同型なベクトル空間の次元（1）

同型写像は、 線型独立や 基底といったベクトル空間の性質を保存します。

これは、同型な $2$ つのベクトル空間が構造的に同じものであることを表す定理であり、同型なベクトル空間の次元について考える上で重要な定理です。

同型写像の基本的性質#

定理 4.40（同型写像と線型独立性）#

$V, W$ をベクトル空間とする。$f : V \to W$ が同型写像ならば、次が成り立つ。

解説#

同型写像の基本的性質（ 定理 4.40の主張）

定理 4.40（同型写像と線型独立性）は、 線型独立や 基底といったベクトル空間の性質が、 同型写像により保存されることを示しています。

（1）同型写像は線型独立性を保存する#

$V$ と $W$ の間に同型写像 $f : V \to W$ が存在するとき、次が成り立ちます。

• $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \in V$ が線型独立であれば、同型写像 $f$ による $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の像 $f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n}) \in W$ もまた線型独立である。
• $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} \in W$ が線型独立であれば、$f(\bm{v}_{i}) = \bm{w}_{i}$ $(1 \leqslant i \leqslant n)$ を満たすような線型独立なベクトルの組 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \in V$ が存在する。

これは、同型写像が線型独立性を保存することを意味しています。

ここで、同型写像 $f$ は、 定義より 全単射であり、$V$ の元と $W$ の元を $1$ 対 $1$ に対応させます（ 同型写像の定義）。したがって、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} \in W$ に対して、$f(\bm{v}_{i}) = \bm{w}_{i}$ $(1 \leqslant i \leqslant n)$ を満たすような $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \in V$ が存在するといえます。 定理 4.40（同型写像と線型独立性）において、このことは前提として扱っています。

（2）同型写像は基底を保存する#

同様に $V$ と $W$ の間に同型写像 $f : V \to W$ が存在するとき、次が成り立ちます。

• $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が $V$ の基底であれば $f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ は $W$ の基底である。
• $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が $W$ の基底であれば、$f(\bm{v}_{i}) = \bm{w}_{i}$ $(1 \leqslant i \leqslant n)$ を満たすようなベクトルの組 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \in V$ が存在し、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \in V$ は $V$ の基底である。

これは、同型写像が基底を保存することを意味しています。

（$1$）と同様に、同型写像 $f$ が 全単射であることから、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} \in W$ に対して、$f(\bm{v}_{i}) = \bm{w}_{i}$ $(1 \leqslant i \leqslant n)$ を満たすような $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \in V$ が存在するといえます。

同型なベクトル空間の間の対応関係#

$2$ つのベクトル空間 $V$ と $W$ の間に 同型写像が存在するということは、$V$ と $W$ が互いに同型（$V \simeq W$）であるということに他なりません（ 同型写像の定義）。

また、$2$ つのベクトル空間が同型であるというとき、それらはベクトル空間として構造的に同じものであるということを意味しています（ ベクトル空間の同型）。

このように考えれば、 定理 4.40（同型写像と線型独立性）は、$V$ と $W$ が互いに同型であるとき、（$1$）線型独立な $V$ の元と線型独立な $W$ の元が $1$ 対 $1$ に対応していること、（$2$）$V$ 基底と $W$ 基底が $1$ 対 $1$ に対応していること、をそれぞれ表していると理解できます。

証明#

（$1$）$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が線型独立であるとき、$c_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c_{n} f(\bm{v}_{n}) = \bm{0}$ とすると、$f$ が線型写像であることから次が成り立つ。

$f$ は単射であるから $\text{Ker} f = \{\, \bm{0} \,\}$ であり、

ここで、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ は線型独立であるので $c_{1} = \cdots = c_{n} = 0$ が成り立つ。よって、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ は線型独立である。逆に $f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ が線型独立であるとき、$c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{n} \bm{v}_{n} = \bm{0}$ とすると、$f$ が線型写像であることから次が成り立つ。

このとき、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ は線型独立であることから $c_{1} = \cdots = c_{n} = 0$ が成り立つ。よって、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ は線型独立である。以上から、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が線型独立であることと $f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ が線型独立であることは同値である。

（$2$）（$1$）より $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が線型独立であることと $f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ が線型独立であることは同値である。いま、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が $V$ を生成するとすれば、任意の $\bm{v} \in V$ は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型結合として表せる。また、$f$ が全射であることから任意の $\bm{w} \in W$ に対して $f(\bm{v}) = \bm{w}$ となるような $\bm{v}$ が存在し、次が成り立つ。

このとき、任意の $\bm{w} \in W$ は $f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ の線型結合として表すことができるから、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ は $W$ を生成する。逆に、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ が $W$ を生成するとすれば、任意の $\bm{w} \in W$ は $f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ の線型結合として表せる。また、$f$ は写像であるから、任意の $\bm{v} \in V$ に対して $f(\bm{v}) = \bm{w}$ となるような $\bm{w}$ が存在し、次が成り立つ。

いま、$f$ は単射であることから、

したがって、任意の $\bm{v} \in V$ は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型結合として表すことができ、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ は $W$ を生成する。以上から、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が $V$ の基底であることと $f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ が $W$ の基底であることは同値である。$\quad \square$

証明の考え方#

（$\text{i}$）$\sim$（$\text{iv}$）を次のように置いて、（$\text{i}$）$\Leftrightarrow$（$\text{ii}$）、（$\text{iii}$）$\Leftrightarrow$（$\text{iv}$）を示します。

それぞれの証明において、$f$ が 同型写像（ 線型写像かつ 全単射）であることを用います。

• （$\text{i}$）$\Rightarrow$（$\text{ii}$）は $f$ が 線型写像かつ 単射であることから、（$\text{i}$）$\Leftarrow$（$\text{ii}$）は $f$ が 線型写像であることのみから示すことができます。
• （$\text{iii}$）$\Rightarrow$（$\text{iv}$）は $f$ が 線型写像かつ 全射であることから、（$\text{iii}$）$\Leftarrow$（$\text{iv}$）は $f$ が 線型写像かつ単射であることから示すことができます。

（1）同型写像が線形独立性を保存することの証明#

（$\text{i}$）$\Rightarrow$（$\text{ii}$）の証明#

• $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が線型独立であるとして、 定義にしたがって $f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ が自明でない線型関係を持たない（自明な線型関係しか持たない）ことを確かめます。
• $f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ の線型関係 $c_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c_{n} f(\bm{v}_{n}) = \bm{0}$ について考えます。

  • $f$ が線型写像であることから次が成り立ちます。

    $$ \begin{alignat*} {2} && c_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c_{n} f(\bm{v}_{n}) &= \bm{0} \\ & \Leftrightarrow & f(c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{n} \bm{v}_{n}) &= \bm{0} \end{alignat*} $$

  • $f$ は 単射であるから $\text{Ker} f = \{\, \bm{0} \,\}$ が成り立ちます（ 定理 4.12（線型写像と単射））。すなわち、単射 $f$ により $\bm{0} \in W$ に移る元は $\bm{0} \in V$ のみであるといえます。

    $$ \begin{alignat*} {2} && f( c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{n} \bm{v}_{n} ) &= \bm{0} \\ & \Rightarrow & c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{n} \bm{v}_{n} &= \bm{0} \end{alignat*} $$

  • いま、仮定より $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ は線型独立であるので $c_{1} = \cdots = c_{n} = 0$ が成り立ちます。

• 以上から、$c_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c_{n} f(\bm{v}_{n}) = \bm{0}$ ならば $c_{1} = \cdots = c_{n} = 0$ が成り立つので、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ が自明でない線型関係を持たない（自明な線型関係しか持たない）ことが示されました。
• したがって、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ は線型独立であり、（$\text{i}$）$\Rightarrow$（$\text{ii}$）が成り立ちます。

（$\text{i}$）$\Leftarrow$（$\text{ii}$）の証明#

• 逆に、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ が線型独立であるとして、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が自明でない線型関係を持たない（自明な線型関係しか持たない）ことを確かめます。
• $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型関係 $c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{n} \bm{v}_{n} = \bm{0}$ について考えます。

  • $f$ が線型写像であることから次が成り立ちます。これは、線型写像は零ベクトルを零ベクトルに移すという線型写像の性質によります（ 定理 4.9（零ベクトルの像））。

    $$ \begin{gather*} & c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{n} \bm{v}_{n} = \bm{0} \\ \Rightarrow & f(c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{n} \bm{v}_{n}) = \bm{0} \\ \Rightarrow & c_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c_{n} f(\bm{v}_{n}) = \bm{0} \\ \end{gather*} $$

  • いま、仮定より $f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ は線型独立であるので $c_{1} = \cdots = c_{n} = 0$ が成り立ちます。

• 以上から、$c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{n} \bm{v}_{n} = \bm{0}$ ならば $c_{1} = \cdots = c_{n} = 0$ が成り立つので、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が自明でない線型関係を持たない（自明な線型関係しか持たない）ことが示されました。
• したがって、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ は線型独立であり、（$\text{ii}$）$\Rightarrow$（$\text{i}$）が成り立ちます。

（2）同型写像が基底を保存することの証明#

• （$1$）において（$\text{i}$）$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が線型独立であることと（$\text{ii}$）$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ が線型独立であることの同値性が示されましたので、あとは（$\text{iii}$）$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が $V$ を生成することと（$\text{iv}$）$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ が $W$ を生成することの同値性を示せばよいです。

（$\text{iii}$）$\Rightarrow$（$\text{iv}$）の証明#

• いま、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が $V$ を生成するとして、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ が $W$ を生成することを導きます。

• 仮定より、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が $V$ を生成するならば、任意の $\bm{v} \in V$ は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型結合として表せることになります（ 基底の定義）。

• $f$ が 全射であることから任意の $\bm{w} \in W$ に対して $f(\bm{v}) = \bm{w}$ となるような $\bm{v}$ が存在します。このとき、次が成り立ちます。

  $$ \begin{split} \bm{w} &= f( \bm{v} ) \\ &= f( c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{n} \bm{v}_{n} ) \\ &= c_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c_{n} f(\bm{v}_{n}) \\ \end{split} $$

• すなわち、任意の $\bm{w} \in W$ は $f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ の線型結合として表すことができるから、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ は $W$ を生成するといえます。

• したがって、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が $V$ の基底であれば $f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ は $W$ の基底であり、（$\text{iii}$）$\Rightarrow$（$\text{iv}$）が成り立ちます。

（$\text{iii}$）$\Leftarrow$（$\text{iv}$）の証明#

• 逆に、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ が $W$ を生成するとして、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が $V$ を生成することを導きます。

• 仮定より、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ が $W$ を生成するならば、任意の $\bm{w} \in W$ は $f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ の線型結合として表せることになります（ 基底の定義）。

• $f$ が写像であることから、任意の $\bm{v} \in V$ に対して $f(\bm{v}) = \bm{w}$ となるような $\bm{w}$ が存在し、次が成り立ちます（ 写像であるための条件）。

  $$ \begin{split} f( \bm{v} ) &= \bm{w} \\ &= c_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c_{n} f(\bm{v}_{n}) \\ &= f( c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{n} \bm{v}_{n} ) \\ \end{split} $$

• いま $f$ は 単射であることから、次が成り立ちます。

  $$ \begin{alignat*} {2} && f( \bm{v} ) &= f( c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{n} \bm{v}_{n} ) \\ & \Rightarrow & \bm{v} &= c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{n} \bm{v}_{n} \end{alignat*} $$

• すなわち、任意の $\bm{v} \in V$ は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型結合として表すことができるから、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ は $W$ を生成するといえます。

• したがって、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ が $W$ の基底であれば $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ は $V$ の基底であり、（$\text{iv}$）$\Rightarrow$（$\text{iii}$）が成り立ちます。

まとめ#

• $V, W$ をベクトル空間とする。$f : V \to W$ が同型写像ならば、次が成り立つ。
  • （$1$）$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が線型独立 $\Leftrightarrow$ $f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ が線型独立。
  • （$2$）$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が $V$ の基底 $\Leftrightarrow$ $f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n})$ が $W$ の基底。

参考文献

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