行列の積の階数

行列の積の階数に関する定理を示します。すなわち、$2$ つの行列 $A$ と $B$ の積の階数 $\text{rank} \, AB$ はもとの行列の階数 $\text{rank} \, A$、$\text{rank} \, B$ のいずれをも超えません。

このことは、線型写像の行列表示や行列の積、線型写像の合成、線型写像の定義域や値域に関する基本的な性質により示すことができます。

階数の基本的性質#

定理 4.64（行列の積の階数）#

$A$ を $(l, m)$ 型行列、$B$ を $(m, n)$ 型行列とする。行列の積 $AB$ の階数は $A, B$ のいずれの階数をも超えない。

行列の積の階数はもとの行列の階数のいずれをも超えません。定理 4.64（行列の積の階数）は、（4.7.5）式の $2$ つの不等式がいずれも成り立つことを主張するものですので、（4.7.5$^{\prime}$）式のように表すこともできます。

定理 4.64（行列の積の階数）において $A$ と $B$ がそれぞれ $(l, m)$ 型行列、$(m, n)$ 型行列であることから積 $AB$ が定義でき $AB$ は $(l, n)$ 型行列になりますが、行列の積は常に定義できるわけではありません（行列の積）。当然ながら、定理 4.64（行列の積の階数）は、$2$ つの行列の積が定義される場合にのみ成り立つものであるといえます。

証明#

$A, B$ が定める線型写像をそれぞれ $f_{A} : K^{m} \to K^{l}, \; f_{B} : K^{n} \to K^{m}$ とすると、$2$ つの行列の積 $AB$ に対応する線型写像は $f_{A}$ と $f_{B}$ の合成写像 $f_{A} \circ f_{B} : K^{n} \to K^{l}$ であり、$AB$ 階数は次のように表せる。

いま、$\text{Im} f_{B} \subset K^{m}$ であることから $f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,) \subset f_{A} (\, K^{m} \,)$ であり、次が成り立つ。

したがって $\text{rank} \, AB \leqslant \text{rank} \, A$ が成り立つ。また、$f_{A}$ について、定理 4.37（線型写像の基本定理）より次が成り立つ。

したがって $\text{rank} \, AB \leqslant \text{rank} \, B$ が成り立つ。$\quad \square$

証明の骨子#

線型写像の基本的な性質と定理 4.37（線型写像の基本定理）により証明します。

• 積 $AB$ に対応する線型写像を、$A, B$ それぞれに対応する線型写像により表します。

  • $A, B$ が定める線型写像をそれぞれ $f_{A} : K^{m} \to K^{l}, \; f_{B} : K^{n} \to K^{m}$ とします。このとき、階数の定義より次が成り立ちます。

    $$ \begin{gather*} \text{rank} \, A = \dim \text{Im} f_{A}, \\ \text{rank} \, B = \dim \text{Im} f_{B} \end{gather*} $$
    
    

  • 定理 4.53（合成写像の行列表示） より、積 $AB$ に対応する線型写像は $f_{A}$ と $f_{B}$ の合成写像 $f_{A} \circ f_{B} : K^{n} \to K^{l}$ により表すことができます。したがって、$AB$ の階数は次のように表すことができます。

    $$ \text{rank} \, AB = \dim \, (\, \text{Im} f_{A} \circ f_{B} \,) $$
    
    

  • $f_{A} \circ f_{B}$ の像とは $f_{A}$ による $\text{Im} f_{B}$ の像に他なりませんので、$\text{Im} f_{A} \circ f_{B} = f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,)$ が成り立ちます。よって、$AB$ の階数は次のようにも表すことができます。

    $$ \begin{split} \tag{$\ast$} \text{rank} \, AB &= \dim \, (\, \text{Im} f_{A} \circ f_{B} \,) \\ &= \dim \, f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,) \end{split} $$
    
    

  • それぞれの写像とその像の間の関係は、下の図によりイメージすることができます。
    

  
  
  
  

• まず、線型写像の性質により $\text{rank} \, AB \leqslant \text{rank} \, A$ を導きます。

  • $\text{Im} f_{B} \subset K^{m}$ であることから $f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,) \subset f_{A} (\, K^{m} \,)$ が成り立ちます。すなわち、$f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,)$ は $f_{A} (\, K^{m} \,)$ の部分空間であるといえます。

    • このことは自明であるといえますので、上の証明では省略しています。詳しくは、次のように確かめることができます。
    • いま、$f_{B}$ が写像であることから $\text{Im} f_{B} \subset K^{m}$ が成り立ち、同様に $f_{A}$ が写像であることから $f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,) \subset f_{A} (\, K^{m} \,)$ が成り立ちます。すなわち、$f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,)$ は $f_{A} (\, K^{m} \,)$ の部分集合であるといえます。（これは線型写像に限らず成り立ちます。）
    • また、$f_{A}, f_{B}$ は線型写像でもあるので、$f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,), \, f_{A} (\, K^{m} \,)$ はベクトル空間です。
    • したがって、$f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,)$ は $f_{A} (\, K^{m} \,)$ の部分集合でありベクトル空間でもあるといえます。つまり、$f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,)$ は $f_{A} (\, K^{m} \,)$ の部分空間であるということです。

  • 定理 4.35（部分空間の次元）より次が成り立ちます。

    $$ \begin{gather*} f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,) \subset f_{A} (\, K^{m} \,) \\ \Rightarrow \; \dim f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,) \leqslant \dim f_{A} (\, K^{m} \,) \end{gather*} $$
    
    

    • $f_{A} (\, K^{m} \,)$ とは $f_{A}$ の像であり $\text{Im} f_{A}$ に他なりませんので、次が成り立ちます。

      $$ \begin{gather*} & \dim f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,) \leqslant \dim f_{A} (\, K^{m} \,) \\ \Leftrightarrow & \dim f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,) \leqslant \dim \text{Im} \, f_{A} \\ \Leftrightarrow & \dim f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,) \leqslant \text{rank} \, A \\ \end{gather*} $$
      
      

    • （$\ast$）より、$\dim f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,)$ は $\text{rank} \, AB$ に等しいです。したがって、$\text{rank} \, AB \leqslant \text{rank} \, A$ が成り立つことが示されました。

• 次に、定理 4.37（線型写像の基本定理）を用いて $\text{rank} \, AB \leqslant \text{rank} \, B$ を導きます。

  • $f_{A}$ について 定理 4.37（線型写像の基本定理）を適用します。

    • $f_{A}$ の定義域を $\text{Im} f_{B} \subset K^{m}$ に限定して、$f_{A} : \text{Im} f_{B} \to f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,)$ と考えます。

    • このとき、定理 4.37（線型写像の基本定理）より、次の式を得ます。

      $$ \begin{gather*} & \dim \text{Im} f_{B} = \dim \text{Ker} f_{A} + \dim f_{A} (\, \text{Im} f_{B}\,) \\ \overset{(1)}{\iff} & \dim f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,) \leqslant \dim \text{Im} \, f_{B} \\ \overset{(2)}{\iff} & \dim f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,) \leqslant \text{rank} \, B \\ \end{gather*} $$
      
      
      • （$1$）$\dim \text{Ker} f \geqslant 0$ であることによります。
      • （$2$）階数の定義によります。

    • （$\ast$）より、$\dim f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,)$ は $\text{rank} \, AB$ に等しいです。したがって、$\text{rank} \, AB \leqslant \text{rank} \, B$ が成り立つことが示されました。

まとめ#

• 行列の積の階数はもとの行列の階数のいずれをも超えない。
  
  • $A$ を $(l, m)$ 型行列、$B$ を $(m, n)$ 型行列とすれば、次が成り立つ。
    
    $$ \begin{array} {ccc} \text{rank} \, AB \leqslant \text{rank} \, A \, , & \text{rank} \, AB \leqslant \text{rank} \, B \end{array} $$
    
    

参考文献#