随伴行列の定義

ある行列の共役行列の転置行列を、随伴行列といいます。

ここでは、随伴行列を定義するとともに、数ベクトル空間（計量ベクトル空間）の標準的内積と随伴行列について成り立つ演算規則を示します。

随伴行列の定義#

まず、随伴行列の定義を示します。

定義 7.10（随伴行列）#

行列 $A$ に対して、$A$ の共役行列の転置行列（ ${}^t \, \overline{A \vphantom{\big(\big)} \,}$ ）を $A$ の随伴行列（$\text{adjoint matrix}$ $\text{/}$ $\text{conjugate transpose}$）といい、$A^{\ast}$ と表す。

解説#

随伴行列とは：共役行列の転置行列#

随伴行列とは、ある行列の共役行列の転置行列です。 上記の定義より、行列 $A$ とその随伴行列 $A^{\ast}$ について、次が成り立つことは明らかです。

随伴行列の成分#

いま、$A$ を $(m, n)$ 型行列として、$A$ の $(i, j)$ 成分を $a_{i j}$ とすると、$A$ の随伴行列 $A^{\ast}$ は、$\overline{a_{j i} \vphantom{k}}$ を $(i, j)$ 成分として持つ $(n, m)$ 型行列になります。

すなわち、行列 $A$ を、その成分により $A = \big(\, a_{i j} \, \big)$ と表すと、$A^{\ast}$ は次のように表せます。

随伴行列の基本的な性質#

共役行列（あるいは複素共役）や 転置行列の基本的な性質より、次が成り立つことは明らかといえます（ 定理 2.3（転置行列）などを参照）。

ここで、$A, B$ は和や積が定義できる適当な行列であり、$c$ は任意のスカラー（ $c \in K$ ）を表しています。

随伴行列と標準的内積#

次に、標準的内積が定義された数ベクトル空間（計量ベクトル空間）において、随伴行列について成り立つ演算規則を示します。

定理 7.22（標準的内積と随伴行列）#

$A$ を $n$ 次の正方行列とする。任意の $\bm{x}, \bm{y} \in K^{n}$ の標準的内積について、次が成り立つ。

解説#

標準的内積に関する演算規則#

定理 7.22（標準的内積と随伴行列）は、$n$ 次元数ベクトル空間 $K^{n}$ の 標準的内積について成り立つ演算規則を表しています。

すなわち、行列 $A$ と $\bm{x}$ の積と $\bm{y}$ の内積は、$\bm{x}$ と $A$ の随伴行列 $A^{\ast}$ と $\bm{y}$ の積の内積に等しくなります。

行列の演算との対応#

数ベクトル空間 $K^{n}$ の 標準的内積と行列の積の演算を対応付けて考えると、 （7.5.1）式は、次のような行列の演算として理解できます。

すなわち、$\bm{x}, \bm{y} \in K^{n}$ を次のような $(n, 1)$ 型行列（$n$ 項列ベクトル）として、

$\bm{x}$ と $\bm{y}$ の内積を、$\bm{x}$ の転置行列 ${}^{t} \bm{x}$ と、$\bm{y}$ の共役行列 $\overline{\, \bm{y} \vphantom{i} \,}$ との積として表すと、次が成り立ちます。

このように考えると、 （7.5.1）式は、あくまで行列の積の演算として理解できます。（ 下記の証明を参照）

随伴行列を特徴づける式#

定理 7.22（標準的内積と随伴行列）の （7.5.1）式は、随伴行列の基本的性質を表す式であるとともに、随伴行列を特徴づける式でもあります。

定理 7.22は、$A$ とその随伴行列 $A^{\ast}$ について （7.5.1）式が成り立つことを示していますが、逆に、任意の $\bm{x}, \bm{y} \in K^{n}$ に対して、$A \bm{x} \cdot \bm{y} = \bm{x} \cdot B \bm{y}$ が成り立つとき、$B = A^{\ast}$ となります。

随伴行列は正方行列に限らない#

上記の定義からわかるように、随伴行列は正方行列に限らず定義されます。

定理 7.22（標準的内積と随伴行列）では、主に線形変換（特に、ユニタリ変換など）への応用を考慮して、$A$ を正方行列としています。

しかしながら、 標準的内積と行列の積の対応を考えれば、任意の型の行列について （7.5.1）式が成り立つことが確かめられます。すなわち、$A$ を $(m, n)$ 型行列とすると、任意の $n$ 項列ベクトル $\bm{x}$ と $m$ 項列ベクトル $\bm{y}$ に対して、$A \bm{x} \cdot \bm{y} = \bm{x} \cdot A^{\ast} \bm{y}$ が成り立ちます。

証明#

$\bm{x}$ と $\bm{y}$ の標準的内積を行列の積として表すと、次が成り立つ。

したがって、$A \bm{x}$ と $\bm{y}$ の標準的内積について、次が成り立つ。

証明の考え方#

標準的内積と行列の積の対応を考えて、$\bm{x} \cdot \bm{y} = {}^{t} \bm{x} \overline{\, \bm{y} \vphantom{i} \,}$ が成り立つことを利用します。

標準的内積と行列の積の対応#

• 数ベクトル空間 $K^{n}$ の 標準的内積と行列の積の演算を対応付けて考えると、$\bm{x}$ と $\bm{y}$ の標準的内積は、$\bm{x}$ の転置行列 ${}^{t} \bm{x}$ と、$\bm{y}$ の共役行列 $\overline{\, \bm{y} \vphantom{i} \,}$ との積として表せます（ 標準的内積と行列の積の対応を参照）。

  $$ \begin{align*} \bm{x} \cdot \bm{y} &\overset{(\text{i})}{=} \sum_{i} \, x_{i} \, \overline{y_{i} \vphantom{i}} \\ &\overset{(\text{ii})}{=} x_{1} \overline{y_{1} \vphantom{i}} + x_{2} \overline{y_{2} \vphantom{i}} + \cdots + x_{n} \overline{y_{n} \vphantom{i}}\\ &\overset{(\text{iii})}{=} {}^{t} \bm{x} \overline{\, \bm{y} \vphantom{i} \,} \vphantom{\bigg(\bigg)} \end{align*} $$

• （$\text{i}$）（$\text{ii}$） 標準的内積の定義そのものです。

• （$\text{iii}$）$\bm{x}, \bm{y} \in K^{n}$ を $(n, 1)$ 型行列（$n$ 項列ベクトル）と捉えると、$\bm{x}$ と $\bm{y}$ の標準的内積は、$\bm{x}$ の転置行列 ${}^{t} \bm{x}$ と、$\bm{y}$ の共役行列 $\overline{\, \bm{y} \vphantom{i} \,}$ との積に等しくなります。

標準的内積と随伴行列の関係式の導出#

• 上記の考察から、$\bm{x} \cdot \bm{y} = {}^{t} \bm{x} \overline{\, \bm{y} \vphantom{i} \,}$ が成り立つことを利用すると、$A \bm{x}$ と $\bm{y}$ の標準的内積について、次が成り立ちます。

  $$ \begin{align*} A \bm{x} \cdot \bm{y} &\overset{(\text{i})}{=} {}^{t} ( A \bm{x} ) \, \overline{\, \bm{y} \vphantom{i} \,} \vphantom{\Big(\Big)} \\ &\overset{(\text{ii})}{=} {}^{t} \bm{x} \, {}^{t} A \, \overline{\, \bm{y} \vphantom{i} \,} \vphantom{\Big(\Big)} \\ &\overset{(\text{iii})}{=} {}^{t} \bm{x} \; \overline{\overline{\, {}^{t} A \vphantom{\big(\big)} \,}} \; \overline{\, \bm{y} \vphantom{\big(\big)} \,} \vphantom{\Big(\Big)} \\ &\overset{(\text{iv})}{=} {}^{t} \bm{x} \; \overline{ A^{\ast} \vphantom{\big(\big)} } \; \overline{\, \bm{y} \vphantom{\big(\big)} \,} \vphantom{\Big(\Big)} \\ &\overset{(\text{v})}{=} {}^{t} \bm{x} \; \overline{ A^{\ast} \bm{y} \vphantom{\big(\big)} \,} \vphantom{\Big(\Big)} \\ &\overset{(\text{vi})}{=} \bm{x} \cdot A^{\ast} \bm{y} \vphantom{\Big(\Big)} \end{align*} $$
  • （$\text{i}$）（$\text{vi}$） 上記の考察から、$\bm{x} \cdot \bm{y} = {}^{t} \bm{x} \overline{\, \bm{y} \vphantom{i} \,}$ が成り立つことによります。
  • （$\text{ii}$） 転置行列の基本的な性質によります（ 定理 2.3（転置行列））。
  • （$\text{iii}$） 共役行列について、$A = \overline{\overline{A \vphantom{\big(\big)} \,}}$ が成り立ちます。
  • （$\text{iv}$） 随伴行列の定義より、$A^{\ast} = \overline{\, {}^{t} A \vphantom{\big(\big)} \,}$ が成り立ちます。
  • （$\text{v}$） 共役行列について、$\overline{AB \vphantom{\big(\big)}} = \overline{A \vphantom{\big(\big)} \,} \; \overline{B \vphantom{\big(\big)} \,}$ が成り立ちます。

• 以上から、題意が示されました。

まとめ#

• 行列 $A$ に対して、$A$ の共役行列の転置行列を $A$ の随伴行列といい、$A^{\ast}$ と表す。

  $$ \begin{align*} A^{\ast} &= {}^{t} \, \overline{A \vphantom{\big(\big)} \,} \\ &= \overline{\, {}^{t} A \vphantom{\big(\big)} \,} \\ \end{align*} $$

• 随伴行列について、次が成り立つ。

  $$ \begin{gather*} (\text{i}) & \quad (A + B)^{\ast} = A^{\ast} + B^{\ast} \\ (\text{ii}) & \quad (AB)^{\ast} = B^{\ast} A^{\ast} \\ (\text{iiii}) & \quad (A^{\ast})^{\ast} = A \\ (\text{iv}) & \quad (c \, A)^{\ast} = \overline{c \vphantom{k} \,} \, A^{\ast} \\ \end{gather*} $$
  • ここで、$A, B$ は和や積が定義できる適当な行列、$c$ は任意のスカラー（ $c \in K$ ）を表す。

• $A$ を $n$ 次の正方行列とする。任意の $\bm{x}, \bm{y} \in K^{n}$ の標準的内積について、次が成り立つ。

  $$ \begin{align*} A \bm{x} \cdot \bm{y} = \bm{x} \cdot A^{\ast} \bm{y} \end{align*} $$

• $\bm{x}, \bm{y} \in K^{n}$ の標準的内積は、行列の積として、次のように表せる。

  $$ \begin{align*} \bm{x} \cdot \bm{y} = {}^{t} \bm{x} \overline{\, \bm{y} \vphantom{i} \,} \end{align*} $$

参考文献

[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
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