基底と次元の定義（1）

ベクトル空間の基底とは、ベクトル空間を生成する線型独立なベクトルの組です。

ベクトル空間の基底を定義し、ベクトルの組が基底であることと同値な条件を示します。ベクトル空間の様々な性質について考察する上で、基底は基本的で重要な概念です。

基底の定義#

まず、ベクトル空間の基底の定義を示します。

定義 4.8（ベクトル空間の基底）#

$V$ をベクトル空間とする。$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \in V$ が次の $2$ つの条件を満たすとき、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ は $V$ の基底（$\text{basis}$）であるという。

解説#

基底とは（定義と表記法）#

ベクトル空間 $V$ の基底とは、$V$ を生成する線型独立なベクトルの組のことです。

基底をなすベクトルを並べて、「$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ は $V$ の基底である」のように表します。また、基底をなすベクトルの組を集合として捉えて、「$\{\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,\}$ は $V$ の基底である」のように表されることもあります。なお、基底が $1$ つのベクトルからなる場合もあります。

基底であるための条件#

あるベクトルの組がベクトル空間 $V$ の基底であるためには、次の $2$ つの条件を満たすことが必要にして十分です。
（$1$）線型独立であること。
（$2$）$V$ を生成すること。

条件（$2$）について、「ベクトルの組 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が $V$ を生成する」ということは、「任意の $V$ の元が $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型結合として表せる」ということに他なりません。

ベクトル空間を「生成する」ことの意味#

「生成する」という表現は部分空間に対して用いられるものでありました（ 定理 4.16（線型結合））が、ベクトル空間 $V$ は $V$ 自身の部分空間である（ 部分空間の定義）ことを考えれば、この表現に違和感はありません。

また、条件（$2$）は、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が生成する部分空間を $\langle \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \rangle$ として、$V = \langle \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \rangle$ のように表すこともできます。

基底の定義と同値な条件#

次に、ベクトル空間の基底の定義と同値な条件を示します。

定理 4.28（基底であることと同値な条件）#

$V$ をベクトル空間とする。$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \in V$ が $V$ の基底であるためには、次の条件が成り立つことが必要にして十分である。

解説#

基底であるための条件の集約#

定理 4.28（基底であることと同値な条件）は、ベクトルの組が基底であるための条件（ 基底の定義）を集約したものです。

すなわち、次の $3$ つの条件の間には（$1$）$\land$（$2$）$\Leftrightarrow$（$3$）という関係が成り立ちます。ここで、条件（$1$）と（$2$）は、上記の 基底の定義による条件です。

実際には、 基底の定義による条件（$1$）と（$2$）は充分コンパクトで使いやすく、これを条件（$3$）に集約する意義はあまりありません。

証明#

$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が $V$ の基底であれば、 定義より $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ は $V$ を生成するので、任意の $\bm{v} \in V$ は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型結合として $\bm{v} = c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{n} \, \bm{v}_{n}$ のように表せる。仮に $\bm{v}$ が$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型結合として $2$ 通りに表せるとすると、次が成り立つ。

しかしながら、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ は線型独立であるから、$c_{1} = c^{\prime}_{1}, \cdots, c_{n} = c^{\prime}_{n}$ となる。したがって、$\bm{v} \in V$ の $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型結合としての表し方は一意的である。

逆に、任意の $\bm{v} \in V$ が $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型結合として一意に表せるとすると、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が $V$ を生成することは明らかである。また、$\bm{v} = c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{n} \, \bm{v}_{n} = \bm{0}$ とすると、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ には自明な線型関係 $0 \, \bm{v}_{1} + \cdots + 0 \, \bm{v}_{n} = \bm{0}$ が存在するため、次が成り立つ。

いま、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型結合の表し方は一意的であるから $c_{1} = 0, \cdots, c_{n} = 0$ となる。したがって、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ は線型独立である。$\quad \square$

証明の考え方#

下記の $3$ つの条件について、まず（$1$）$\land$（$2$）$\Rightarrow$（$3$）を示した後に、逆を示します。

逆の証明において、条件（$3$）は条件（$2$）を含んでいます。つまり、（$2$）$\Leftarrow$（$3$）は明らかであり、（$1$）$\Leftarrow$（$3$）のみを示せば良いことがわかります。いずれも、 基底の定義にしたがって示すことができます。

（$1$）$\land$（$2$）$\Rightarrow$（$3$）の証明#

線型結合により表せることの証明#

• 任意の $\bm{v} \in V$ が $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型結合として表せることは、 基底の定義より明らかといえます。
  • $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が $V$ の基底であるならば、 定義の条件（$2$）より、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ は $V$ を生成します。
  • すなわち、任意の $\bm{v} \in V$ は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型結合として $\bm{v} = c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{n} \, \bm{v}_{n}$ のように表せるということです。

一意性の証明#

• $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型結合による、$\bm{v} \in V$ の表し方が一意的であることを示します。

  • 背理法により、仮に $\bm{v}$ が $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型結合として $2$ 通りに表せるとして、矛盾を導きます。

• $\bm{v} \in V$ が $2$ 通りに表せるとします（背理法の仮定）。

  $$ \begin{align*} \bm{v} &= c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{n} \, \bm{v}_{n} \\ \bm{v} &= c^{\prime}_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{n} \, \bm{v}_{n} \\ \end{align*} $$

• 上記の仮定より、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型関係が得られます。

  $$ \begin{gather*} & c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{n} \, \bm{v}_{n} = c^{\prime}_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{n} \, \bm{v}_{n} \\ \Leftrightarrow & (c_{1} - c^{\prime}_{1}) \, \bm{v}_{1} + \cdots + (c_{n} - c^{\prime}_{n}) \, \bm{v}_{n} = \bm{0} \end{gather*} $$

• いま、 基底の定義の条件（$1$）より、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ は線型独立でるため、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ には自明でない線型関係が存在しません。したがって、次が成り立ちます。

  $$ \begin{gather*} & (c_{1} - c^{\prime}_{1}) \, \bm{v}_{1} + \cdots + (c_{n} - c^{\prime}_{n}) \, \bm{v}_{n} = \bm{0} \\ \Rightarrow & c_{1} - c^{\prime}_{1} = 0, \, \cdots, \, c_{n} - c^{\prime}_{n} = 0 \end{gather*} $$

• よって、$c_{1} = c^{\prime}_{1}, \cdots, c_{n} = c^{\prime}_{n}$ となりますが、これは $\bm{v}$ が $2$ 通りに表せることに矛盾します。

• 以上から、$\bm{v} \in V$ の $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型結合としての表し方は一意的であることが示されました。

（$1$）$\land$（$2$）$\Leftarrow$（$3$）の証明#

（$2$）$\Leftarrow$（$3$）の証明#

• 条件（$3$）は条件（$2$）を含んでおり、（$2$）$\Leftarrow$（$3$）は明らかといえます。

  （$2$）任意の $\bm{v} \in V$ は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型結合として表せる。
  （$3$）任意の $\bm{v} \in V$ は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型結合として一意に表せる。
  • 条件（$3$）が成り立てば、条件（$2$）も必ず成り立ちます。
  • したがって、条件（$3$）は明らかに条件（$2$）を含んでいます。
  • 一意性を要求している分、条件（$3$）の方がより厳しい条件ということもできます。

（$1$）$\Leftarrow$（$3$）の証明#

• 条件（$3$） 「任意の $\bm{v} \in V$ が $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型結合として一意に表せる」ことは、次のように表せます。

  $$ \begin{gather*} & c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{n} \, \bm{v}_{n} = c^{\prime}_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{n} \, \bm{v}_{n} \\ \Rightarrow & c_{1} = c^{\prime}_{1}, \cdots, c_{n} = c^{\prime}_{n} \end{gather*} $$

• また、示すべき条件（$1$） 「$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が線型独立である」ことは、次のように表せます。

  $$ \begin{gather*} & c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{n} \, \bm{v}_{n} = \bm{0} \\ \Rightarrow & c_{1} = 0, \cdots, c_{n} = 0 \end{gather*} \tag{$\ast$} $$
  • これは、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ には自明な線型関係しか存在しない（すなわち、自明でない線型関係が存在しない）ことを意味しています（ 線型独立の定義）。

• $\bm{v} = 0 \in V$ を $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型結合として表すと、次のようになります。

  $$ \begin{align*} \bm{v} = c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{n} \, \bm{v}_{n} = \bm{0} \end{align*} $$

• 一方で、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ には必ず自明な線型関係が存在する（ 線型関係の定義）ため、次が成り立ちます。

  $$ \begin{align*} 0 \, \bm{v}_{1} + \cdots + 0 \, \bm{v}_{n} = \bm{0} \end{align*} $$

• よって、上記の $2$ 式より、次が成り立ちます。

  $$ \begin{split} c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{n} \, \bm{v}_{n} &= \bm{0} \\ &= 0 \, \bm{v}_{1} + \cdots + 0 \, \bm{v}_{n} \\ \end{split} $$

• いま、定理の仮定より、$\bm{0} \in V$ の（$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型結合としての）表し方は一意的であるので、$c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{n} \, \bm{v}_{n} = 0 \, \bm{v}_{1} + \cdots + 0 \, \bm{v}_{n}$ ならば、$c_{1} = 0, \cdots, c_{n} = 0$ が成り立ちます。

  $$ \begin{gather*} & c_{1} \, \bm{v}_{1} + \cdots + c_{n} \, \bm{v}_{n} = 0 \, \bm{v}_{1} + \cdots + 0 \, \bm{v}_{n} \\ \Rightarrow & c_{1} = 0, \cdots, c_{n} = 0 \end{gather*} $$
  • これは、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ には自明な線型関係しか存在しない（自明でない線型関係が存在しない）ことを表す （$\ast$）式に他なりません。

• したがって、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ は線型独立であるといえます。

• 以上から、（$2$）$\Leftarrow$（$3$）$\land$（$1$）$\Leftarrow$（$3$）であるので、（$1$）$\land$（$2$）$\Leftarrow$（$3$）が示されました。

まとめ#

• $V$ をベクトル空間とする。$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \in V$ が次の $2$ つの条件を満たすとき、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ は $V$ の基底であるという。
  

  （$1$）$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ は線型独立である。
  （$2$）$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ は $V$ を生成する。

• $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が $V$ の基底であるための条件（$1$）と（$2$）は、次の条件（$3$）に集約できる。
  

  （$3$）$V$ の任意の元が $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型結合として一意に表せる。

参考文献

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[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.