線型写像の基本定理

線型写像の像と核の次元に関して成り立つ定理を示します。すなわち、線型写像 $f : V \to W$ において、$f$ の核と像の次元の和は $V$ の次元に等しくなります。

これは、線型写像の基本定理とも呼ばれるきわめて重要な定理であり、 行列の階数や 連立一次方程式の解法に関する考察など、様々な項目において重要な役割を果たします。

線型写像の像と核の次元#

定理 4.37（線型写像の基本定理）#

$V, W$ をベクトル空間とすると、線型写像 $f : V \to W$ について、次が成り立つ。

解説#

線型写像の基本定理とは#

定理 4.37（線型写像の基本定理）は、線型写像 $f$ の核（$\text{Ker} f$）と像（$\text{Im} f$）の次元の和が、$f$ の定義域 $V$ の次元に等しいことを示しています。

定理 4.37は、線型写像の性質をよく表すものであり、線型写像の基本定理などと呼ばれます。また、 （4.4.3）式は、 行列の階数や 連立一次方程式の解法に関する考察など、様々な項目において重要な役割を果たします。

線型写像の核と像は部分空間#

線型写像 $f$ の核（$\text{Ker} f$）と像（$\text{Im} f$）は、それぞれ、$V$ と $W$ の部分空間です。

それぞれの 定義を改めて示すと、次の通りです。

すなわち、$\text{Ker} f$ とは $f$ の核（$\text{kernel}$）のことであり、$f$ により $\bm{0} \in W$ に移される $V$ の元の集合（$V$ の部分集合）です。同様に、$\text{Im} f$ とは $f$ の像（$\text{image}$）のことであり、$f$ により $V$ から移されたの元の集合（$W$ の部分集合）です。

$\text{Ker} f$ と $\text{Im} f$ は（線型写像に限らない）一般の写像 $f$ に対して、集合として定義されますが、 定理 4.11（線型写像の像と核）より、$f$ が線型写像ならば、$\text{Ker} f$ は $V$ の部分空間、$\text{Im} f$ は $W$ の部分空間となります。したがって、それぞれに次元を定義することができ、 定理 4.37（線型写像の基本定理）が成り立つということです。

線型写像の基本定理のイメージ図#

定理 4.37（線型写像の基本定理）の （4.4.3）式は、次のように図示することができます。

ここで、図の高さ（縦）はそれぞれ $V$ と $W$ の次元の大きさを、図の広がり（横）は線型写像 $f$ による $V$ と $W$ の対応を表しています。図の左側において、$\text{Ker} f$ の次元と $\text{Im} f$ の次元の和が、$V$ の次元に等しいことを表しています。

線型写像の基本定理の特別な場合#

定理 4.37（線型写像の基本定理）の証明に先立って、 上記で導入したイメージ図を用いて、次のような特別な場合について考えます。

• （$1$）$f$ が零写像である場合：$\text{Im} f = \{ \bm{0} \}$ が成り立つ
• （$2$）$f$ が単射である場合：$\text{Ker} f = \{ \bm{0} \}$ が成り立つ

（1）$f$ が零写像である場合#

$\text{Im} f = \{ \bm{0} \}$ であるとき、$f$ は任意の $V$ の元を $W$ の零ベクトルに対応させる写像であり、零写像（$\text{zero mapping}$）と呼ばれます。零写像が線型写像であることは、定義から直ちに確かめられます。

$f$ は任意の $\bm{v} \in V$ を $\bm{0} \in W$ に対応させるので、このとき、$\text{Im} f = \{ \bm{0} \}$ かつ $\text{Ker} f = V$ が成り立ちます。したがって、$\dim \, (\, \text{Im} f \,) = 0$ かつ $\dim \, (\, \text{Ker} f \,) = \dim V$ であり、このとき （4.4.3）式が成り立つことは明らかといえます。

また、このとき $f$ は次のように表すことができます。

（2）$f$ が単射である場合#

$\text{Ker} f = \{ \bm{0} \}$ であるとき、 定理 4.12（線型写像と単射）より、$f$ は単射となります。

このとき、$\dim \, (\, \text{Ker} f \,) = 0$ となるので、 （4.4.3）式は $\dim \, (\, \text{Im} f \,) = \dim V$ となります。これが成り立つことは直ちに明らかとはいえませんが、下記の 証明により確かめられます。

また、このとき $f$ は次のように表すことができます。

（2’）$f$ が全単射である場合#

定理 4.37（線型写像の基本定理）の範疇を超えますが、$f$ が全単射（全射かつ単射）であれば、 （4.4.3）式は $\dim V = \dim \, (\, \text{Im} f \,) = \dim W$ となります。

これは、$f$ が同型写像（線型写像かつ全単射）であれば、$V$ と $W$ が同型（$V \simeq W$）であり、同型なベクトル空間の次元は等しいということを表しています。このことは、 定理 4.41（ベクトル空間が同型であることと同値な条件）において改めて示します。

証明#

$\dim \, (\, \text{Ker} f \,) = m$ として、$\text{Ker} f$ の基底を $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ とする。$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ は $V$ の元であり、かつ線型独立であるから、 定理 4.33（線型独立なベクトルと基底）より、これを拡大して $V$ の基底を作ることができる。

いま、$V$ の基底を $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}, \bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ とすると、$\dim V = m + n$ であり、任意の $\bm{v} \in V$ は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}, \bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ の線型結合で表せる。また、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \in \text{Ker} f$ であることから、任意の $\bm{w} \in \text{Im} f$ は、次のように表せる。

したがって、$\bm{w}_{1} = f(\bm{v}^{\prime}_{1}), \cdots, \bm{w}_{n} = f(\bm{v}^{\prime}_{n})$ とすると、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $\text{Im} f$ を生成する。また、$d^{\prime}_{1} \bm{w}_{1} + \cdots + d^{\prime}_{n} \bm{w}_{n} = \bm{0}$ とすると、

であるから、$d^{\prime}_{1} \bm{v}^{\prime}_{1} + \cdots + d^{\prime}_{n} \bm{v}^{\prime}_{n} \in \text{Ker} f$ である。よって、$d^{\prime}_{1} \bm{v}^{\prime}_{1} + \cdots + d^{\prime}_{n} \bm{v}^{\prime}_{n}$ は、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合として、次のように表せる。

ここで、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}, \bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ が線型独立であることから $d_{1} = \cdots = d_{m} = d^{\prime}_{1} = \cdots = d^{\prime}_{n} = 0$ である。よって、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は線型独立である。以上から、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $\text{Im} f$ の基底であり、$\dim \, (\, \text{Im} f \,) = n$ である。したがって、次が成り立つ。

証明の考え方#

$\text{Ker} f$ が $V$ の部分空間であることから、（$1$）$\text{Ker} f$ の基底 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ を拡大して $V$ の基底 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}, \bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ を作ります。このとき、$\dim \, (\, \text{Ker} f \,) = m, \; \dim V = m + n$ となるので、（$2$）追加した $\bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ の像 $f(\bm{v}^{\prime}_{1}), \cdots, f(\bm{v}^{\prime}_{n})$ が $\text{Im} f$ の基底であることを示すことで、$\dim \, (\, \text{Im} f \,) = n$ となり、題意が満たされます。

証明においては、$f$ が線型写像であることや $f$ の核（$\text{Ker} f$）と像（$\text{Im} f$）の性質を利用します。

（1）$V$ の基底の構築#

• $\text{Ker} f$ の基底を拡大して、$V$ の基底を作ります。
• $\dim \, (\, \text{Ker} f \,) = m$ とすると、$\text{Ker} f$ のは $m$ 個のベクトルからなる基底を持つことになり、これを $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ とします。
• $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ は $V$ の元であり、かつ線型独立であるから、 定理 4.33（線型独立なベクトルと基底）より、これを拡大して $V$ の基底を作ることができます。
  • いま、$\text{Ker} f$ の基底に $n$ 個のベクトルを追加した、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}, \bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ が $V$ の基底であるとします。
  • このとき、$\dim V = m + n$ となります。

（2）$\text{Im} f$ の基底の構築#

• $V$ の基底から $\text{Im} f$ の基底を作ります。
• 特に、 （$1$）で追加した $\bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ の像 $f(\bm{v}^{\prime}_{1}), \cdots, f(\bm{v}^{\prime}_{n})$ が $\text{Im} f$ の基底であることを示します。

$\text{Im} f$ の生成元#

• $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}, \bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ は $V$ の基底であるので、任意の $\bm{v} \in V$ は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}, \bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ の線型結合で表せます。

• したがって、任意の $\text{Im} f$ の元 $\bm{w}$ は、次のように表せます。

  $$ \begin{split} \bm{w} &= f (\bm{v}) \\ &\overset{(\text{i})}{=} f (c_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + c_{m} \bm{v}_{m} \\ & \qquad \, + c^{\prime}_{1} \bm{v}^{\prime}_{1} + \cdots + c^{\prime}_{n} \bm{v}^{\prime}_{n}) \\ &\overset{(\text{ii})}{=} c_{1} f(\bm{v}_{1}) + \cdots + c_{m} f(\bm{v}_{m}) \\ & \qquad \, + c^{\prime}_{1} f(\bm{v}^{\prime}_{1}) + \cdots + c^{\prime}_{n} f(\bm{v}^{\prime}_{n}) \\ &\overset{(\text{iii})}{=} c^{\prime}_{1} f(\bm{v}^{\prime}_{1}) + \cdots + c^{\prime}_{n} f(\bm{v}^{\prime}_{n}) \\ \end{split} $$
  • （$\text{i}$）$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}, \bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ は $V$ の基底であるので、任意の $V$ の元は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}, \bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ の線型結合で表せます。
  • （$\text{ii}$）$f$ は線型写像であるので、和とスカラー倍の演算を保存します（ 線型写像の定義）。
  • （$\text{iii}$）$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ は $\text{Ker} f$ の基底であるので、$f(\bm{v}_{1}) = \bm{0}, \cdots, f(\bm{v}_{m}) = \bm{0}$ が成り立ちます。

• ここで、$\bm{w}_{1} = f(\bm{v}^{\prime}_{1}), \cdots, \bm{w}_{n} = f(\bm{v}^{\prime}_{n})$ とすると、任意の $\text{Im} f$ の元は $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型結合として表せるので、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $\text{Im} f$ を生成するということになります。

線形独立性の証明#

• 上記の考察から、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が $\text{Im} f$ を生成することがわかったので、次に、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が線型独立であることを示します。

• つまり、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が自明でない線型関係を持たないことを示すため、$d^{\prime}_{1} \bm{w}_{1} + \cdots + d^{\prime}_{n} \bm{w}_{n} = \bm{0}$ として、$d^{\prime}_{1} = \cdots = d^{\prime}_{n} = 0$ を導きます。

• いま、$d^{\prime}_{1} \bm{w}_{1} + \cdots + d^{\prime}_{n} \bm{w}_{n} = \bm{0}$ は、次のように同値変形できます。

  $$ \begin{alignat*} {3} && d^{\prime}_{1} \bm{w}_{1} + \cdots + d^{\prime}_{n} \bm{w}_{n} &= \bm{0} \\ &\overset{(\text{i})}{\iff} & \; d^{\prime}_{1} f(\bm{v}^{\prime}_{1}) + \cdots + d^{\prime}_{n} f(\bm{v}^{\prime}_{n}) &= \bm{0} \\ &\overset{(\text{ii})}{\iff} & f (d^{\prime}_{1} \bm{v}^{\prime}_{1} + \cdots + d^{\prime}_{n} \bm{v}^{\prime}_{n}) &= \bm{0} \\ \end{alignat*} $$
  • （$\text{i}$）$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の置き方によります。いま、$\bm{w}_{1} = f(\bm{v}^{\prime}_{1}), \cdots, \bm{w}_{n} = f(\bm{v}^{\prime}_{n})$ としています。
  • （$\text{ii}$）$f$ は線型写像であるので、和とスカラー倍の演算を保存します（ 線型写像の定義）。

• 上式において、$d^{\prime}_{1} \bm{v}^{\prime}_{1} + \cdots + d^{\prime}_{n} \bm{v}^{\prime}_{n}$ を $V$ のベクトルとみれば、このベクトルは $f$ によって $\bm{0} \in W$ に移るので、$d^{\prime}_{1} \bm{v}^{\prime}_{1} + \cdots + d^{\prime}_{n} \bm{v}^{\prime}_{n} \in \text{Ker} f$ であると捉えることができます。

  • $d^{\prime}_{1} \bm{v}^{\prime}_{1} + \cdots + d^{\prime}_{n} \bm{v}^{\prime}_{n}$ は $\text{Ker} f$ の元なので、次のように $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$（$\text{Ker} f$ の基底）の線型結合で表すことができ、次のように変形できます。

    $$ \begin{gather*} & d^{\prime}_{1} \bm{v}^{\prime}_{1} + \cdots + d^{\prime}_{n} \bm{v}^{\prime}_{n} = d_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + d_{m} \bm{v}_{m} \\ & \Leftrightarrow \qquad \begin{align*} (-d_{1}) \bm{v}_{1} &+ \cdots + (-d_{m}) \bm{v}_{m} \\ + & \; d^{\prime}_{1} \bm{v}^{\prime}_{1} + \cdots + d^{\prime}_{n} \bm{v}^{\prime}_{n} = \bm{0} \\ \end{align*} \end{gather*} $$

  • これは、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}, \bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ の間の線型関係に他なりません。

  • （$1$）の仮定より、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}, \bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ は $V$ の基底であり、当然線型独立であるので、この式が成り立つのは $d_{1} = \cdots = d_{m} = d^{\prime}_{1} = \cdots = d^{\prime}_{n} = 0$ の場合のみとなります。

• したがって、$d^{\prime}_{1} \bm{w}_{1} + \cdots + d^{\prime}_{n} \bm{w}_{n} = \bm{0}$ ならば $d^{\prime}_{1} = \cdots = d^{\prime}_{n} = 0$ であるといえ、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は線型独立であることが確かめられました。

• 以上から、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $\text{Im} f$ を生成し、線型独立であるので、$\text{Im} f$ の基底となります。

（$3$）次元の関係式の整理#

• 以上の考察から、$\text{Im} f$ は $n$ 個のベクトルからなる基底を持ち、$\dim \, (\, \text{Im} f \,) = n$ であることがわかりました。

• また、$\dim \, (\, \text{Ker} f \,) = m,$ $\dim V = m +n$ であることから、次が成り立ちます。

  $$ \begin{align*} \dim V &= m + n \\ &= \dim \, (\, \text{Ker} f \,) + \dim \, (\, \text{Im} f \,) \end{align*} $$

• 以上から、題意が示されました。

まとめ#

• $V, W$ をベクトル空間とすると、線形写像 $f : V \to W$ について、次が成り立つ。
  $$ \begin{equation*} \dim V = \dim \, (\, \text{Ker} f \,) + \dim \, (\, \text{Im} f \,) \end{equation*} $$

参考文献

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