線型独立と線型従属

線型独立と線型従属という概念はベクトル（ベクトル空間の元）の組の関係を表す概念です。自明でない線型関係が存在するベクトルの組を線型従属、自明でない線型関係が存在しないベクトルの組を線型独立であると定義します。

あるベクトルの組が線型独立（または線型従属）であることは様々に表現され得ます。次項以降に、線型独立（または線型従属）なベクトルの性質について詳しく考察しますが、ここでは、定義から直ちに導かれる性質について確認します。

線型独立と線型従属の定義#

定義 4.7（線型独立と線型従属）#

$V$ をベクトル空間とする。$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k} \in V$ の間に自明でない線型関係が存在するとき $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ は線型従属（$\text{linearly dependent}$）であるといい、自明でない線型関係が存在しないとき $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ は線型独立（$\text{linearly independent}$）であるという。

線型独立または線型従属という概念は、ベクトル（ベクトル空間の元）の組の関係を表す概念であり、基本的には複数のベクトルの組に対して考えられるものです。もちろん、$1$ つのベクトル $\bm{v} \in V$ が線型独立であるといっても間違いではないが、これはあまり意味がありません。$1$ つのベクトルについての線型関係 $c \, \bm{v} = \bm{0}$ について考えると、定理 4.3（ベクトルの演算 $2$）より $c \, \bm{v} = \bm{0} \Rightarrow c = 0 \lor \bm{v} = \bm{0}$ であるので、自明でない線型関係が存在しない、すなわち $c \, \bm{v} = \bm{0}$ が $c = 0$ 以外の解を持たないというのは $\bm{v} \neq \bm{0}$ ということと同値です。つまり、$1$ つのベクトル $\bm{v} \in V$ が線型独立であるということは、$\bm{v} \neq \bm{0}$ であるということに等しいというわけです。

あるベクトルの組が線型独立または線型従属であるということは様々に表現され得ます。「$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ が線型独立である」ということは、定義に従えば「$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の間に自明でない線型関係が存在しない」ということですが、これは「$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の間には自明な線型関係しか存在しない」ということと同じです。これは二重否定文を肯定文に直したものです。より詳しく「$c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{k} \, \bm{v}_{k} = \bm{0}$ が成り立つのは $c_{1} = \cdots = c_{k} = 0$ のときに限る」ともいえます。また、論理記号を用いて「 $c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{k} \, \bm{v}_{k} = \bm{0} \Rightarrow c_{1} = \cdots = c_{k} = 0$ 」と表すこともできます。同様に「$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ が線型従属である」ということは、「$c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{k} \, \bm{v}_{k} = \bm{0}$ を成り立たせる、少なくとも $1$ つは $0$ でない $c_{1}, \cdots, c_{k}$ の組が存在する」ということと同じであり、「 ${}^{\exists} (\, c_{1}, \cdots, c_{k} \,) \neq (\, 0, \cdots, 0 \,) \; \text{s.t.} \; c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{k} \, \bm{v}_{k} = \bm{0}$ 」のようにも表せます。

また、線型独立であることと線型従属であることが背反であることは定義から明らです。すなわち、あるベクトルの組が線型独立ではないならば線型従属であり、逆もまた成り立ちます。

このように、線型独立と線型従属の定義は教科書により様々ですが、上の定義は、なかでもコンパクトな表現であるかと思います。以降の項において、線型独立（または線型従属）に関する基本的な性質として様々な定理を導いていきます。その中で、あるベクトルの組が線型独立（または線型従属）であることと同値な条件や、「$\sim$ ならば $\sim$ は線型独立（または線型従属）である」といった命題がよく出てきますが、これらを定義と混同しないように注意が必要です。あくまで、線型独立（または線型従属）の定義は上に示したものであることを忘れずに、いつでも定義に立ち戻れるようにしておくことで、不要な混乱を避けることができます。

定義から直ちにわかること#

以降の項で、線型独立（または線型従属）に関する基本的な性質として様々な定理を導いていきますが、ここでは、定義から明らかといえる事項について示します。

定理 4.17（線型独立なベクトルの性質）#

$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ が線型独立ならば、次のことが成り立つ。 （$\text{1}$）$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ はどれも $\bm{0}$ ではない。 （$\text{2}$）$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ は互いに相異なる。

証明#

$V$ をベクトル空間として、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k} \in V$ が線型独立であるとする。

（$\text{1}$）仮に $\bm{v}_{1} = \bm{0}$ とすると、たとえば $c_{1} = 1, \, c_{2} \cdots = c_{k} = 0$ は $c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{k} \, \bm{v}_{k} = \bm{0}$ を満たす。すなわち、自明でない線型関係が存在するので $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ は線型従属となり、仮定に矛盾する。$\bm{v}_{2}, \cdots, \bm{v}_{k}$ についても同様である。よって、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ はどれも $\bm{0}$ ではない。

（$\text{2}$）仮に $\bm{v}_{1} = \bm{v}_{2}$ とすると、たとえば $c_{1} = -1, \, c_{2} = 1, \, c_{3} \cdots = c_{k} = 0$ は $c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{k} \, \bm{v}_{k} = \bm{0}$ を満たす。すなわち、自明でない線型関係が存在するので $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ は線型従属となり、仮定に矛盾する。$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ の他の組合せについても同様である。よって、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ は互いに相異なる。$\quad \square$

ともに背理法により証明することができます。これらは対偶の形で表されることもあります。すなわち、（$\text{1}^{\prime}$）$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ のなかに $\bm{0}$ が含まれていれば $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ は線型従属であり、（$\text{2}^{\prime}$）$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ のなかに同じベクトルが含まれていれば $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ は線型従属となります。

まとめ#

• $V$ をベクトル空間とする。$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k} \in V$ の間に、
  • 自明でない線型関係が存在するとき $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ は線型従属であるといい、
  • 自明でない線型関係が存在しないとき $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ は線型独立であるという。
• $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ が線型独立ならば、
  • $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ はどれも $\bm{0}$ ではない。
  • $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{k}$ は互いに相異なる。

参考文献#