行列の積の階数

$2$ つの行列の積の階数は、もとの行列の階数のいずれをも超えません。

このことは、行列の積を線型写像の合成に対応させて、線型写像の基本的性質を適用することで証明できます。

行列の積の階数#

定理 4.64（行列の積の階数）#

$A$ を $(l, m)$ 型行列、$B$ を $(m, n)$ 型行列とする。行列の積 $AB$ の階数は $A, B$ のいずれの階数をも超えない。

解説#

行列の積の階数#

$2$ つの行列の積の階数は、もとの行列の階数のいずれをも超えません。

すなわち、$2$ つの行列 $A$ と $B$ の積の階数（$\text{rank} \, AB$）は、行列 $A, B$ の階数（$\text{rank} \, A$、$\text{rank} \, B$）のいずれをも超えません。

定理の言い換え#

（4.7.5）式の $2$ つの不等式がいずれも成り立つということは、次の （4.7.5$^{\prime}$）式のようにも表せます。

これは、$2$ つの行列 $A$ と $B$ の積の階数（$\text{rank} \, AB$）が、行列 $A, B$ の階数（$\text{rank} \, A$、$\text{rank} \, B$）の小さい方を超えないことを意味しています。

定理が成り立つ前提条件#

定理 4.64（行列の積の階数）は、$2$ つの行列 $A$ と $B$ の積が定義される場合にのみ成り立ちます。

定理 4.64では、$A$ が $(l, m)$ 型行列、$B$ が $(m, n)$ 型行列であることが前提となっています。$A$ の列数と $B$ の行数（$n$）が等しいので、行列の積 $AB$ が定義でき、$AB$ は $(l, n)$ 型行列になります。しかしながら、任意の $2$ つの行列に対して、行列の積は常に定義できるわけではありません（ 行列の積）。

したがって、当然ながら、 定理 4.64が成り立つのは $2$ つの行列の積が定義される場合に限られます。

証明#

$A, B$ が定める線型写像をそれぞれ $f_{A} : K^{m} \to K^{l}, \; f_{B} : K^{n} \to K^{m}$ とすると、$2$ つの行列の積 $AB$ に対応する線型写像は $f_{A}$ と $f_{B}$ の合成写像 $f_{A} \circ f_{B} : K^{n} \to K^{l}$ であり、$AB$ 階数は次のように表せる。

いま、$\text{Im} f_{B} \subset K^{m}$ であることから $f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,) \subset f_{A} (\, K^{m} \,)$ であり、それぞれの次元について、次が成り立つ。

したがって $\text{rank} \, AB \leqslant \text{rank} \, A$ が成り立つ。

また、$f_{A}$ は $\text{Im} f_{B}$ を $f_{A} (\, \text{Im} f_{B}\,)$ に移すから、$f_{A} : \text{Im} f_{B} \to f_{A} (\, \text{Im} f_{B}\,)$ として、$f_{A}$ について 定理 4.37（線型写像の基本定理）を用いれば次が成り立つ。

したがって $\text{rank} \, AB \leqslant \text{rank} \, B$ が成り立つ。$\quad \square$

証明の考え方#

それぞれの行列が表現する線型写像について考え、線型写像の基本的な性質（ 定理 4.37（線型写像の基本定理）など）を利用します。

前提事項の整理#

• $A, B$ が定める線型写像をそれぞれ $f_{A} : K^{m} \to K^{l}, \; f_{B} : K^{n} \to K^{m}$ とします。このとき、 階数の定義より次が成り立ちます。

  $$ \begin{gather*} \text{rank} \, A = \dim \text{Im} f_{A}, \\ \text{rank} \, B = \dim \text{Im} f_{B} \end{gather*} $$

• 定理 4.53（合成写像の行列表示） より、積 $AB$ に対応する線型写像は $f_{A}$ と $f_{B}$ の合成写像 $f_{A} \circ f_{B} : K^{n} \to K^{l}$ により表すことができます。したがって、$AB$ の階数は次のように表すことができます。

  $$ \text{rank} \, AB = \dim \, (\, \text{Im} f_{A} \circ f_{B} \,) $$

• $f_{A} \circ f_{B}$ の像とは $f_{A}$ による $\text{Im} f_{B}$ の像に他なりませんので、$\text{Im} f_{A} \circ f_{B} = f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,)$ が成り立ちます。よって、$AB$ の階数は次の（$\ast$）ようにも表すことができます。

  $$ \begin{split} \tag{$\ast$} \text{rank} \, AB &= \dim \, (\, \text{Im} f_{A} \circ f_{B} \,) \\ &= \dim \, f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,) \end{split} $$

線型写像と像の関係#

• それぞれの線型写像とその像との間の関係は、下の図のようになります。

• このように表すことで、$f_{A} \circ f_{B}$ の像が $f_{A}$ による $\text{Im} f_{B}$ の像に等しいことを視覚的に理解できます。

$\text{rank} \, AB \leqslant \text{rank} \, A$ の証明#

• まず、線型写像の性質により $\text{rank} \, AB \leqslant \text{rank} \, A$ を導きます。

• $\text{Im} f_{B} \subset K^{m}$ であることから $f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,) \subset f_{A} (\, K^{m} \,)$ が成り立ちます。つまり、$f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,)$ は $f_{A} (\, K^{m} \,)$ の部分空間であるといえます。

  • このことは自明として、 証明では省略しています。詳しくは、次のように確かめることができます。
  • $f_{B}$ が写像であることから $\text{Im} f_{B} \subset K^{m}$ が成り立ち、同様に $f_{A}$ が写像であることから $f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,) \subset f_{A} (\, K^{m} \,)$ が成り立ちます。よって、$f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,)$ は $f_{A} (\, K^{m} \,)$ の部分集合であるといえます。（これは線型写像に限らず成り立ちます。）
  • また、$f_{A}, f_{B}$ は線型写像でもあるので、$f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,), \, f_{A} (\, K^{m} \,)$ は ベクトル空間の要件を満たします。
  • したがって、$f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,)$ は $f_{A} (\, K^{m} \,)$ の部分集合であり、かつベクトル空間でもあるので、$f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,)$ は $f_{A} (\, K^{m} \,)$ の部分空間となります（ 部分空間の定義）。

• $f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,)$ は $f_{A} (\, K^{m} \,)$ の部分空間であるので、 定理 4.35（部分空間の次元）より、それぞれの次元について次が成り立ちます。

  $$ \begin{gather*} & f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,) \subset f_{A} (\, K^{m} \,) \\ \overset{(\text{i})}{\Longrightarrow} & \dim f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,) \leqslant \dim f_{A} (\, K^{m} \,) \\ \overset{(\text{ii})}{\iff} & \dim f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,) \leqslant \dim \text{Im} \, f_{A} \\ \overset{(\text{iii})}{\iff} & \dim f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,) \leqslant \text{rank} \, A \\ \overset{(\text{iv})}{\iff} & \text{rank} \, AB \leqslant \text{rank} \, A \\ \end{gather*} $$
  • （$\text{i}$） 定理 4.35（部分空間の次元）より、部分空間の次元はもとのベクトル空間の次元を超えません。
  • （$\text{ii}$）$f_{A} (\, K^{m} \,)$ は $f_{A}$ の像であり $\text{Im} f_{A}$ に他なりません。したがって、$f_{A} (\, K^{m} \,) = \text{Im} f_{A}$ が成り立ちます。
  • （$\text{iii}$） 階数の定義より、$\dim \text{Im} f_{A} = \text{rank} \, A$ となります。
  • （$\text{iv}$） （$\ast$）より、$\dim f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,) = \text{rank} \, AB$ となります。

• 以上から、$\text{rank} \, AB \leqslant \text{rank} \, A$ が成り立つことが示されました。

$\text{rank} \, AB \leqslant \text{rank} \, B$ の証明#

• 次に、 定理 4.37（線型写像の基本定理）を用いて $\text{rank} \, AB \leqslant \text{rank} \, B$ を導きます。

• $f_{A}$ の定義域を $\text{Im} f_{B} \subset K^{m}$ に限定して、$f_{A} : \text{Im} f_{B} \to f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,)$ と考えます。

• $f_{A} : \text{Im} f_{B} \to f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,)$ に対して、 定理 4.37（線型写像の基本定理）を適用することで、次の式が得られます。

  $$ \begin{gather*} & \dim \text{Im} f_{B} = \dim \text{Ker} f_{A} + \dim f_{A} (\, \text{Im} f_{B}\,) \\ \overset{(\text{i})}{\Longrightarrow} & \dim f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,) \leqslant \dim \text{Im} \, f_{B} \\ \overset{(\text{ii})}{\iff} & \dim f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,) \leqslant \text{rank} \, B \\ \overset{(\text{iii})}{\iff} & \text{rank} \, AB \leqslant \text{rank} \, B \\ \end{gather*} $$
  • （$\text{i}$）$\dim \text{Ker} f \geqslant 0$ であることによります。
  • （$\text{ii}$） 階数の定義より、$\dim \text{Im} f_{B} = \text{rank} \, B$ となります。
  • （$\text{iii}$） （$\ast$）より、$\dim f_{A} (\, \text{Im} f_{B} \,) = \text{rank} \, AB$ となります。

• 以上から、$\text{rank} \, AB \leqslant \text{rank} \, B$ が成り立つことが示されました。

まとめ#

• 行列の積の階数はもとの行列の階数のいずれをも超えない。
  • $A$ を $(l, m)$ 型行列、$B$ を $(m, n)$ 型行列とすれば、次が成り立つ。
    $$ \begin{array} {l} \text{rank} \, AB \leqslant \text{rank} \, A \, , \\ \text{rank} \, AB \leqslant \text{rank} \, B \end{array} $$

参考文献

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