基底と次元の準備（2）

ベクトルの組が線型従属であるための条件（十分条件）を示します。すなわち、ベクトルの数が要素の数よりも大きければ、そのベクトルの組は線型従属となります。

この定理は、前項の定理 4.23（斉次連立一次方程式が自明でない解を持つための条件）と本質的に同じものであり、これをベクトルの線型関係に置き換えて表現したものといえます。

ベクトルの組が線型従属であるための条件#

定理 4.24（線型従属なベクトルの組 1）#

$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \in K^{m}$ とする。$n \gt m$ ならば、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ は線型従属である。

解説#

ベクトルの組が線型従属であるための条件#

定理 4.24（線型従属なベクトルの組 1）は、ベクトルの組が線型従属であるための条件（十分条件）を与えます。

すなわち、ベクトルの数（$n$）が、それぞれのベクトルの要素の数（$m$）よりも大きければ、そのベクトルの組は線型従属となります。また、$n \gt m$ であれば、$n$ 個の $m$ 項列ベクトルは線型従属であるともいえます。

斉次連立一次方程式とベクトルの線型関係の対応#

定理 4.24（線型従属なベクトルの組 1）は、前項の定理 4.23（斉次連立一次方程式が自明でない解を持つための条件）と本質的に同じです。

このことは、下記の証明からも明らかといえます。すなわち、ベクトルの組の線型関係と斉次連立一次方程式は対応関係にあり、あるベクトルの組が線型従属である（自明でない線型関係が存在する）ことと、対応する斉次連立一次方程式が自明でない解を持つことは同値となります。

線型従属であるための条件を導出する流れ#

このような点から、定理 4.24（線型従属なベクトルの組 1）を定理 4.23（斉次連立一次方程式が自明でない解を持つための条件）の系としている教科書もあります（[4] など）。

一方で、定理 4.24は、次項に示す定理 4.25（線型従属なベクトルの組 2）からも導けるため、先に定理 4.25を示している教科書もあります（[2] など）。

証明#

$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \in K^{m}$ を次のようにおく。

このとき、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型関係 $x_1 \, \bm{v}_{1} + \cdots + x_n \, \bm{v}_{n} = \bm{0}$ は、次の（$\ast$）のように表せる。

ここで $A$ を $(m, n)$ 型行列、$\bm{x}$ を $n$ 項列ベクトルとして、次のようにおけば、

$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型関係（$\ast$）は $A \bm{x} = \bm{0}$ と表すことができ、これは次の斉次連立一次方程式と等しい。

いま $n \gt m$ であるから、定理 4.23（斉次連立一次方程式が自明でない解を持つための条件）より、（$\ast \ast$）は自明でない解を持つ。これを $x^{\prime}_{1}, \cdots, x^{\prime}_{n}$ とすると、$x^{\prime}_{1}, \cdots, x^{\prime}_{n}$ は（$\ast$）を満たす。すなわち、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ には自明でない線型関係が存在し、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ は線型従属である。$\quad \square$

証明の考え方#

まず（$1$）ベクトルの線型関係と斉次連立一次方程式が対応することを示した上で、（$2$）定理 4.23（斉次連立一次方程式が自明でない解を持つための条件）を適用します。

（1）線型関係と斉次連立一次方程式の対応付け#

• まず、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型関係 $x_1 \, \bm{v}_{1} + x_2 \, \bm{v}_{2} + \cdots + x_n \, \bm{v}_{n} = \bm{0}$ と、斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ が対応することを示します。

• 定理の仮定より、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \in K^{m}$ を次のようにおきます。

  $$\begin{array} {cccc} \bm{v}_{1} = \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix}, & \bm{v}_{2} = \begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{pmatrix}, & \cdots, & \bm{v}_{n} = \begin{pmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{pmatrix} \end{array}$$

• すると、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型関係 $x_1 \, \bm{v}_{1} + \cdots + x_n \, \bm{v}_{n} = \bm{0}$ は、次の（$\ast$）のように表せます。

  $$\begin{align*} \tag{$$$\ast$} x_{1} \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix} + x_{2} \begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{pmatrix} + \cdots + x_{n} \begin{pmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{pmatrix} = \bm{0} \end{align*}

• $A$ を $(m, n)$ 型行列、$\bm{x}$ を $n$ 項列ベクトルとして、次のようにおくと、（$\ast$）は更に $A \bm{x} = \bm{0}$ と表せます。

  $$\begin{array} {cc} A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix}, & \bm{x} = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} \end{array}$$
  • ここで、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ をまとめて $A = (\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n})$ としています。
  • $A \bm{x} = \bm{0}$ は、斉次連立一次方程式を係数行列を用いて表したものに他なりません。
  • これを改めて斉次連立一次方程式の形で表すと、次のようになります。
    $$\begin{align*} \left\{ \; \, \begin{alignat*} {4} && a_{11} x_{1} &+ a_{12} x_{2} &+ \cdots &+ a_{1n} x_{n} &= 0 \\ && a_{21} x_{1} &+ a_{22} x_{2} &+ \cdots &+ a_{2n} x_{n} &= 0 \\ &&&& \vdots \\ && a_{m1} x_{1} &+ a_{m2} x_{2} &+ \cdots &+ a_{mn} x_{n} &= 0 \\ \end{alignat*} \right. \end{align*} \tag{$$$\ast \ast$}

• 以上から、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型関係（$\ast$）$x_1 \, \bm{v}_{1} + x_2 \, \bm{v}_{2} + \cdots + x_n \, \bm{v}_{n} = \bm{0}$ と、斉次連立一次方程式（$\ast \ast$）$A \bm{x} = \bm{0}$ が同じであることが示されました。

（2）定理 4.23 の適用#

• 次に、定理 4.23（斉次連立一次方程式が自明でない解を持つための条件）を用いて $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が線型従属であることを示します。
• 定理の仮定より $n \gt m$ であるから、定理 4.23（斉次連立一次方程式が自明でない解を持つための条件）より、斉次連立一次方程式（$\ast \ast$）は自明でない解を持つことがわかります。
• このことは、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ に自明でない線型関係が存在することと同値です。
  • すなわち（$\ast \ast$）の自明でない解を $x^{\prime}_{1}, \cdots, x^{\prime}_{n}$ とすると、$x^{\prime}_{1}, \cdots, x^{\prime}_{n}$ は線型関係（$\ast$）を満たします。
  • よって、$x^{\prime}_1 \, \bm{v}_{1} + x^{\prime}_2 \, \bm{v}_{2} + \cdots + x^{\prime}_n \, \bm{v}_{n} = \bm{0}$ であり、かつ $x^{\prime}_{1}, \cdots, x^{\prime}_{n}$ のうち少なくとも $1$ つは $0$ でないので、$x^{\prime}_1 \, \bm{v}_{1} + x^{\prime}_2 \, \bm{v}_{2} + \cdots + x^{\prime}_n \, \bm{v}_{n} = \bm{0}$ は自明でない線型関係となります。
• 以上から、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が線型従属であることが示されました。

まとめ#

• $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \in K^{m}$ とする。$n \gt m$ ならば、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ は線型従属である。

参考文献#

[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
[3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010.
[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008.
[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022.
[8] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.