基本的な性質（5）

相似な行列の トレースは等しくなります。

相似な行列とは、同じ線型変換を表現する行列に他なりません。したがって、相似な行列のトレースが等しいということは、トレースが（表現行列によらず）線型変換に対して一意に定まるということを意味しています。

相似な行列のトレース#

定理 6.8（相似な行列のトレース）#

$2$ つの正方行列 $A, B$ が相似であれば、それぞれの行列のトレースは等しい。

解説#

相似な行列とは#

相似な行列とは、同じ線型変換の、異なるの基底に関する表現行列です（ 定理 4.56（相似な行列））。

すなわち、ある線型変換 $f : V \to V$ に対して、$V$ の基底 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ に関する表現行列を $A$ 、$V$ の別の基底 $\bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ に関する表現行列を $B$ とすると、行列 $A, B$ は互いに相似であるということになります。

このとき、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ から $\bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ への 基底変換行列を $P$ とすると、 定理 4.56（相似な行列）より、次が成り立ちます。

基底変換行列を用いた表し方#

このように考えると、 定理 6.8（相似な行列のトレース）は、基底変換行列（正則行列）を用いて、次のように言い換えることができます。

すなわち、 定理 6.8より、「 $2$ つの正方行列 $A, B$ について、$B = P^{-1} A P$ を満たす正則行列 $P$ が存在するならば $\text{tr} A = \text{tr} B$ 」が成り立ちます。また、このとき （6.2.7）式は、次のようになります。

行列のトレースは線型変換に対して定まる#

また、 定理 6.8（相似な行列のトレース）は、行列の トレースが（表現行列によらず）線型変換に対して一意に定まるものであることを意味しています。

すなわち、同じ線型写像の異なる表現行列は、同じトレースの値を持つということです。

証明#

$A, B$ の固有多項式を、それぞれ $\phi_{A} (t),$ $\phi_{B} (t)$ とすると、 定理 6.6（相似な行列の固有多項式）より、相似な行列の固有多項式は等しいから、次が成り立つ。

したがって、固有多項式 $\phi_{A} (t)$ と $\phi_{B} (t)$ において、$t$ のすべての次数の係数は等しい。特に、 定理 6.7（固有多項式の係数）より、$(n-1)$ 次の係数について、次が成り立つ。

証明の考え方#

（$1$）相似な行列 $A, B$ の固有多項式が等しいことを導き（$2$）固有多項式の係数が行列のトレースで表せることから、$\text{tr} A = \text{tr} B$ を示します。

それぞれ、 定理 6.6（相似な行列の固有多項式）と 定理 6.7（固有多項式の係数）により直ちに示すことができます。

（1）相似な行列の固有多項式が等しいことの導出#

• まず、 定理 6.6（相似な行列の固有多項式）より、相似な行列の固有多項式が等しいことを用います。
• $A, B$ の固有多項式を、それぞれ $\phi_{A} (t),$ $\phi_{B} (t)$ とします。
• 相似な行列の固有多項式は等しいことから、次が成り立ちます（ 定理 6.6）。
  $$ \begin{gather*} \phi_{A} (t) = \phi_{B} (t) \end{gather*} $$

（2）固有多項式の係数が行列のトレースで表せることの利用#

• 次に、 定理 6.7（固有多項式の係数）を用いて $A$ と $B$ のトレースが等しいことを導きます。

• 固有多項式が等しいということは、固有多項式のすべての項（すべての次数の係数）がそれぞれ等しいということを意味しています。

  • すなわち、$\phi_{A} (t),$ $\phi_{B} (t)$ を $n$ 次の多項式とすると、次が成り立ちます。
    $$ \begin{gather*} a_{i} = b_{i} \quad (\, 0 \leqslant i \leqslant n\,) \\ \\ \left[ \; \; \begin{align*} \phi_{A} (t) &= a_{n} \, t^{n} + a_{n-1} \, t^{n-1} + \cdots + a_{0} \, , \\ \phi_{B} (t) &= b_{n} \, t^{n} + b_{n-1} \, t^{n-1} + \cdots + b_{0} \end{align*} \; \; \right] \end{gather*} $$

• また、 定理 6.7（固有多項式の係数）より、$(n-1)$ 次の係数 $a_{n-1}, b_{n-1}$ は、それぞれ $A, B$ のトレースにより、次のように表されます。

  $$ \begin{align*} a_{n-1} &= (-1)^{n-1} \, \text{tr} A \; , \\ b_{n-1} &= (-1)^{n-1} \, \text{tr} B \end{align*} $$

• したがって、特に $a_{n-1} = b_{n-1}$ より、次が成り立ちます。

  $$ \begin{alignat*} {3} && (-1)^{n-1} \, \text{tr} A &= (-1)^{n-1} \, \text{tr} B \\ & \Leftrightarrow \quad & \text{tr} A &= \text{tr} B \end{alignat*} $$

• 以上から、題意が示されました。

まとめ#

• $2$ つの正方行列 $A, B$ が相似であれば、それぞれの行列のトレースは等しい。

  $$ \begin{equation*} \text{tr} A = \text{tr} B \end{equation*} $$

• すなわち、行列のトレースは（表現行列によらず）線型変換に対して一意に定まる。

参考文献

[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
[3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010.
[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008.
[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022.
[8] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.