部分空間の次元（2）

ベクトル空間 $U$ の $2$ つの部分空間 $V$ と $W$ の次元の和は、それぞれの和空間 $V + W$ と共通部分 $V \cap W$ の次元の和に等しくなります。

部分空間の次元の和に関するこの定理は、 部分空間の直和について考える際に重要となります。

部分空間の次元の和#

定理 4.36（和空間と共通部分の次元）#

$U$ をベクトル空間、$V, W$ を $U$ の部分空間とすると、次が成り立つ。

解説#

部分空間の次元の和#

定理 4.36（和空間と共通部分の次元）は、あるベクトル空間 $U$ の $2$ つのベクトル空間 $V$ と $W$ の次元の和が、それぞれの和空間 $V + W$ と共通部分 $V \cap W $ の次元の和に等しいことを示しています。

和空間と共通部分の次元#

また、 定理 4.36（和空間と共通部分の次元）は、$2$ つの部分空間の和空間と共通部分の次元に関する関係式であるともいえます。

ここで、和空間と共通部分がともに部分空間であることと、和空間は和集合と異なるものであること、に注意が必要です。

和空間と共通部分はともに部分空間#

定理 4.7（共通部分と和空間）より、$2$ つの部分空間の和空間と共通部分は、ともにもとのベクトル空間の部分空間となります。したがって、 定理 4.36（和空間と共通部分の次元）において、和空間 $V + W$ と共通部分 $V \cap W$ は、ともに $U$ の部分空間であり、それぞれ次元が定義できます。

和空間と和集合の違い#

$V$ と $W$ の和空間 $V + W$ は、$V$ と $W$ の和集合 $V \cup W$ により生成される部分空間であり、和空間と和集合は異なります。

それぞれの定義は、次の通りです。和空間と和集合を混同しないよう注意が必要です（ 定理 4.7（共通部分と和空間）参照）。

和集合と共通部分の濃度に関する関係式との違い#

また、 （4.4.1）式は、有限集合の元の個数（あるいは濃度）に関する、次の関係式に似ているとみることもできます。

一般に、$2$ つの集合 $A$ と $B$ の元の個数（あるいは濃度）は、それぞれの和集合と共通部分の元の個数の和に等しくなります。ここで、有限集合 $A$ の元の個数を $\lvert \, A \, \rvert$ と表しています。

集合の元の個数を部分空間の次元と読み替えれば、これは （4.4.1）式と似た形にみえます。しかしながら、 上記の考察の通り、和集合と和空間は異なりますので、これらの式に意味のある関係性は見出せません。

部分空間の直和（共通部分が零ベクトルのみの場合）#

（4.4.1）式において、特に、$V$ と $W$ が零ベクトル $\bm{0}$ のみを共有するとき、すなわち $V \cap W = \{ \bm{0} \}$ であるとき、次が成り立ちます。

このように、$2$ つの部分空間の和空間の次元が、それぞれの部分空間の次元の和に等しいとき、和空間 $V + W$ は $V$ と $W$ との直和（$\text{direct sum}$）であるといい、$V \oplus W$ などと表します。

直和の定義については改めて整理しますが、 （4.4.2）式は、$2$ つの部分空間の和空間が直和であることと同値な条件の $1$ つであることがわかります（ 定理 4.38（部分空間の直和））。

証明#

$\dim \, (\, V \cap W \,) = l$ として、$V \cap W$ の基底を $\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l}$ とする。$\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l}$ は $V, W$ の元であり線型独立であるから、 定理 4.33（線型独立なベクトルと基底）より、これを拡大して $V$ と $W$ の基底を作ることができる。$V$ の基底を $\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l}, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$、$W$ の基底を $\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l}, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ とすると、$\dim V = l + m, \; \dim W = l + n$ である。また、和空間 $V + W$ の定義より、任意の $\bm{v} + \bm{v} \in V + W$ は $\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l},$ $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m},$ $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型結合として表されるため、$\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l},$ $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m},$ $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $V + W$ を生成する。

いま、$a_{i}, \, b_{j}, \, c_{k} \in K$ として、

とすると、

である。（$\ast \ast$）式において、左辺は $V$ の元であり右辺は $W$ の元であるから、各辺はともに $V \cap W$ の元である。したがって、右辺は次のように $\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l}$ の線型結合で表せる。

ここで、$\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l}, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は線型独立であることから、$c_{1} = \cdots = c_{n} = 0, \; a^{\prime}_{1} = \cdots = a^{\prime}_{l} = 0$ が成り立つ。よって（$\ast \ast$）式は、次のようになる。

更に、$\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l}, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ が線型独立であることから、$a_{1} = \cdots = a_{l} = 0, \; b_{1} = \cdots = b_{m} = 0$ が成り立つ。すなわち、（$\ast$）式が成り立つならば、すべての係数 $a_{i}, \, b_{j}, \, c_{k}$ は $0$ に等しくなる。よって、$\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l},$ $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m},$ $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は線型独立である。

したがって、$\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l},$ $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m},$ $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $V + W$ の基底であり、$\dim \, (\, V + W \,) = l + m + n$ である。以上から、次が成り立つ。

証明の考え方#

定理 4.33（線型独立なベクトルと基底）により、$V \cap W$ の基底を拡大して、（$1$）部分空間 $V$ と $W$ の基底を作ります。また、$V$ と $W$ の基底から（$2$）和空間 $V + W$ の基底が得られます。このようにして、和空間 $V + W$ の次元を求め、（$3$）それぞれの次元の間の関係を整理します。

（1）部分空間 $V, W$ の基底の構築#

• 共通部分 $V \cap W$ の基底を拡大して、部分空間 $V$ と $W$ の基底を作ります。
• $\dim \, (\, V \cap W \,) = l$ として、$V \cap W$ の基底を $\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l}$ とします。
  • 共通部分 $V \cap W$ は $V$ と $W$ の部分空間であるので、$\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l}$ は、$V$ と $W$ の元でもあります。
  • すなわち、$\bm{u} \in V \cap W \Rightarrow \bm{u} \in V$ かつ $\bm{u} \in V \cap W \Rightarrow \bm{u} \in W$ が成り立ちます。
  • また、$\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l}$ は $V \cap W$ の基底であるので、$\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l}$ は線型独立です。
• 定理 4.33（線型独立なベクトルと基底）より、$\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l}$ を拡大して $V$ と $W$ の基底を作ることができます。
  • すなわち、線型独立なベクトル $\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l} \in V$ に適当な $V$ のベクトルを付け加えて、$\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l}, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ が $V$ の基底となるようにできます。
  • 同様に、線型独立なベクトル $\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l} \in W$ に適当な $W$ のベクトルを付け加えて、$\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l}, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が $V$ の基底となるようにできます。
• このとき、$V$ と $W$ の次元は、次のように表すことができます。
  $$ \begin{align*} \dim V &= l + m \; , \\ \dim W &= l + n \end{align*} $$

（2）和空間 $V + W$ の基底の構築#

• 部分空間 $V$ と $W$ の基底から、和空間 $V + W$ の基底が得られます。

和空間 $V + W$ の生成元#

• まず、$V$ と $W$ の基底をなすベクトルを合わせることで、$V + W$ の生成元が得られます。
• 和空間の定義より、$V + W = \{ \bm{v} + \bm{w} \mid \bm{v} \in V, \; \bm{w} \in W \}$ であるので、任意の $\bm{v} + \bm{w} \in V + W$ は、$\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l},$ $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m},$ $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型結合として表されます。より詳しくは、次の通りです。
  • すなわち、任意の $V + W$ の元は、$V$ の元 $\bm{v}$ と $W$ の元 $\bm{w}$ の和として表せます。
  • 任意の $\bm{v} \in V$ は $\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l}, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合として、任意の $\bm{w} \in W$ は $\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l}, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型結合として、それぞれ表せます。
  • したがって、任意の $\bm{v} + \bm{v} \in V + W$ は $\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l},$ $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m},$ $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型結合として表される、ということです。
• よって、$\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l},$ $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m},$ $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が $V + W$ を生成することがわかります。

線形独立性の証明#

• 次に、$V + W$ の生成元 $\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l},$ $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m},$ $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が線型独立であることを示します。

  • これは、$\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l},$ $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m},$ $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が自明でない線型関係を持たない（自明な線型関係しか持たない）ことを示すことで確かめます。

• いま、$a_{i}, \, b_{j}, \, c_{k} \in K$ として、次のような $\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l},$ $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m},$ $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型関係について考えます。

  $$ \begin{align} \tag{$\ast$} \sum_{i}^{l} \, a_{i} \bm{u}_{i} + \sum_{j}^{m} \, b_{j} \bm{v}_{j} + \sum_{k}^{n} \, c_{k} \, \bm{w}_{k} = \bm{0} \end{align} $$

• （$\ast$）式において、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ に関する和を右辺に移項して、次のように変形します。

  $$ \begin{align} \tag{$\ast \ast$} \sum_{i}^{l} \, a_{i} \bm{u}_{i} + \sum_{j}^{m} \, b_{j} \bm{v}_{j} = - \sum_{k}^{n} \, c_{k} \, \bm{w}_{k} \end{align} $$

• （$\ast \ast$）式の両辺は、それぞれ $V \cap W$ の元であるベクトルを表しているとみることができます。

  • 左辺は、$\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l}, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合として表されているので、$V$ の元です。
  • 同様に、右辺は $\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l}, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型結合として表されているので、$W$ の元です。
  • したがって、 （$\ast \ast$）式が表すベクトルは $V$ の元かつ $W$ の元、つまり、$V \cap W$ の元であるといえます。

• （$\ast \ast$）式が $V \cap W$ の元であることから、 （$\ast \ast$）式の右辺は $\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l}$ の線型結合で表すことができます。

  $$ \begin{align*} -\sum_{k}^{n} \, c_{k} \, \bm{w}_{k} = \sum_{i}^{l} \, a^{\prime}_{i} \bm{u}_{i} \end{align*} $$

  • 上式を次のように変形すると、これは、$\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l}, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型関係を表していることがわかります。

    $$ \begin{align*} \sum_{k}^{n} \, c_{k} \, \bm{w}_{k} + \sum_{i}^{l} \, a^{\prime}_{i} \bm{u}_{i} = \bm{0} \end{align*} $$

  • いま、$\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l}, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $W$ の基底であり、線型独立です。

  • よって、$\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l}, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は自明な線型関係しか持たないことがわかります（ 線型独立の定義）。

  • よって、この等式が成り立つのは、$c_{1} = \cdots = c_{n} = 0, \; a^{\prime}_{1} = \cdots = a^{\prime}_{l} = 0$ のときに限られます。

• したがって、 （$\ast \ast$）式は、次のようになります。

  $$ \begin{align*} \sum_{i}^{l} \, a_{i} \bm{u}_{i} + \sum_{j}^{m} \, b_{j} \bm{v}_{j} = \bm{0} \end{align*} $$
  • ここでも、$\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l}, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ は $V$ の基底であり、線型独立です。
  • よって、この等式が成り立つのは、$a_{1} = \cdots = a_{l} = 0, \; b_{1} = \cdots = b_{m} = 0$ のときに限られます。

• 以上の考察から、 （$\ast \ast$）式、すなわち （$\ast$）式が成り立つのは、すべての係数 $a_{i}, \, b_{j}, \, c_{k}$ が $0$ であるときに限られるといえます。

  • つまり、 （$\ast$）式が成り立つならば、$a_{1} = \cdots = a_{l} = 0, \; b_{1} = \cdots = b_{m} = 0, \; c_{1} = \cdots = c_{n} = 0$ であるということです。
  • これは、$\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l},$ $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m},$ $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が自明でない線型関係を持たないということに他なりません。

• よって、$\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l},$ $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m},$ $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は線型独立であるといえます。

• 以上から、$\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l},$ $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m},$ $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は線型独立であり、$V + W$ を生成するため、$V + W$ の基底となります。

（3）次元の関係式の整理#

• 以上の考察から、和空間 $V + W$ は $l + m + n$ 個のベクトルからなる基底を持つことがわかりました。したがって、次が成り立ちます。

  $$ \begin{gather*} \dim \, (\, V + W \,) = l + m + n \end{gather*} $$

• また、$\dim \, (\, V \cap W \,) = l,$ $\dim V = l +m,$ $\dim W = l +n$ であることから、次が成り立ちます。

  $$ \begin{align*} \dim V + \dim W &= (\, l + m \,) + (\, l + n \,) \\ &= (\, l + m + n \,) + l \\ &= \dim \, (\, V + W \,) + \dim \, (\, V \cap W \,) \end{align*} $$

• 以上から、題意が示されました。

（別解）背理法による線型独立性の証明#

上記の証明は、ベクトル空間の基底と次元の基本的な性質ともいえる 定理 4.33（線型独立なベクトルと基底）を用いるなど、基本的には素直な論理展開といえます。

しかしながら、和空間 $V + W$ の生成元が線型独立であることを示す際の （$\ast$）式の変形は、若干のテクニックがいる箇所です。

ここは、$\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l},$ $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m},$ $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が線型従属であると仮定して矛盾を導く、という背理法で代替することも可能です。

すなわち、$\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l}, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}, \bm{w}_{k}$ が線型従属であれば、 定理 4.21（線型独立なベクトルの線型結合）により、$\bm{w}_{k}$ が $\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{l}, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合として表されることになります。つまり、$\bm{w}_{k} \in V \cap W$ となりますが、これは $\bm{w}_{k}$ のとり方に矛盾する、といった流れで線型独立性を証明することもできます。

まとめ#

• $U$ をベクトル空間、$V, W$ を $U$ の部分空間とすると、次のことが成り立つ。
  $$ \begin{equation*} \dim V + \dim W = \dim \, (\, V + W \,) + \dim \, (\, V \cap W \,) \end{equation*} $$

参考文献

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