列階数と行階数

行列の列階数と行階数は等しくなります。すなわち、ある行列の線型独立な列ベクトルの最大数と、線型独立な行ベクトルの最大数は等しくなります。

この定理は、行列の階数が行と列に関して対称的であることを示しており、階数の性質を示す重要な定理の $1$ つです。

列階数と行階数#

定理 4.59（列階数と行階数）#

$A$ を $(m, n)$ 型行列とする。$A$ の線型独立な列ベクトルの最大数と、線型独立な行ベクトルの最大数は等しい。

解説#

行列の列ベクトル表示・行ベクトル表示#

行列 $A$ の列ベクトルを $\bm{a}_{1}, \cdots, \bm{a}_{n}$ 、$A$ の行ベクトルを $\bm{a}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{m}$ とすると、$A$ は次のように表せます（ 行列の表記法）。

定理 4.59（列階数と行階数）は、$A$ の列ベクトル $\bm{a}_{1}, \cdots, \bm{a}_{n}$ のうち線型独立であるものの最大数と、行ベクトル $\bm{a}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{m}$ のうち線型独立であるものの最大数が等しいことを示しています。

列階数と行階数は等しい#

定理 4.59（列階数と行階数）の主張は、端的に、「行列 $A$ の列階数と行階数は等しい」と表すことができます。

列階数とは：線形独立な列ベクトルの数#

行列 $A$ の列階数（$\text{column rank}$）とは、$A$ の列ベクトル $\bm{a}_{1}, \cdots, \bm{a}_{n}$ が生成する部分空間 $\langle \,\bm{a}_{1}, \cdots, \bm{a}_{n} \, \rangle$ の次元のことです（ 定理 4.57（列階数）を参照）。

定義より、$A$ の列階数は $A$ の列ベクトル $\bm{a}_{1}, \cdots, \bm{a}_{n}$ のうち線型独立であるものの最大数に他なりません。

また、 定理 4.57（列階数）より、$A$ の列階数は $A$ の階数に等しいことがわかっています。

行階数とは：線形独立な行ベクトルの数#

列階数と同様に、行列 $A$ の行ベクトル $\bm{a}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{m}$ が生成する部分空間 $\langle \, \bm{a}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{m} \, \rangle$ の次元を行階数（$\text{row rank}$）と定義します。

定義より、$A$ の行階数は $A$ の行ベクトル $\bm{a}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{m}$ のうち線型独立であるものの最大数に他なりません。

$A$ の列階数を $r_{c}$ 、行階数を $r_{r}$ とすると、$r_{c}$ と $r_{r}$ は、それぞれ次のように表せます。

階数は行と列に関して対称的#

このように考えると、 定理 4.59（列階数と行階数）は「行列 $A$ の列階数と行階数は等しい」ことを表していると捉えられます。

また、 定理 4.57（列階数）より、$A$ の列階数と $A$ の階数は等しくなります。これと合わせて考えれば、「行列 $A$ の列階数と行階数はともに $A$ の階数に等しい」という結論が得られます。

つまり、行列の階数は行と列に関して対称的であるといえます。

階数の対称性の導出方法#

行列の階数の対称性に関する 定理 4.59（列階数と行階数）を導く方法としては、主に（$1$） 斉次連立一次方程式の解空間に関する考察による方法と（$2$） 行列の基本変形と階数に関する考察よる方法の $2$ 通りがあります。

（$1$） 斉次連立一次方程式の解空間に関する考察による方法

• 斉次連立一次方程式の解空間の次元が行列の階数を用いて表せること（ 定理 4.58（斉次連立一次方程式の解空間の次元））を用いる。
• 線形写像による階数の定義にしたがう。

（$2$） 行列の基本変形と階数に関する考察よる方法

• 行列の階数が基本変形により不変であること（ 定理 5.10（基本変形と階数））を用いる。
• 基本変形による階数の定義にしたがう。

[3], [4], [6] では（$1$）に近い方法が採用されています。これに対して、 [1], [2] では、 行列の基本変形が早めに導入されていることもあり、（$2$）に近い方法が採用されています。

下記の 証明は（$1$）の方法によります。

証明#

$A = (\, a_{ij} \,)$ を $(m, n)$ 型行列とする。$A$ の階数を $r$ とすると、 定理 4.57（列階数）より、$A$ の線型独立な列ベクトルの最大数は $r$ に等しい。また、 定理 4.58（斉次連立一次方程式の解空間の次元）より、$A$ を係数行列として持つ斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間の次元は $n - r$ に等しい。

いま、$A$ の線型独立な行ベクトルの最大数を $s$ として、$A$ の行ベクトルのうち線型独立なものを $\bm{a}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{s}$ とする。$A$ に対して、$\bm{a}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{s}$ が第 $1$ 行から第 $s$ 行になるように行ベクトルを入れ替えた行列を $A^{\prime} = (\, a^{\prime}_{ij} \,)$ とすると、$A \bm{x} = \bm{0}$ と $A^{\prime} \bm{x} = \bm{0}$ は同じ解を持つ。また、$A^{\prime}$ において $s \lt t \leqslant m$ とすると、$\bm{a}^{\prime}_{t}$ は $\bm{a}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{s}$ の線型結合として、次のように表せる。

したがって、$\bm{a}^{\prime}_{t}$ の各成分について、次が成り立つ。

また、$A^{\prime}$ のはじめの $s$ 行からなる行列を $A^{\prime \prime}$ とすれば、$A^{\prime} \bm{x} = \bm{0}$ のはじめの $s$ 番目までの方程式からなる斉次連立一次方程式 $A^{\prime \prime} \bm{x} = \bm{0}$ は、次のように表せる。

（$\ast$）式と（$\ast \ast$）式より、$s \lt t \leqslant m$ について、次が成り立つ。

したがって、$A^{\prime \prime} \bm{x} = \bm{0}$ の解は $A^{\prime} \bm{x} = \bm{0}$ を満たす。また、$A^{\prime} \bm{x} = \bm{0}$ の解は当然 $A^{\prime \prime} \bm{x} = \bm{0}$ を満たすので、$A^{\prime} \bm{x} = \bm{0}$ の解空間と $A^{\prime \prime} \bm{x} = \bm{0}$ の解空間は一致する。$A^{\prime \prime}$ の階数を $r^{\prime}$ とすれば $A^{\prime \prime} \bm{x} = \bm{0}$ の解空間の次元は $n - r^{\prime}$ であり、これが $A^{\prime} \bm{x} = \bm{0}$ の解空間の次元と一致するので、$r = r^{\prime}$ が成り立つ。

また、再び 定理 4.57（列階数）より、$A^{\prime \prime}$ の線型独立な列ベクトルの最大数は $r$ に等しく、これらを $\bm{a}^{\prime \prime}_{1}, \cdots, \bm{a}^{\prime \prime}_{r} \in K^{s}$ とする。このとき、$\bm{a}^{\prime \prime}_{1}, \cdots, \bm{a}^{\prime \prime}_{r} \in K^{s}$ が線型独立であることから、 定理 4.24（線型従属なベクトルの組）より、$r \leqslant s$ が成り立つ。

$A$ の行と列を入れ替えた行列について、同様に考えると、$s \leqslant r$ が成り立つことが示せる。よって、$r = s$ であり、$A$ の線型独立な列ベクトルの最大数と $A$ 線型独立な行ベクトルの最大数は等しい。$\quad \square$

証明の考え方#

まず、行列 $A$ の線型独立な行ベクトルのみからなる行列を $A^{\prime \prime}$ として、$A$ と $A^{\prime \prime}$ の階数（列階数）が等しいことを示します。次に、$A^{\prime \prime}$ において、 定理 4.24（線型従属なベクトルの組）を用いることで（列階数）$\leqslant$（行階数）を示します。最後に、$A$ の行と列を入れ替えた行列に対して同様に考えることで（行階数）$\leqslant$（列階数）となることから、（列階数）$=$（行階数）が導かれます。

ここで、行列 $A,$ $A^{\prime},$ $A^{\prime \prime}$ は、それぞれ、次のような関係にあります。

• $A$：もとの $(m, n)$ 型の行列。
• $A^{\prime}$：$A$ の線型独立な行ベクトル $\bm{a}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{s}$ が第 $1$ 行目から第 $s$ 行目に並ぶように、行を並び替えた行列。
• $A^{\prime \prime}$：$A^{\prime}$ の第 $1$ 行目から第 $s$ 行目のみを切り出した行列。

（1）$A$ と $A^{\prime \prime}$ の階数（列階数）が等しいことの証明#

• 行列 $A$ から線型独立な行ベクトルのみを切り出した行列を $A^{\prime \prime}$ として、$A$ と $A^{\prime \prime}$ の階数が等しいことを示します。

前提事項の整理#

• $A = (\, a_{ij} \,)$ として、$A$ の階数を $r$ とします。
• このとき、 定理 4.57（列階数）より、$A$ の線型独立な列ベクトルの最大数は $r$ に等しくなります。
  • つまり、$A$ の列階数を $r$ と置くということです。
• また、 定理 4.58（斉次連立一次方程式の解空間の次元）より、$A$ を係数行列として持つ斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間の次元は $n - r$ に等しくなります。

行の並び替え（行列 $A$ から $A^{\prime}$ を作る）#

• $A$ の線型独立な行ベクトルの最大数を $s$ とします。

  • つまり、$A$ の行階数を $s$ と置くということです。
  • 具体的に $A$ の行ベクトルのうち線型独立であるものを $\bm{a}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{s}$ とします。

• $A$ に対して、$\bm{a}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{s}$ が第 $1$ 行から第 $s$ 行になるように行ベクトルを入れ替えた行列を $A^{\prime} = (\, a^{\prime}_{ij} \,)$ とします。

• このとき、$A \bm{x} = \bm{0}$ と $A^{\prime} \bm{x} = \bm{0}$ は同じ斉次連立一次方程式になります。

  • $A \bm{x} = \bm{0}$ は、具体的には、次のような斉次連立一次方程式です（ 連立一次方程式と係数行列）。

    $$ \begin{align*} \left \{ \begin{array} {l} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \cdots + a_{1n} x_{n} = 0 \\ a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \cdots + a_{1n} x_{n} = 0 \\ \quad \quad \quad \quad \vdots \\ a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \cdots + a_{1n} x_{n} = 0 \\ \end{array} \right. \end{align*} $$

  • $A$ の行ベクトルを $\bm{a}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{m}$ とすれば、$A \bm{x} = \bm{0}$ は、次のようにも表せます。

    $$ \begin{align*} \left \{ \begin{array} {c} \bm{a}^{\prime}_{1} \, \bm{x} = 0 \\ \bm{a}^{\prime}_{2} \, \bm{x} = 0 \\ \vdots \\ \bm{a}^{\prime}_{m} \, \bm{x} = 0 \\ \end{array} \right. \end{align*} $$

  • ここで、$1$ つ $1$ つの方程式はそれぞれ独立しており、順序（上から何番目の式か）によりません。

  • よって、方程式の順序を入れ替えても、連立方程式としては変わりません。

  • したがって、$A \bm{x} = \bm{0}$ と $A^{\prime} \bm{x} = \bm{0}$ は同じ斉次連立一次方程式であるといえます。

• いま、$A^{\prime}$ の線型独立な行ベクトルは $s$ 個なので、$s \lt t \leqslant m$ とすれば、$\bm{a}^{\prime}_{t}$ は $\bm{a}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{s}$ の線型結合として、次のように表すことができるはずです。

  $$ \begin{array} {cc} \bm{a}^{\prime}_{t} = \displaystyle \sum_{i}^{s} \, c_{i} \, \bm{a}^{\prime}_{i} & (\, c_{i} \in K \,) \end{array} $$

• 特に、$\bm{a}^{\prime}_{t}$ の成分について、次が成り立ちます。

  $$ \begin{array} {cc} \tag{$\ast$} a^{\prime}_{tj} = \displaystyle \sum_{i}^{s} \, c_{i} \, a^{\prime}_{ij} & (\, 1 \leqslant j \leqslant n \,) \end{array} $$
  • すなわち、$\bm{a}^{\prime}_{t}$ の各成分は、$\bm{a}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{s}$ の対応する成分の和として表せます。
  • これは、行列 $A^{\prime}$ において、$t$ 行目の各成分 $a^{\prime}_{tj}$ が、$1 \sim s$ 行目の成分 $a^{\prime}_{1j}, \cdots, a^{\prime}_{sj}$ の和として表せることに対応しています。

行列の切り出し（行列 $A^{\prime}$ から $A^{\prime \prime}$ を作る）#

• $A^{\prime}$ の第 $1$ 行目から第 $s$ 行目のみからなる行列を $A^{\prime \prime}$ とします。
• もとの行列 $A$ と、$A$ の行を並び替えた $A^{\prime}$、はじめの $s$ 行までの $A^{\prime \prime}$ は、それぞれ次のような関係にあります。

• このとき、$A^{\prime} \bm{x} = \bm{0}$ と $A^{\prime \prime} \bm{x} = \bm{0}$ が同じ解を持つことを示します。

  • これは、$A^{\prime} \bm{x} = \bm{0}$ の解空間と $A^{\prime \prime} \bm{x} = \bm{0}$ の解空間が等しいことを意味します。

• $A^{\prime \prime} \bm{x} = \bm{0}$ は、$A^{\prime} \bm{x} = \bm{0}$ のはじめの $s$ 番目までの方程式からなる連立一次方程式であるので、$1 \leqslant i \leqslant s$ とすれば、次のように表せます。

  $$ \begin{array} {ccc} \tag{$\ast \ast$} \displaystyle \sum_{j}^{n} \, a^{\prime}_{ij} \, x_{j} = 0 & (\, 1 \leqslant i \leqslant s \,) \end{array} $$

• このとき （$\ast$）式と （$\ast \ast$）式より、$s \lt t \leqslant m$ について、次が成り立ちます。

  $$ \begin{split} \bm{a}^{\prime}_{t} \, \bm{x} &\overset{(\text{i})}{=} \displaystyle \sum_{j}^{n} \, a^{\prime}_{tj} \, x_{j} \\ &\overset{(\text{ii})}{=} \displaystyle \sum_{j}^{n} \; \Big( \displaystyle \sum_{i}^{s} \, c_{i} \, a^{\prime}_{ij} \Big) \; x_{j} \\ &\overset{(\text{iii})}{=} \displaystyle \sum_{i}^{s} \, c_{i} \; \Big( \displaystyle \sum_{j}^{n} \, a^{\prime}_{ij} \, x_{j} \Big) \\ &\overset{(\text{iv})}{=} \displaystyle \sum_{i}^{s} \, c_{i} \cdot 0 \\ &\overset{(\text{v})}{=} 0 \\ \end{split} $$
  • （$\text{ii}$） （$\ast$）式より、$A^{\prime}$ の $t$ 行目の各成分 $a^{\prime}_{tj}$ は、$1 \sim s$ 行目の成分 $a^{\prime}_{1j}, \cdots, a^{\prime}_{sj}$ の和として表せます。
  • （$\text{iii}$）和の順序を入れ替えます。
  • （$\text{iv}$） （$\ast \ast$）式より、$1 \leqslant i \leqslant s$ であれば、$\bm{a}^{\prime}_{i} \bm{x} = 0$ が成り立ちます。

• したがって、$1 \leqslant i \leqslant s$ について $\bm{a}^{\prime}_{i} \, \bm{x} = 0$ が成り立つ（$A^{\prime \prime} \bm{x} = \bm{0}$）ならば、$s \lt t \leqslant m$ についても $\bm{a}^{\prime}_{t} \, \bm{x} = 0$ が成り立つ（$A^{\prime} \bm{x} = \bm{0}$）といえます。すなわち、$A^{\prime \prime} \bm{x} = \bm{0}$ の解は $A^{\prime} \bm{x} = \bm{0}$ を満たします。

• また、$A^{\prime} \bm{x} = \bm{0}$ の解は当然 $A^{\prime \prime} \bm{x} = \bm{0}$ を満たしますので、$A^{\prime} \bm{x} = \bm{0}$ と $A^{\prime \prime} \bm{x} = \bm{0}$ は同じ解を持つといえます。

• つまり、$A^{\prime} \bm{x} = \bm{0}$ の解空間と $A^{\prime \prime} \bm{x} = \bm{0}$ の解空間は一致することが示されました。

• $A^{\prime \prime}$ の階数（列階数）を $r^{\prime}$ とすれば $A^{\prime \prime} \bm{x} = \bm{0}$ の解空間の次元は $n - r^{\prime}$ であり、これが $A^{\prime} \bm{x} = \bm{0}$ の解空間の次元と一致するので、$r = r^{\prime}$ が成り立ちます。これは、$A$ と $A^{\prime \prime}$ の階数（列階数）が等しいということに他なりません

  $$ \begin{gather*} & n - r = n - r^{\prime} \\ & \Rightarrow \quad r - r^{\prime} \end{gather*} $$

（2）列階数が行階数を超えないことの証明#

• $A^{\prime \prime}$ において 定理 4.24（線型従属なベクトルの組）を用いることで（列階数）$\leqslant$（行階数）を示します。
  • 上記の考察より、いま、$A$ の列階数を $r$、行階数を $s$ と置いています。
  • よって、ここでは $r \leqslant s$ を示します。
• 定理 4.57（列階数）より、$A^{\prime \prime}$ の線型独立な列ベクトルの最大数は $r$ に等しいです。
• また、$A^{\prime \prime}$ の線型独立な列ベクトルを $\bm{a}^{\prime \prime}_{1}, \cdots, \bm{a}^{\prime \prime}_{r}$ とすると、これらは $s$ 項数ベクトルであり、$\bm{a}^{\prime \prime}_{1}, \cdots, \bm{a}^{\prime \prime}_{r} \in K^{s}$ です。
• したがって、 定理 4.24（線型従属なベクトルの組）より、$\bm{a}^{\prime \prime}_{1}, \cdots, \bm{a}^{\prime \prime}_{r}$ が線型独立であれば $r \leqslant s$ が成り立ちます。
  • 正確には、これは、 定理 4.24（線型従属なベクトルの組）の対偶によります。
  • 定理 4.24（線型従属なベクトルの組）は、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \in K^{m}$ において、「 $n \gt m$ ならば $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ は線型従属」であることを表しています。
  • よって、 定理 4.24（線型従属なベクトルの組）の対偶は、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \in K^{m}$ において、「 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が線型独立であれば $n \leqslant m$ 」となります。
• 以上から、もとの行列 $A$ について（列階数）$\leqslant$（行階数）が成り立つことが示されました。

（3）列階数と行階数が等しいことの証明#

• ここまでと同様の考察を、$A$ の行と列を入れ替えた行列に対して適用することで、$s \leqslant r$ が導けます。すなわち（行階数）$\leqslant$（列階数）が成り立つといえます。
• $r \leqslant s$ かつ $s \leqslant r$ であることから $r = s$、すなわち（列階数）$=$（行階数）が成り立つといえます。
• 以上から、$A$ の線型独立な列ベクトルの最大数（$r$）と $A$ 線型独立な行ベクトルの最大数（$s$）が等しいことが示されました。

まとめ#

• $A$ を $(m, n)$ 型行列とする。$A$ の線型独立な列ベクトルの最大数と $A$ 線型独立な行ベクトルの最大数は等しい。
• 行列の列階数と行階数は等しい。

参考文献

[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
[3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010.
[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008.
[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022.
[8] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.