線型写像の定義

線型写像とは、和とスカラー倍の演算（線型演算）を保存する写像です。

ここでは、線型写像を定義し、その基本的な性質を示します。すなわち、線型写像は零ベクトルを零ベクトルに移すこと、線型写像と線型写像の合成写像もまた線型写像であること、を示します。

線型写像の定義#

はじめに、線型写像を定義します。

定義 4.3（線型写像）#

$V, W$ をベクトル空間とする。$V$ から $W$ への写像 $f : V \to W$ が次の $2$ つの条件を満たすとき、$f$ を線型写像（$\text{linear mapping}$）という。

解説#

線型写像であるための条件#

線型写像とは、ベクトルの和とスカラー倍という $2$ つの演算を保存する写像です。

具体的には、次の $2$ つの条件を満たす写像 $f$ を線型写像といいます。

この条件は、線型写像が（$\text{i}$）ベクトルの和の演算を保存すること、（$\text{ii}$）スカラー倍の演算を保存すること、をそれぞれ表しています。

線型写像と通常の写像との違い#

$f$ が線型写像であるというとき、上記の条件（$\text{i}$）と（$\text{ii}$）は、通常の写像であるための条件に加えて、$f$ に求められる条件です。

ベクトル空間 $V$ と $W$ の間には（線型写像に限らず）任意の写像を定義できます。$V$ から $W$ への写像が線型写像であるためには、上記の条件（$\text{i}$）と（$\text{ii}$）を満たす必要があるということです。

ベクトル空間の間の写像が線型写像であると、単純に考えるのは誤りです。線型写像は、ベクトル空間の間の写像のうち特別なの条件を満たすものです。

線型写像の重要性#

線型写像は、線型代数学において基本的で重要な概念です。

ベクトル空間とは、和とスカラー倍という $2$ つの演算、いわゆる線型演算が定義された集合のことでした（ベクトル空間の定義）。

このような線型演算を保存する写像は、ベクトル空間の構造を保ちながら、ベクトル間の関係について考察する際などに必要不可欠です。

線型写像の性質#

次に、線型写像の基本的な性質といえる定理を、$2$つ示します。

• 定理 4.9（零ベクトルの像）
• 定理 4.10（線型写像の合成）

定理 4.9（零ベクトルの像）#

$V, W$ をベクトル空間、$f : V \to W$ を線型写像とすると、$f( \bm{0} ) = \bm{0}$ が成り立つ。

解説#

零ベクトルの像は零ベクトル#

定理 4.9（零ベクトルの像）は、「線型写像は零ベクトルを零ベクトルに移す」ということを示しています。また、「零ベクトルの（線型写像による）像は零ベクトル」ともいえます。

$f( \bm{0} ) = \bm{0}$ という式において、左辺の零ベクトルは $V$ の元（$\bm{0} \in V$） であり、右辺の零ベクトルは $W$ の元（$\bm{0} \in W$）であることに注意が必要です。したがって、より詳しくいえば、定理 4.9は、「線型写像 $f : V \to W$ は $V$ の零ベクトルを $W$ の零ベクトルに移す」ということを表しています。

線型写像の基本的な性質#

定理 4.9（零ベクトルの像）は証明もやさしく、一見明らかに成り立つ命題に思われます。しかしながら、これは、一般の（線型写像でない通常の）写像において必ずしも成り立つものではありません。

そのような意味で、定理 4.9は、線型写像を特徴づける、基本的で重要な性質の $1$ つといえます。

証明（定理 4.9）#

$f$ は線型写像であるから、$f( \bm{0} ) = f( \bm{0} + \bm{0} ) = f( \bm{0} ) + f( \bm{0} )$ が成り立つ。したがって、$f( \bm{0} ) = \bm{0}$ である。$\quad \square$

証明の考え方（定理 4.9）#

線型写像の定義から明らかといえます。

• 上記の証明では、線型写像の定義の条件（$\text{i}$）を用いています。
• 条件（$\text{ii}$）を用いて、$f( \bm{0} ) = f( 0 \cdot \bm{0} ) = 0 \cdot f( \bm{0} ) = \bm{0}$ としても示すことができます。
• それぞれ、条件（$\text{i}$）において $\bm{v_1} = \bm{v_2} = \bm{0}$、条件（$\text{ii}$）において $c = 0$、とすることで導出できます。

定理 4.10（線型写像の合成）#

$U, V, W$ をベクトル空間、$f : U \to V, \; g : V \to W$ を線型写像とすると、合成写像 $g \circ f : U \to W$ も線型写像である。

解説#

線型写像の合成写像は線型写像#

線型写像と線型写像の合成写像もまた線型写像になります。このことも、線型写像の定義より明らかであり、線型写像の基本的な性質の $1$ つです。

証明 4.10#

（$\text{i}$）任意の $\bm{u_1}, \bm{u_2} \in U$ に対して次が成り立つ。

（$\text{ii}$）任意の $\bm{u} \in U, \; c \in K$ に対して次が成り立つ。

したがって、合成写像 $g \circ f$ は線型写像である。$\quad \square$

まとめ#

• $V, W$ をベクトル空間とする。$V$ から $W$ への写像 $f : V \to W$ が次の $2$ つの条件を満たすとき、$f$ を線型写像という。

  $$\begin{equation*} \begin{alignat*} {3} & \, (\text{i}) & \quad {}^{\forall} \bm{v_1}, \bm{v_2} \in V, \; \; f( \bm{v_1} + \bm{v_2}) &= f( \bm{v_1}) + f( \bm{v_2}) \\ & (\text{ii}) & {}^{\forall} \bm{v} \in V, {}^{\forall} c \in K, \quad \; f( c \bm{v}) &= c f( \bm{v}) \\ \end{alignat*} \end{equation*}$$

• $f : V \to W$ が線型写像であれば、$f( \bm{0} ) = \bm{0}$ が成り立つ。

• $f : U \to V, \; g : V \to W$ が線型写像であれば、合成写像 $g \circ f : U \to W$ も線型写像である。

参考文献#

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