）とします。
- （$\text{ii}$）第 $1$、$2$ 行は、それぞれ共通因子 $(a - b)$、$(b - c)$ を持つので、これをくくり出します。
- （$\text{iii}$）第 $1$ 列に第 $3$ 列を加えて $0$ をつくります。
- （$\text{iv}$）第 $1$ 列に沿って行列式を展開します。
- このとき、$(a + b + c)$ が係数として出てきます。
- （$\text{v}$）簡単になった行列式を計算します。
行列式が文字を含むの場合の工夫
例題2 のように文字を含む行列式の場合は、対称性を見つけて共通因子をつくったり、加法により $0$ となる成分を見つけるなどの若干の工夫が必要です。
しかしながら、基本的には、少しだけ手順が前後するだけである場合が多く、上の 計算方針を大きく逸脱するわけではないと考えてよいかと思います。
計算上の注意点
最後に、 行列式の計算方法を適用する際の注意点を示します。
操作の順序性について
当然のことではありますが、 行列式の計算方法において、$1$ つ $1$ つの操作は順序的である点に注意が必要です。
特に、下記の手順（$2$）において、両立しない操作を同時に実行してはいけません。
行列式の計算方法（再掲）
（$1$）ある行または列が共通因子を持つ場合、それをくくり出す。
（$2$）ある行または列の定数倍を他の行または列に加えて、$0$ の多い行または列をつくる。
（$3$）$0$ の多い行または列に沿って、行列式を展開する。
（$4$）（$1$）$\sim$（$3$）を繰り返し、計算可能な次数まで下がった行列式を計算する。
（$2$）ある行または列の定数倍を他の行または列に加えて、$0$ の多い行または列をつくる。
（$3$）$0$ の多い行または列に沿って、行列式を展開する。
（$4$）（$1$）$\sim$（$3$）を繰り返し、計算可能な次数まで下がった行列式を計算する。
間違った計算方法の例
例えば、 例題2を解くにあたって、次のような操作は誤りです。
$$
\begin{split}
\begin{vmatrix}
\; a & a^{2} & b+c \; \\
\; b & b^{2} & c+a \; \\
\; c & c^{2} & a+b \; \\
\end{vmatrix}
&\overset{(\text{i}^{\prime})}{=}
\begin{vmatrix}
\; a - b & a^{2} - b^{2} & - (a - b) \; \\
\; b - c & b^{2} - c^{2} & - (b - c) \; \\
\; c - a & c^{2} - a^{2} & - (c - a) \; \\
\end{vmatrix} \\
\end{split}
$$
上記の（$\text{i}^{\prime}$）では、共通因子をつくるために（第 $1$ 行）$-$（第 $2$ 行）、（第 $2$ 行）$-$（第 $3$ 行）、（第 $3$ 行）$-$（第 $1$ 行）を、ひと息に実行しようとしています。
正しい操作と実行結果
解答の操作である（$\text{i}$）に比べて、こちらのほうが計算結果の対称性が高く、実行可能な操作のようにも見えますが、これは誤りです。
はじめに第 $1$ 行から第 $2$ 行を減じたとき、第 $1$ 行は既に $( \, a - b, \, a^{2} - b^{2}, \, - (a - b) \, )$ に変わっているため、その後、第 $3$ 行から第 $1$ 行を減じた結果は $( \, c - a, \, c^{2} - a^{2}, \, - (c - a) \, )$ にはなりません。（第 $1$ 行）$-$（第 $2$ 行）、（第 $2$ 行）$-$（第 $3$ 行）、（第 $3$ 行）$-$（第 $1$ 行）、という操作の正しい実行結果は次のようになります。
$$
\begin{split}
\begin{vmatrix}
\; a & a^{2} & b+c \; \\
\; b & b^{2} & c+a \; \\
\; c & c^{2} & a+b \; \\
\end{vmatrix}
&\overset{(\text{i}^{\prime \prime})}{=}
\begin{vmatrix}
\; a - b & a^{2} - b^{2} & - (a - b) \; \\
\; b - c & b^{2} - c^{2} & - (b - c) \; \\
\; c - a + b & c^{2} - a^{2} + b^{2} & 2a \; \\
\end{vmatrix} \\
\end{split}
$$
この場合、以降の操作は、 解答の（$\text{i}$）と変わりません。（したがって、あえて（第 $3$ 行）$-$（第 $1$ 行）を実行する必要が無いことがわかります。）
操作の順序性について気を付けるべきこと
次数の大きな行列式を取り扱う際などは、計算量が多くなります。このような場合は特に、なるべく少ない記載で解答しようとして、うっかり両立しない操作を同時に行ってしまいがちです。行列式の計算に慣れるまでは、各操作はあくまで別々であり、順々に実行されるものである点に気を付ける必要があります。
まとめ
具体的に与えられた行列に対して、次の手順でその行列式を計算することができる。
（$1$）ある行または列が共通因子を持つ場合、それをくくり出す。
（$2$）ある行または列の定数倍を他の行または列に加えて、$0$ の多い行または列をつくる。
（$3$）$0$ の多い行または列に沿って、行列式を展開する。
（$4$）（$1$）$\sim$（$3$）を繰り返し、計算可能な次数まで下がった行列式を計算する。各操作は順序的であり、両立しない操作を同時に実行してはいけない。
参考文献
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[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022.
[8] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.
初版：2022-12-24 | 改訂：2025-02-09