部分空間の次元（1）

部分空間の次元は、もとのベクトル空間の次元を超えません。また、部分空間がもとのベクトル空間に等しい（同型である）ことは、それぞれの次元が等しいことと同値です。

これらは、部分空間の次元に関する基本的な性質であり、 行列の階数や 連立一次方程式の解法に関する考察において重要な役割を果たします。

部分空間の次元#

定理 4.35（部分空間の次元）#

$V$ をベクトル空間、$W$ を $V$ の部分空間とすると、次のことが成り立つ。

解説#

部分空間の次元の基本的性質#

定理 4.35（部分空間の次元）は、部分空間の次元に関する基本的な性質を示しています。

（$1$）は、ベクトル空間 $V$ の部分空間 $W$ の次元が、もとのベクトル空間 $V$ の次元を超えないことを示しています。

（$2$）は、部分空間 $W$ がもとのベクトル空間 $V$ に等しくなる（同型である）ためには、それぞれの次元が等しいことが必要にして十分であることを示しています。これは、部分空間がもとのベクトル空間に等しいことと同値な条件に他なりません。

ベクトル空間の基本的性質の言い換え#

定理 4.35（部分空間の次元）は、ベクトル空間の基本的な性質を、 基底と 次元の観点から言い換えたものといえます。

そのため、 定理 4.35の（$1$）と（$2$）は、いずれも、これまでに示してきた 基底と次元の基本的性質や 部分空間の定義等から素直に導くことができます。このことは、下記の 証明からも明らかといえます。

定理 4.35の意義

このような言い換えは、以降の定理の証明において非常に有用です。

特に、 定理 4.35（部分空間の次元）は、行列の階数に関する 定理 4.64（行列の積の階数）や 定理 4.66（線型写像と階数）、 連立一次方程式の解法に関する考察などにおいて、重要な役割を果たします。

証明#

（$1$）$\dim V = m, \; \dim W = n$ として、$W$ の基底を $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ とする。$W$ は $V$ の部分空間であるから、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $V$ の元でありかつ線型独立である。また、 定理 4.30（線型独立なベクトルと次元）より、$V$ の線型独立なベクトルの個数は $V$ の次元を超えない。したがって $n \leqslant m$、すなわち $\dim W \leqslant \dim V$ が成り立つ。

（$2$）$W = V$ ならば $\dim W = \dim V$ であることは明らか。逆に、$\dim W = \dim V = n$ として、$W$ の基底を $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ とすると、$W$ が $V$ の部分空間であることから、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $V$ の元でありかつ線型独立である。いま、$\dim V = n$ であるから、 定理 4.32（次元が明らかな場合の基底の条件）より、線形独立な $n$ 個のベクトルは $V$ の基底となる。したがって、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $V$ の基底であり、$W = V$ が成り立つ。$\quad \square$

証明の考え方#

部分空間の定義にしたがって証明します。（$1$）では 定理 4.30（線型独立なベクトルと次元）を、（$2$）では 定理 4.32（次元が明らかな場合の基底の条件）を、それぞれ用います。

（1）の証明#

• $\dim V = m, \; \dim W = n$ と置いて $n \leqslant m$ を導きます。

前提事項の整理#

• $W$ の基底は、線形独立な $V$ の元であるといえます。
  • $\dim W = n$ より、$W$ は $n$ 個のベクトルからなる基底を持ち、これを $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ とします。
  • $W$ は $V$ の部分空間であるので、$W$ の元は $V$ の元であるといえます。すなわち $\bm{w} \in W \Rightarrow \bm{w} \in V$ が成り立ちます。
  • また、$W$ の基底であることから、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は線型独立です。
  • これらのことから、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $V$ の線型独立な元であるといえます。

$n \leqslant m$ の導出#

• 定理 4.30（線型独立なベクトルと次元）を用いて、$n \leqslant m$ を導きます。
• 定理 4.30において $\dim V = m$ とすると、$V$ の線形独立なベクトルの数は高々 $m$ 個であるといえます。
  • すなわち、$V$ には $m$ 個の線型独立なベクトルが存在するものの、$m$ 個より多くの線型独立なベクトルは存在しないことになります。
  • または、$V$ の線型独立な元の個数は $V$ の次元（$\dim V = m$）を超えない、ともいえます。
• いま、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $V$ の線型独立な（$n$ 個の）元であるので、その個数は $V$ の次元（$m$）を超えません。
• したがって、$n \leqslant m$ すなわち、$\dim W \leqslant \dim V$ が成り立ちます。

（2）の証明#

• （$\text{i}$）$\dim W = \dim V$、（$\text{ii}$）$W = V$ として、（$\text{i}$）と（$\text{ii}$）の同値性を示します。

（$\text{i}$）$\Leftarrow$（$\text{ii}$）の証明#

• $W = V$ ならば $\dim W = \dim V$ であることは、 次元の定義より明らかといえます。
  • 「 $W = V$ ならば $\dim W = \dim V$ 」であるということは、互いに等しいベクトル空間の次元は等しいということに他なりません。
  • これは、ベクトル空間に対してその次元が一意に定まること（ 定理 4.29（次元の一意性））から明らかといえます。

（$\text{i}$）$\Rightarrow$（$\text{ii}$）の証明#

• 逆に、$\dim W = \dim V$ として、$W = V$ であることを導きます。
• まず、$W$ の基底が $V$ の線形独立な元であることを確かめます。
  • $\dim W = n$ とすると、$W$ は $n$ 個のベクトルからなる基底を持ち、これを $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ とします。
  • （$1$）の証明と同様、$W$ は $V$ の部分空間であることから、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $V$ の元であり、$W$ の基底であることから、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は線型独立であるといえます。
  • すなわち、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は線型独立な $V$ の元であるといえます。
• 次に、 定理 4.32（次元が明らかな場合の基底の条件）を用いて、$W = V$ を導きます。
  • 定理 4.32は、$\dim V = n$ という条件の下、$V$ の $n$ 個の元が（$1$）「$V$ の基底である」こと（$2$）「線型独立である」こと（$3$）「$V$ を生成する」ことが同値であることを示すものでした。
  • いま、$\dim V = n$ であり、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $n$ 個の線型独立な元であるので、 定理 4.32より、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $V$ の基底となります。
  • つまり、$W$ と $V$ は同じ基底 $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ を持つということであり、同じ基底により生成されるベクトル空間は等しいので、$W = V$ が成り立つといえます。
• 以上から、（$\text{i}$）$\Leftrightarrow$（$\text{ii}$）が示されました。

まとめ#

• $V$ をベクトル空間、$W$ を $V$ の部分空間とすると、次のことが成り立つ。

参考文献

[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
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[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
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[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
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[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
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[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.