行列式と線型独立性（2）

列ベクトルまたは行ベクトルが線型独立であることは、正方行列が 正則である（行列式の値が $0$ でない）ことと同値です。

これは、線型独立なベクトルの組と行列式の関係を示す定理であり、 行列の階数の考察において重要な役割を果たします。

行列式と線型独立性#

定理 4.27（行列式と線型独立性）#

$A$ を $n$ 次正方行列として、$A$ の列ベクトルを $\bm{a}_{1}, \cdots, \bm{a}_{n}$、$A$ の行ベクトルを $\bm{a}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{n}$ とすると、次の $3$ つの条件は同値である。

解説#

正方行列が正則である（逆行列を持つ）ための条件#

定理 4.27（行列式と線型独立性）は、正方行列が 正則である（逆行列を持つ）ための条件（必要十分条件）を表しています。 には、その列ベクトルまたは行ベクトルが線型独立であることが必要にして十分であることを示しています。

列ベクトル・行ベクトルによる表記#

正方行列 $A$ は、列ベクトル $\bm{a}_{1}, \cdots, \bm{a}_{n}$ や行ベクトル $\bm{a}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{n}$ を用いて、次のように表すことができます（ 行列の表記法）。

ここで、$A$ は $n$ 次の正方行列であるので、 定理 4.27（行列式と線型独立性）の 条件（$2$）と（$3$）は、$A$ のすべての列ベクトルまたは行ベクトルが線型独立であることを意味しています。

正則である（逆行列を持つ）ための条件#

また、 定理 3.22（逆行列を持つための条件）より、 定理 4.27（行列式と線型独立性）の 条件（$1$）行列式の値が $0$ でない（$\lvert \, A \, \rvert \neq 0$ が成り立つ）ことは、$A$ が 正則であることと同値です。

したがって、 定理 4.27は、正方行列が正則である（逆行列を持つ）ための条件（必要十分条件）を示していると捉えられます。

すなわち、正方行列が正則である（逆行列を持つ）ためには、その列ベクトルまたは行ベクトルが線型独立であることが必要にして十分であるといえます。

関連する事項#

• 正方行列が正則であるための条件（まとめ）

線型独立・線型従属であるための条件#

定理 4.27（行列式と線型独立性）は、あるベクトルの組が線型独立・線型従属であるための条件を表しているとも捉えられます。

$n$ 個の $n$ 項数ベクトルが線型独立であるための条件#

$A$ の列ベクトル $\bm{a}_{1}, \cdots, \bm{a}_{n}$ や行ベクトル $\bm{a}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{n}$ を、単なる $n$ 項数ベクトルと捉えると、 定理 4.27（行列式と線型独立性）は、あるベクトルの組が線型独立であるための条件を表します。

すなわち、$n$ 個の $n$ 項数ベクトルが線型独立であるためには、それらを列ベクトル（または行ベクトル）として持つ行列の行列式が $0$ でないことが必要にして十分であるといえます。

$n$ 個の $n$ 項数ベクトルが線型従属であるための条件#

また、 定理 4.27（行列式と線型独立性）の対偶は、あるベクトルの組が線型従属であるための条件を表します。

すなわち、$n$ 個の $n$ 項数ベクトルが線型独立であるためには、それらを列ベクトル（または行ベクトル）として持つ行列の行列式が $0$ に等しいことが必要にして十分であるといえます。

正方行列に対応する場合に限り成り立つ#

このように、 定理 4.27（行列式と線型独立性）は、線型独立（または線型従属）なベクトルの組と行列式との関係を表しているとも考えられます。このような考え方は、 基底と次元の準備と基本的に同じです。

しかしながら、 定理 4.27は、ベクトルの組に対応する行列が正方行列の場合に限り成り立ちます。ベクトルの数と項数が等しい場合に限り、対応する行列の行列式が定義できるからです。

証明#

$\lvert \, A \, \rvert \neq 0$ とすると、$A$ は正則であり逆行列を持つから、$A \bm{x} = \bm{0}$ ならば $\bm{x} = \bm{0}$ が成り立つ。したがって、$A \bm{x} = \bm{0}$ は自明でない解を持たず、$A$ の列ベクトル $\bm{a}_{1}, \cdots, \bm{a}_{n}$ は線型独立となる。

逆に、$\bm{a}_{1}, \cdots, \bm{a}_{n}$ が線型独立であり、かつ $\lvert \, A \, \rvert = 0$ であると仮定すると、 定理 4.26（斉次連立一次方程式が自明でない解を持つための条件）より、$A \bm{x} = \bm{0}$ は自明でない解を持つことになる。しかしながら、これは、$\bm{a}_{1}, \cdots, \bm{a}_{n}$ が線型独立であることに矛盾する。よって、$\bm{a}_{1}, \cdots, \bm{a}_{n}$ が線型独立であれば $\lvert \, A \, \rvert = 0$ である。

以上から（$1$）と（$2$）は同値である。また、$\lvert \, {}^{t} A \, \rvert = \lvert \, A \, \rvert$ であるから、同様に（$1$）と（$3$）は同値である。$\quad \square$

証明の考え方#

まず、（$1$）$\Leftrightarrow$（$2$）を示し、次に、（$1$）$\Leftrightarrow$（$3$）を示します。

• （$1$）$\Leftrightarrow$（$2$）の証明：列ベクトルの 線型関係を斉次連立一次方程式に対応させて、 定理 4.26（斉次連立一次方程式が自明でない解を持つための条件）を用います。
• （$1$）$\Leftrightarrow$（$3$）の証明： 定理 3.13（転置行列の行列式）を用いて、行列式の列に関して成り立つこと（（$1$）$\Leftrightarrow$（$2$））が、行に関して（（$1$）$\Leftrightarrow$（$3$））も成り立つことを示します。

（$1$）$\Leftrightarrow$（$2$）の証明#

• 列ベクトル $\bm{a}_{1}, \cdots, \bm{a}_{n}$ の 線型関係を、斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ に対応させて考えます。

正則行列の列ベクトル（（$1$）$\Rightarrow$（$2$））#

• まず、（$\text{1}$）$\lvert \, A \, \rvert \neq 0$ ならば（$\text{2}$）$\bm{a}_{1}, \cdots, \bm{a}_{n}$ が線型独立であることを示します。

• いま、$\lvert \, A \, \rvert \neq 0$ とすると、$A$ は正則であり逆行列 $A^{-1}$ を持ちます。

• したがって、斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ に、左から $A^{-1}$ をかけると $\bm{x} = \bm{0}$ が得られます。

  $$ \begin{alignat*} {2} && A \, \bm{x} &= \bm{0} \\ & \Rightarrow \quad & A^{-1} A \, \bm{x} &= A^{-1} \bm{0} \\ & \Rightarrow & E \, \bm{x} &= \bm{0} \\ & \Rightarrow & \bm{x} &= \bm{0} \\ \end{alignat*} $$

• よって、$A \bm{x} = \bm{0}$ ならば $\bm{x} = \bm{0}$ が成り立ちます。

• これは、$A \bm{x} = \bm{0}$ が自明でない解を持たない（自明な解しか持たない）こと、すなわち、$\bm{a}_{1}, \cdots, \bm{a}_{n}$ が線型独立であることを意味します（ 線型独立の定義）。

  • このことは、背理法を用いても証明できます。
  • すなわち、仮に自明でない解 $\bm{x}^{\prime} \neq 0$ が存在するとして、$A \bm{x}^{\prime} = \bm{0}$ に左から $A^{-1}$ をかけると、$\bm{x}^{\prime} = 0$ が得られることから矛盾が導けます。

• 以上から、（$\text{1}$）$\lvert \, A \, \rvert \neq 0$ ならば（$\text{2}$）$\bm{a}_{1}, \cdots, \bm{a}_{n}$ が線型独立であることが示されました、

線型独立な列ベクトルが作る行列の行列式（（$1$）$\Leftarrow$（$2$））#

• 次に、（$\text{2}$）$\bm{a}_{1}, \cdots, \bm{a}_{n}$ が線型独立ならば（$\text{1}$）$\lvert \, A \, \rvert \neq 0$ が成り立つことを、背理法を用いて示します。
• いま、$\bm{a}_{1}, \cdots, \bm{a}_{n}$ が線型独立であり、かつ $\lvert \, A \, \rvert = 0$ であると仮定します。
  • このことは、簡潔に「（$2$）$\land \; {}^{\lnot}$（$1$）」と表せます。
  • すなわち、「（$2$）$\Rightarrow$（$1$）」の否定を仮定していることに相当します。
• このとき、$\lvert \, A \, \rvert = 0$ であることから、 定理 4.26（斉次連立一次方程式が自明でない解を持つための条件）より、$A \bm{x} = \bm{0}$ は自明でない解を持つことになります。
• よって、$\bm{a}_{1}, \cdots, \bm{a}_{n}$ は線型従属であることになりますが、これは $\bm{a}_{1}, \cdots, \bm{a}_{n}$ が線型独立であるという、もう $1$ つの仮定に矛盾します。
• 以上から、（$\text{2}$）$\bm{a}_{1}, \cdots, \bm{a}_{n}$ が線型独立ならば（$\text{1}$）$\lvert \, A \, \rvert \neq 0$ が成り立つことが示されました。

（$1$）$\Leftrightarrow$（$3$）の証明#

• 定理 3.13（転置行列の行列式）を用いて、行列式の列に関して成り立つこと（（$1$）$\Leftrightarrow$（$2$））が、行に関して（（$1$）$\Leftrightarrow$（$3$））も成り立つことを示します。

  • 定理 3.13（転置行列の行列式）より、$\lvert \, {}^{t} A \, \rvert = \lvert \, A \, \rvert $ が成り立ちます。
  • すなわち、行列式に関して、$A$ の列ベクトルに成り立つことは、$A$ の行ベクトルにも成り立ちます。

• 上記 （$1$）$\Leftrightarrow$（$2$）の証明において $A$ を ${}^{t} A$ に置き換えて考えれば、$\lvert \, {}^{t} A \, \rvert \neq 0$ であることと ${}^{t} A$ の列ベクトルが線型独立であることは同値となります。

  • ここで、${}^{t} A$ の列ベクトルとは $A$ の行ベクトル $\bm{a}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{n}$ に他なりません。

• また、 定理 3.13（転置行列の行列式）より $\lvert \, {}^{t} A \, \rvert = \lvert \, A \, \rvert$ であるから、次が成り立ちます。

  $$ \begin{gather*} \lvert \, {}^{t} A \, \rvert \neq 0 \; \Leftrightarrow \; \lvert \, A \, \rvert \neq 0 \end{gather*} $$

• よって、（$1$）$\Leftrightarrow$（$2$）が成り立つならば、同様に（$1$）$\Leftrightarrow$（$3$）が成り立つことが示されました。

証明のまとめ#

• 以上から、（$1$）$\Leftrightarrow$（$2$）かつ（$1$）$\Leftrightarrow$（$3$）が成り立つので、$3$ つの条件が同値であることが示されました。

まとめ#

• $A$ を $n$ 次正方行列として、$A$ の列ベクトルを $\bm{a}_{1}, \cdots, \bm{a}_{n}$、$A$ の行ベクトルを $\bm{a}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{n}$ とすると、次の $3$ つの条件は同値である。

参考文献

[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
[3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010.
[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008.
[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022.
[8] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.