部分空間（2）

基本的で重要な部分空間の例を $2$ つ示します。

$2$ つの部分空間により定義される共通部分や和空間はもとのベクトル空間の部分空間になります。また、$n$ 個の変数を持つ斉次連立一次方程式の解空間は $n$ 次元数ベクトル空間 $K^n$ の部分空間になります。

部分空間の共通部分と和空間#

定理 4.7（共通部分と和空間）#

$V$ をベクトル空間として $W_1, W_2$ を $V$ の部分空間とすると、$W_1$ と $W_2$ の共通部分 $W_1 \cap W_2$ は $V$ の部分空間である。また、$W_1$ の元と $W_2$ の元の和全体の集合 $W_1 + W_2 = \{ \bm{w_1} + \bm{w_2} \mid \bm{w_1} \in W_1, \; \bm{w_2} \in W_2 \}$ も $V$ の部分空間である。

共通部分 $W_1 \cap W_2$ は、$W_1$ と $W_2$ を集合としてみたときの共通部分（$\text{intersection}$）と同じ元からなる集合です。すなわち、定理の前半は、$W_1$ と $W_2$ が部分空間であるときその共通部分も部分空間となるということを示していると理解できます。

一方で、定理の後半に現れる「 $W_1$ の元と $W_2$ の元の和全体の集合 $W_1 + W_2$ 」は和空間（$\text{sum of spaces}$）と呼ばれるものであり、$W_1$ と $W_2$ を集合としてみたときの和集合（$\text{union}$）とはまったく別のもの（異なる集合）になります。より詳しくは、和空間 $W_1 + W_2$ は 和集合 $W_1 \cup W_2$ の元により生成される（張られる）部分空間ということになりますが、部分空間を「生成する」という概念は定理 4.16（線型結合）で改めて詳しくみます。取り急ぎは、和集合と和空間を混同してはいけないという点のみ注意が必要です。

それぞれの定義を改めて整理すると、次のようになります。

証明 4.7#

$\bm{v}, \bm{w} \in W_1 \cap W_2$ とすると $\bm{v}, \bm{w} \in W_1$ かつ $\bm{v}, \bm{w} \in W_2$ である。$W_1, W_2$ は $V$ の部分空間であるから、$c, d \in K$ に対して $c \, \bm{v} + d \, \bm{w} \in W_1, \; c \, \bm{v} + d \, \bm{w} \in W_2$ となる。したがって $c \, \bm{v} + d \, \bm{w} \in W_1 \cap W_2$ であるから、系 4.6より $W_1 \cap W_2$ は $V$ の部分空間である。同様に、$\bm{v_1} + \bm{v_2}, \bm{w_1} + \bm{w_2} \in W_1 + W_2$ とすると $\bm{v_1}, \bm{w_1} \in W_1$ かつ $\bm{v_2}, \bm{w_2} \in W_2$ である。$W_1, W_2$ は $V$ の部分空間であるから、$c, d \in K$ に対して $c \, \bm{v_1} + d \, \bm{w_1} \in W_1, \; c \, \bm{v_2} + d \, \bm{w_2} \in W_2$ となる。したがって $( c \, \bm{v_1} + d \, \bm{w_1} ) + ( c \, \bm{v_2} + d \, \bm{w_2} ) = c \, ( \bm{v_1} + \bm{v_2} ) + d \, ( \bm{w_1} + \bm{w_2} ) \in W_1 + W_2$ となる。よって、系 4.6より $W_1 + W_2$ は $V$ の部分空間である。$\quad \square$

証明の骨子 4.7#

部分空間の定義に従って証明します。具体的には、部分空間の定義と同等な条件を示す系 4.6（部分空間の条件）を用います。

• まず、共通部分 $W_1 \cap W_2$ が部分空間になることを示します。
  • 定理の仮定より、$\bm{v}, \bm{w} \in W_1 \cap W_2$ とすると $\bm{v}, \bm{w} \in W_1$ かつ $\bm{v}, \bm{w} \in W_2$ です。これは共通部分の定義の通りです。
  • $W_1, W_2$ が $V$ の部分空間であるので、$c, d \in K$ に対して $c \, \bm{v} + d \, \bm{w} \in W_1, \; c \, \bm{v} + d \, \bm{w} \in W_2$ となります。これは、系 4.6（部分空間の条件）によります。
  • $c \, \bm{v} + d \, \bm{w} \in W_1$ かつ $c \, \bm{v} + d \, \bm{w} \in W_2$ なので、$c \, \bm{v} + d \, \bm{w} \in W_1 \cap W_2$ となります。これも共通部分の定義の通りです。
  • 以上から、任意の $\bm{v}, \bm{w} \in W_1 \cap W_2$ と $c, d \in K$ に対して、$c \, \bm{v} + d \, \bm{w} \in W_1 \cap W_2$ となりますので、系 4.6（部分空間の条件）より、$W_1 \cap W_2$ は $V$ の部分空間になります。
• 次に、和空間 $W_1 + W_2$ が部分空間になることを示します。
  • 定理の仮定より、$\bm{v_1} + \bm{v_1}, \bm{w_1} + \bm{w_2} \in W_1 + W_2$ とすると $\bm{v_1}, \bm{w_1} \in W_1$ かつ $\bm{v_2}, \bm{w_2} \in W_2$ です。これは和空間の定義の通りです。
  • $W_1, W_2$ が $V$ の部分空間であるので、$c, d \in K$ に対して $c \, \bm{v_1} + d \, \bm{w_1} \in W_1, \; c \, \bm{v_2} + d \, \bm{w_2} \in W_2$ となります。これは、系 4.6（部分空間の条件）によります。
  • $c \, \bm{v_1} + d \, \bm{w_1} \in W_1$ かつ $c \, \bm{v_2} + d \, \bm{w_2} \in W_2$ なので、この2つのベクトルの和 $( c \, \bm{v_1} + d \, \bm{w_1} ) + ( c \, \bm{v_2} + d \, \bm{w_2} )$ は $W_1 + W_2$ の元となるはずです。和の順序を入れ替えれば次が成り立ちます。
    $$ ( c \, \bm{v_1} + d \, \bm{w_1} ) + ( c \, \bm{v_2} + d \, \bm{w_2} ) = c \, ( \bm{v_1} + \bm{v_2} ) + d \, ( \bm{w_1} + \bm{w_2} ) \in W_1 + W_2 $$
  • 以上から、任意の $\bm{v_1} + \bm{v_1}, \bm{w_1} + \bm{w_2} \in W_1 + W_2$ と $c, d \in K$ に対して、$c \, ( \bm{v_1} + \bm{v_2} ) + d \, ( \bm{w_1} + \bm{w_2} ) \in W_1 + W_2$ となりますので、系 4.6（部分空間の条件）より、$W_1 + W_2$ は $V$ の部分空間になります。

斉次連立一次方程式の解空間#

定理 4.8（斉次連立一次方程式の解空間）#

$(m, n)$ 型の行列 $A$ で表される斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解全体の集合 $W = \{ \, \bm{x} \in K^n \mid A \bm{x} = \bm{0} \, \}$ は $K^n$ の部分空間である。

斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解全体の集合 $W = \{ \, \bm{x} \in K^n \mid A \bm{x} = \bm{0} \, \}$ を、斉次連立一次方程式の解空間（$\text{space of solutions}$）といいます。連立一次方程式を係数行列 $A$ を用いて $A \bm{x} = \bm{0}$ のように表す仕方については、クラメルの公式の項を参照ください。

斉次連立一次方程式の $A \bm{x} = \bm{0}$ は自明な解 $\bm{x} = \bm{0}$ を持ちます。これは $A \, \bm{0} = \bm{0}$ より直ちに確認できます。$A \bm{x} = \bm{0}$ が自明な解を持つということは、$A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間は少なくとも $\{ \bm{0} \}$ かそれより大きな部分空間になるということです。今後、線型写像や基底などのベクトル空間に関連する事項について、斉次連立一次方程式と関連させて考察することが多くありますが、$A \bm{x} = \bm{0}$ が自明な解のみを持つか否かということが重要な事項となっていきます。このことは、$A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間が $\{ \bm{0} \}$ より大きい否かということについて考えることに他なりません

定理の証明は、行列の演算規則と部分空間の定義（具体的には系 4.6（部分空間の条件））より明らかといえます。

証明 4.8#

$\bm{x_1}, \bm{x_2} \in W$ とすると $A \bm{x_1} = \bm{0}$ かつ $A \bm{x_2} = \bm{0}$ である。任意の $c, d \in K$ に対して $A \, (c \, \bm{x_1} + d \, \bm{x_2}) = c \, A \bm{x_1} + d \, A \bm{x_2} = \bm{0}$ となるから、$c \, \bm{x_1} + d \, \bm{x_2} \in W$ である。よって、系 4.6（部分空間の条件）より $W$ は $K^n$ の部分空間である。$\quad \square$

まとめ#

• $V$ をベクトル空間として $W_1, W_2$ を $V$ の部分空間とすると、
  

  • $W_1$ と $W_2$ の共通部分 $W_{1} \cap W_{2} = \{ \bm{w} \mid \bm{w} \in W_{1} \land \bm{w} \in W_{2} \}$ は $V$ の部分空間である。
    
  • $W_1$ の $W_2$ の和空間 $W_1 + W_2 = \{ \bm{w_1} + \bm{w_2} \mid \bm{w_1} \in W_1, \; \bm{w_2} \in W_2 \}$ も $V$ の部分空間である。
    

• $(m, n)$ 型の行列 $A$ で表される斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間 $W = \{ \, \bm{x} \in K^n \mid A \bm{x} = \bm{0} \, \}$ は $K^n$ の部分空間である。
  

参考文献#