斉次連立一次方程式の解（2）

前項に引き続き斉次連立一次方程式の解について考えます。

ここでは、斉次連立一次方程式が自明な解のみを持つための条件と、自明でない解を持つための条件を示します。

これらは、基底と次元の準備などで既に示した内容を含みますが、連立方程式の解に関する命題として改めて整理します。

自明な解のみを持つ条件#

系 5.3（斉次連立一次方程式が自明な解のみを持つ条件）#

$A$ を $(m, n)$ 型行列とする。斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ が自明な解のみを持つためには、$\text{rank} \, A = n$ であることが必要にして十分である。

解説#

系 5.3の主張#

前項などに示した通り、斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ は必ず自明な解（$\bm{x} = \bm{0}$）を持ちます。

したがって、系 5.3は、斉次連立一次方程式がただ一つ、自明な解のみを持つための条件を示していると理解できます。

定理 5.2の系#

下の証明に示す通り、系 5.3の主張は、斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間について考えることで、直ちに示すことができます。このような意味で、系 5.3は、前項の定理 5.2（斉次連立一次方程式の解空間の次元）の系であるといえます。

証明（系 5.3）#

$A$ により定まる線型写像を $f_{A}$ とすると、$A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間は $\text{Ker} f_{A}$ と表すことができる。このとき、$A \bm{x} = \bm{0}$ が自明な解のみを持つことは $\text{Ker} f_{A} = \{\, \bm{0} \,\}$ であることと同値であり、すなわち、$\dim (\, \text{Ker} f_{A} \,) = 0$ であることと同値である。また、定理 5.2（斉次連立一次方程式の解空間の次元）より、$\dim (\, \text{Ker} f_{A} \,) = n - \text{rank} \, A$ が成り立つ。したがって、$A \bm{x} = \bm{0}$ が自明な解のみを持つことは、$n = \text{rank} \, A$ であることと同値である。$\quad \square$

証明の考え方 5.3#

定理 5.2（斉次連立一次方程式の解空間の次元）を用いた同値変形により示すことができます。

前提事項の整理#

• $A$ により定まる線型写像を $f_{A} : K^{n} \to K^{m}$ とします。
  • このとき、$A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間は $\text{Ker} f_{A}$ と表すことができます（定理 5.2の証明など参照）。
  • $A \bm{x} = \bm{0}$ が自明な解（$\bm{x} = \bm{0}$）のみを持つということは、$A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間が零ベクトル $\bm{0}$ のみからなるということに他なりません。
  • このことは、次のように表すことができます。
    $$ \text{Ker} f_{A} = \{\, \bm{0} \,\} $$

定理 5.2による同値変形#

• 定理 5.2などを用いて同値変形します。

  $$ \begin{split} \text{Ker} f_{A} = \{\, \bm{0} \,\} \; &\overset{(\text{i})}{\iff} \dim (\, \text{Ker} f_{A} \,) = 0 \\ &\overset{(\text{ii})}{\iff} n - \text{rank} \, A = 0 \\ &\overset{(\text{iii})}{\iff} n = \text{rank} \, A \\ \end{split} $$
  • （$\text{i}$）定理 4.35（部分空間の次元）より成り立ちます。
  • （$\text{ii}$）定理 5.2より、解空間の次元は $n - \text{rank} \, A$ に等しく、$\dim (\, \text{Ker} f_{A} \,) = n - \text{rank} \, A$ であることから、$n - \text{rank} \, A = 0$ が成り立ちます。

• 以上から、 $A \bm{x} = \bm{0}$ が自明な解のみを持つ（$\text{Ker} f_{A} = \{\, \bm{0} \,\}$）ための必要十分条件が $\text{rank} \, A = n$ であることが示されました。

自明でない解を持つ条件#

系 5.4（斉次連立一次方程式が自明でない解を持つ条件）#

$A$ を $(m, n)$ 型行列とする。$n \gt m$ ならば、斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ は自明でない解を持つ。

解説#

系 5.4の主張#

系 5.4は斉次連立一次方程式が自明でない解を持つための十分条件を示すものです。

下の証明に示す通り、系 5.4の主張は、斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間について考えることで直ちに示すことができます。このような意味で、系 5.4は、前項の定理 5.2（斉次連立一次方程式の解空間の次元）の系であるといえます。

同じ主張を持つ定理（定理 4.23と系 5.4）#

系 5.4の主張は、基底と次元の準備において導入した、定理 4.23（斉次連立一次方程式が自明でない解を持つための条件）の主張と同じです。

以下にみていくように、これらの定理はともに、ベクトル空間の次元を定義する（次元の一意性を示す）上で極めて重要な役割を果たします。

系 5.4の意義#

既に定理 4.23（斉次連立一次方程式が自明でない解を持つための条件）を示している我々にとって、あらためて系 5.4を示す必要はありません。にもかかわらず、ここで改めて系 5.4を示すことの意義は次のようなものです。

• 連立一次方程式の解法に関係する定理として、これをまとめて整理するため。
• 論理展開の仕方によって、定理 4.23に先立って系 5.4を示す必要がある場合のため。

次元と階数を定義する論理展開#

ベクトル空間の次元と行列の階数を定義するまでの論理展開の仕方は主に $2$ 通りあります。

（$1$）次元から階数を定義する場合
（$2$）次元より先に階数を定義する場合

それぞれの場合において、定理 4.23および系 5.4がどのような役割を果たすか、簡単に流れをみてみます。

（1）次元から階数を定義する場合#

定理 4.23（斉次連立一次方程式が自明でない解を持つための条件）は、次元の定義の根拠となる定理 4.29（次元の一意性）の証明に必要な定理でした。また我々は、ある行列により定まる線型写像の像の次元として行列の階数を定義しています（階数の定義）。

つまり、この場合、定理 4.23を用いて次元を定義し、次元の概念を用いて階数を定義しています。したがって、階数の概念を用いて（定理 4.23と同じ）系 5.4を改めて示す必要はないということです。

比較的多くの教科書（[2], [3], [4], [5] など）で、およそこのような流れで論理が展開されています。勿論、教科書により若干の違いがあり、本サイトの論理展開に最も近いのは [4] です。

（2）次元より先に階数を定義する場合#

一方で、階数の定義でも触れたように、次元の概念を用いずに階数を定義することもできます。この場合、行列の基本変形により得られる標準形を用いて階数を定義するわけですが、その際、ベクトル空間やその次元といった概念は必要ありません。

したがって、行列の標準形を用いて階数を定義し、階数の性質を用いて（定理 4.23と同じ）系 5.4を示すことができます。そして、系 5.4を用いて次元の一意性を示し、これをもって次元を定義するという論理の展開が可能です。

例えば、[1] では、概ねこのような流れで論理が展開されています。

証明（系 5.4）#

行列 $A$ の階数は $A$ の行の数を超えないので、$\text{rank} \, A \leqslant m$ が成り立つ。いま $n \gt m$ なので、$\text{rank} \, A \leqslant m \lt n$ であり、$n - \text{rank} \, A \gt 0$ が成り立つ。したがって、定理 5.2（斉次連立一次方程式の解空間の次元）より $A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間の次元は $0$ より大きく、$A \bm{x} = \bm{0}$ は自明でない解を持つ。$\quad \square$

証明の考え方（系 5.4）#

階数の性質と定理 5.2（斉次連立一次方程式の解空間の次元）を用いて示します。

階数の性質の利用（$\text{rank} \, A \lt n$ の証明）#

• 定理 4.57（行階数）より、ある行列の階数はその行列の行の数を超えません。

  $$ \text{rank} \, A \leqslant m $$

• 定理の仮定より $n \gt m$ であるので、次が成り立ちます。

  $$ \begin{gather*} & \text{rank} \, A \leqslant m \lt n \\ \Rightarrow & \text{rank} \, A \lt n \end{gather*} $$

定理 5.2の利用（$A \bm{x} = \bm{0}$ が自明でない解を持つことの証明）#

• 上の考察から、$n - \text{rank} \, A \gt 0$ が成り立つことがわかります。

  $$ \begin{gather*} & \text{rank} \, A \lt n \\ \Leftrightarrow & n - \text{rank} \, A \gt 0 \end{gather*} $$

• 定理 5.2（斉次連立一次方程式の解空間の次元）より $A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間の次元は $n - \text{rank} \, A$ に等しく、これが $0$ より大きいということなので、$A \bm{x} = \bm{0}$ は自明でない解を持つといえます。

  $$ \dim (\, \text{Ker} f_{A} \,) = n - \text{rank} \, A \gt 0 $$

• 以上から、題意が示されました。

まとめ#

• $A$ を $(m, n)$ 型行列とすると、
  • 斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ が自明な解のみを持つための必要十分条件は、$\text{rank} \, A = n$ であること。
  • $n \gt m$ ならば、斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ は自明でない解を持つ。

参考文献#