線型写像の行列表示（2）

線形写像の行列表示により、線型写像によるベクトルの像は、表現行列と座標ベクトルの積に対応付けられます。

すなわち、線型写像 $f$ の表現行列を $A$ とすると、線型写像による $\bm{w} = f(\bm{v})$ という関係式は、その表現行列による $\bm{y} = A \bm{x}$ という関係式に対応します。

線形写像の行列表示と座標ベクトル#

定理 4.51（線型写像の行列表示と座標ベクトル）#

$V, W$ をそれぞれ $n$ 次元、$m$ 次元のベクトル空間とし、それぞれの基底を $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ とする。また、$f : V \to W$ を線型写像として、$\bm{v} \in V$ に対して $\bm{v}$ の像を $\bm{w} = f(\bm{v})$ とする。

このとき、基底 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ に関する $f$ の表現行列を $A = (\, a_{ij} \,)$ として、$\bm{v}$ の $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ に関する座標ベクトルと、$\bm{w}$ の $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ に関する座標ベクトルを、それぞれ

とすると、次が成り立つ。

解説#

線形写像の表現行列が満たす関係#

定理 4.51（線型写像の行列表示と座標ベクトル）は、線型写像の表現行列と座標ベクトルが満たす関係を表しています。

線形写像と表現行列の対応#

前項の 定理 4.50（線型写像の行列表示）より、ベクトル空間 $V$ と $W$ の基底をそれぞれ $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ と $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ に固定したとき、線型写像 $f : V \to W$ の表現行列 $A$ は一意に定まります。

つまり、線形写像の行列表示は基底に依存します。定義域と値域の基底を固定することで、線形写像の行列表示が定まります。

ベクトルと座標ベクトルの対応#

また、座標ベクトル（数ベクトル空間の元）は、ベクトル（ベクトル空間の元）をある基底の線型結合として表したときの係数を成分とする列ベクトルです。したがって、ベクトル $\bm{v} \in V, \, \bm{w} \in W$ に対応する座標ベクトル $\bm{x} \in K^{n}, \, \bm{y} \in K^{m}$ も、$V$ と $W$ の基底を固定することで一意に定まります。

つまり、座標ベクトルも基底に依存します。ベクトル空間の基底を固定することで、座標ベクトルが定まります（ 定理 4.49（基底の変換）などを参照）。

線形写像による像と表現行列との積の関係#

このように考えると、 定理 4.51（線型写像の行列表示と座標ベクトル）は、「線型写像とベクトルの関係式は、表現行列と座標ベクトルの関係式に対応する」ことを表していると理解できます。

すなわち、線型写像 $f$ とベクトル $\bm{v} \in V, \bm{w} \in W$ との間の関係式 $\bm{w} = f(\bm{v})$ は、$f$ の表現行列 $A$ と座標ベクトル $\bm{x} \in K^{n}, \bm{y} \in K^{m}$ との間の関係式 $\bm{y} = A \, \bm{x}$ に対応します。

つまり、 線形写像の行列表示により、線型写像によるベクトルの像は、表現行列と座標ベクトルの積として表すことができるということです。

抽象的なベクトル空間の線形写像を具体的な行列演算に落とし込む#

定理 4.51（線型写像の行列表示と座標ベクトル）により、抽象的なベクトル空間の元（ベクトル）と線形写像による像の間の関係式を、行列と座標ベクトル（数ベクトル）の演算という、具体的で扱いやすい対象に落とし込むことができます。

このような意味で、 定理 4.51は、線形代数における基本的な考え方として、非常に重要なアイディアを与えるものです。また、 定理 4.51は、行列の標準化や固有値と固有ベクトルの問題など、応用上も非常に重要な役割を果たします。

座標ベクトルの各要素に成り立つ式#

定理 4.51（線型写像の行列表示と座標ベクトル）において、$V$ の基底 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ と $W$ の基底 $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ に関する $f$ の行列表示は $A = (\, a_{ij} \,)$ です。したがって、 前項の 定理 4.50（線型写像の行列表示）より、次が成り立ちます。

これは、 線型結合の行列表記を用いて、$f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n}) \in W$ をまとめて表したものです。これらをまとめずに（別々に）表すと、次のようになります。

同様に、$f$ の表現行列 $A$ と座標ベクトルの関係式 $\bm{y} = A \, \bm{x}$ を要素ごとに分けて表すと、次のようになります。すなわち、$\bm{y}$ の各要素について、次が成り立ちます。

証明#

$\bm{v} \in V$ と $\bm{w} \in W$ を、それぞれ $V$ の基底 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ と $W$ の基底 $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ の線型結合として表すと、次のようになる。

このとき、$f$ は線型写像であるから、次が成り立つ。

また、基底 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ に関する $f$ の表現行列は $A = (\, a_{ij} \,)$ であるから、 定理 4.50（線型写像の行列表示）より、次が成り立つ。

よって、

更に、$w = f(\bm{v})$ であることから、次が成り立つ。

ここで、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ は $W$ の基底であり線型独立であるから、

したがって、$\bm{y} = A \, \bm{x}$ が成り立つ。$\quad \square$

証明の考え方#

線形写像に関する関係式 $w = f(\bm{v})$ について、（$1$）$\bm{v} \in V, \bm{w} \in W$ をそれぞれ基底の線型結合として表し、（$2$） 定理 4.50（線型写像の行列表示）より、線型写像の行列表示に関する式を適用することで、表現行列に関する関係式 $\bm{y} = A \, \bm{x}$ を導きます。

（1）基底の線型結合#

• $\bm{v} \in V$ と $\bm{w} \in W$ を、それぞれ $V$ の基底 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ と $W$ の基底 $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ の線型結合として表すと、次のようになります。

  $$ \begin{align*} \bm{v} &= (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,) \begin{pmatrix} \, x_1 \, \\ \vdots \\ \, x_n \, \end{pmatrix}, \\ \bm{w} &= (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m} \,) \begin{pmatrix} \, y_1 \, \\ \vdots \\ \, y_n \, \end{pmatrix} \end{align*} $$
  • 上記の第 $1$ 式は、$\bm{v}$ を $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型結合として表した $\bm{v} = x_{1} \bm{v}_{1} + x_{2} \bm{v}_{2} + \cdots + x_{n} \bm{v}_{n}$ をベクトルの積として表したものに他なりません。
  • この表記法は、 線型結合の行列表記に則ったものです。

• いま、$f$ が線型写像であることから次が成り立ちます。

  $$ \begin{split} f(\bm{v}) &= f(\, x_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + x_{n} \bm{v}_{n} \,) \\ &= x_{1} \, f(\bm{v}_{1}) + \cdots + x_{n} \, f(\bm{v}_{n}) \\ \end{split} $$

• これを（上記に倣って）ベクトルの積として表すと、$f(\bm{v})$ に関する次の式が得られます。

  $$ \begin{align*} f(\bm{v}) = \big(\, f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n}) \, \big) \begin{pmatrix} \, x_1 \, \\ \vdots \\ \, x_n \, \end{pmatrix} \end{align*} $$

（2）線形写像の行列表示#

• $V$ の基底 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ と $W$ の基底 $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ に関する $f$ の表現行列を $A = (\, a_{ij} \,)$ とすれば、 定理 4.50（線型写像の行列表示）より、次が成り立ちます。

  $$ \begin{align*} (\, f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n}) \,) = (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m} \,) \, A \end{align*} $$

• （$1$）で得た $f(\bm{v})$ に関する式と合わせて考えると、次の式が得られます。

  $$ \begin{split} f(\bm{v}) &= \big(\, f(\bm{v}_{1}), \cdots, f(\bm{v}_{n}) \, \big) \begin{pmatrix} \, x_1 \, \\ \vdots \\ \, x_n \, \end{pmatrix} \\ &= (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m} \,) \, A \begin{pmatrix} \, x_1 \, \\ \vdots \\ \, x_n \, \end{pmatrix} \end{split} $$

• 更に、$w = f(\bm{v})$ であることから、次が成り立ちます。

  $$ \begin{align*} (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m} \,) \begin{pmatrix} \, y_1 \, \\ \vdots \\ \, y_n \, \end{pmatrix} = (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m} \,) \, A \begin{pmatrix} \, x_1 \, \\ \vdots \\ \, x_n \, \end{pmatrix} \end{align*} $$

• $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ は $W$ の基底であることから線型独立であるので、次が成り立ちます。これは $\bm{y} = A \, \bm{x}$ に他なりません。

  $$ \begin{pmatrix} \, y_1 \, \\ \vdots \\ \, y_n \, \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} \, x_1 \, \\ \vdots \\ \, x_n \, \end{pmatrix} $$
  
  
  • これは、 定理 4.47（線型独立なベクトルの組 $2$）によります。
  • すなわち、線型独立なベクトル $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ に対して、$(\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m} \,) \, \bm{y} = (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m} \,) \, A \bm{x}$ ならば $\bm{y} = A \, \bm{x}$ が成り立ちます。

• 以上で題意が示されました。

まとめ#

• 基底 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ に関する $f$ の表現行列を $A = (\, a_{ij} \,)$ とすると、$\bm{v} \in V$ の $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ に関する座標ベクトル $\bm{x}$ と、$\bm{w} \in W$ の $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{m}$ に関する座標ベクトル $\bm{y}$ に関して次が成り立つ。
  $$ \begin{align*} \bm{y} = A \, \bm{x} \end{align*} $$

参考文献

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[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.