正規行列の固有値

正規行列 $A$ の固有値と、その 随伴行列 $A^{\ast}$ の固有値は、互いに複素共役となります。

これは、正規行列の基本的性質であり、 ユニタリ行列や エルミート行列の固有値に関する性質を一般化したものです。

正規行列の固有値#

定理 7.33（正規行列の固有値）#

$A$ を正規行列として、$\lambda$ を $A$ の固有値とすると、$\overline{\lambda \vphantom{\big(\big)}}$ は $A^{\ast}$ の固有値である。また、$A$ の固有値 $\lambda$ に属する固有ベクトルを $\bm{x}$ とすると、$\bm{x}$ は、$A^{\ast}$ の固有値 $\overline{\lambda \vphantom{\big(\big)}}$ に属する固有ベクトルでもある。

解説#

正規行列の固有値と固有ベクトル#

定理 7.33（正規行列の固有値）は、 正規行列の固有値と固有ベクトルの間に成り立つ関係を示しています。

正規行列 $A$ とその随伴行列 $A^{\ast}$ の固有値は複素共役#

定理 7.33（正規行列の固有値）の前半は、 正規行列 $A$ と、その随伴行列 $A^{\ast}$ の固有値が、互いに複素共役であることを示しています。

すなわち、$\lambda$ を $A$ の固有値とすると、$\lambda$ の複素共役 $\overline{\lambda \vphantom{\big(\big)}}$ は、$A$ の随伴行列 $A^{\ast}$ の固有値となります。

正規行列 $A$ とその随伴行列 $A^{\ast}$ は固有ベクトルを共有する#

定理 7.33（正規行列の固有値）の後半は、 正規行列 $A$ と、その随伴行列 $A^{\ast}$ が固有ベクトルを共有することを示しています。

すなわち、$A$ の固有値 $\lambda$ に属する固有ベクトルを $\bm{x}$ とすると、$\bm{x}$ は、$A$ の随伴行列 $A^{\ast}$ の対応する固有値 $\overline{\lambda \vphantom{\big(\big)}}$ に属する固有ベクトルでもあります。

これは、$A$ と $A^{\ast}$ のすべての固有値と固有ベクトルについて成り立ちます。したがって、 定理 7.33は、$\lambda$ に属する $A$ の 固有空間と $\overline{\lambda \vphantom{\big(\big)}}$ に属する $A^{\ast}$ の固有空間が等しいことを意味しています。

固有値と固有ベクトルの関係式による表現#

上記の考察は、 固有値と固有ベクトルに成り立つ関係式を用いて、次のように簡単に表すことができます。

すなわち、 定理 7.33（正規行列の固有値と固有ベクトル）は、$A$ が正規行列であるとき、「 $A \bm{x} = \lambda \bm{x}$ ならば $A^{\ast} \bm{x} = \overline{\lambda \vphantom{\big(\big)}} \bm{x}$ 」が成り立つことを示しています。

エルミート行列とユニタリ行列の固有値に関する性質の一般化#

定理 7.33（正規行列の固有値と固有ベクトル）は、これまでに導入した、 ユニタリ行列や エルミート行列、 歪エルミート行列などの行列の固有値に関する性質を一般化したものといえます。

正規行列の定義で確かめたように、ユニタリ行列やエルミート行列、歪エルミート行列は 正規行列です。したがって、 定理 7.33は、これらの行列においても当然成り立ちます。

しかしながら、これらの行列の固有値の性質（ 関連する定理）と 定理 7.33との関係を簡潔に表すためには、後に示す 定理 7.35（正規行列の対角化）が必要となります。

関連する定理#

• 定理 7.27（ユニタリ行列の固有値）
• 定理 7.29（エルミート行列の固有値）
• 定理 7.30（歪エルミート行列の固有値）

証明#

$A$ を正規行列として、$\lambda$ を $A$ の固有値、$\bm{x}$ を $\lambda$ に属する固有ベクトルとすると、次が成り立つ。

いま、$A$ は正規行列であるから、

であり、$(A - \lambda E)$ も正規行列となる。したがって、次が成り立つ。

ここで（$\ast$）式より、上式の両辺は $0$ に等しいから、

が成り立つ。したがって、$\overline{\lambda \vphantom{\big(\big)}}$ は $A^{\ast}$ の固有値であり、$\bm{x}$ は $\overline{\lambda \vphantom{\big(\big)}}$ に属する固有ベクトルでもある。$\quad \square$

証明の考え方#

固有値と固有ベクトルの関係式 $A \, \bm{x} = \lambda \, \bm{x} \Leftrightarrow (A - \lambda E) \, \bm{x} = \bm{0}$ において、（$1$）$A$ が正規行列ならば $(A - \lambda E)$ も正規行列となることを示し、（$2$） 定理 7.22（標準的内積と随伴行列）を利用して、$(A^{\ast} - \overline{\lambda \vphantom{\big(\big)}} E) \, \bm{x} = \bm{0} \Leftrightarrow A^{\ast} \, \bm{x} = \overline{\lambda \vphantom{\big(\big)}} \, \bm{x}$ を導きます。

前提事項の整理#

• $A$ を正規行列とすると、次が成り立ちます（ 正規行列の定義）。

  $$ \begin{align*} A^{\ast} A = A \, A^{\ast} \end{align*} $$

• また、$\lambda$ を $A$ の固有値、$\bm{x}$ を $\lambda$ に属する固有ベクトルとすると、次が成り立ちます（ 固有値と固有ベクトル）。

  $$ \begin{gather*} & A \, \bm{x} = \lambda \, \bm{x} \\ \Leftrightarrow & (A - \lambda E) \, \bm{x} = \bm{0} \tag{$\ast$} \\ \end{gather*} $$

（$1$）$(A - \lambda E)$ が正規行列であることの証明#

• 上記 （$\ast$）式において、$A$ が正規行列であれば、$(A - \lambda E)$ も正規行列となることを示します。

• 正規行列の定義にしたがって、$(A - \lambda E)$ と $(A - \lambda E)^{\ast}$ が、積について可換であることを確かめます。

  $$ \begin{split} (A - \lambda E)^{\ast} \, (A - \lambda E) &\overset{(\text{i})}{=} (A^{\ast} - \overline{\lambda \vphantom{\big(\big)}} E) \, (A - \lambda E) \\ &\overset{(\text{ii})}{=} A^{\ast} A - \lambda A^{\ast} - \overline{\lambda \vphantom{\big(\big)}} A - \lambda \overline{\lambda \vphantom{\big(\big)}} \, E \\ &\overset{(\text{iii})}{=} A \, A^{\ast} - \overline{\lambda \vphantom{\big(\big)}} A - \lambda A^{\ast} - \lambda \overline{\lambda \vphantom{\big(\big)}} \, E \\ &\overset{(\text{iv})}{=} (A - \lambda E) \, (A^{\ast} - \overline{\lambda \vphantom{\big(\big)}} E) \\ &\overset{(\text{v})}{=} (A - \lambda E) \, (A - \lambda E)^{\ast} \\ \end{split} $$
  • （$\text{i}$） 随伴行列の基本的性質より、$(A + B)^{\ast} = A^{\ast} + B^{\ast}$ が成り立ちます。
  • （$\text{ii}$）行列の積について分配法則が成り立ちます（ 行列の積の演算規則）。
  • （$\text{iii}$）$A$ が 正規行列であることから、$A^{\ast} A = A \, A^{\ast}$ が成り立ちます。
  • （$\text{iv}$）（$\text{v}$）はじめの（$\text{i}$）（$\text{ii}$）と逆方向に因数分解して、式をまとめます。

• 上式より、$(A - \lambda E)$ が正規行列であることが示されました。

（$2$）$A^{\ast} \, \bm{x} = \overline{\lambda \vphantom{\big(\big)}} \, \bm{x}$ の導出#

• 定理 7.22（標準的内積と随伴行列）を利用して、$(A - \lambda E) \, \bm{x} = \bm{0}$ から、$(A^{\ast} - \overline{\lambda \vphantom{\big(\big)}} E) \, \bm{x} = \bm{0}$ を導きます。

• 上記の考察より、$(A - \lambda E) \, \bm{x}$ に関する 標準的内積について、次が成り立ちます。

  $$ \begin{split} (A - \lambda E) \, \bm{x} \cdot (A - \lambda E) \, \bm{x} &\overset{(\text{i})}{=} \bm{x} \cdot (A - \lambda E)^{\ast} \, (A - \lambda E) \, \bm{x} \\ &\overset{(\text{ii})}{=} \bm{x} \cdot (A - \lambda E) \, (A - \lambda E)^{\ast} \, \bm{x} \\ &\overset{(\text{iii})}{=} (A - \lambda E)^{\ast} \, \bm{x} \cdot (A - \lambda E)^{\ast} \, \bm{x} \\ \end{split} $$
  • （$\text{i}$） 定理 7.22（標準的内積と随伴行列）によります。すなわち、正方行列 $A$ と任意の数ベクトル $\bm{x}, \bm{y}$ について、$A \, \bm{x} \cdot \bm{y} = \bm{x} \cdot A^{\ast} \, \bm{y}$ が成り立ちます。
  • （$\text{ii}$） 上記の考察より、$(A - \lambda E)$ が正規行列であるので、$(A - \lambda E)^{\ast} \, (A - \lambda E) = (A - \lambda E) \, (A - \lambda E)^{\ast}$ が成り立ちます。
  • （$\text{iii}$）再び、 定理 7.22（標準的内積と随伴行列）を用いて、$(A - \lambda E)^{\ast} \, \bm{x}$ に関する標準的内積の形を作ります。

• ここで （$\ast$）式より、上式の両辺は $0$ に等しいので、次が成り立ちます。

  $$ \begin{gather*} & (A - \lambda E)^{\ast} \, \bm{x} \cdot (A - \lambda E)^{\ast} \, \bm{x} = \bm{0} \\ \overset{(\text{i})}{\Longrightarrow} & (A - \lambda E)^{\ast} \, \bm{x} = \bm{0} \\ \overset{(\text{ii})}{\iff} & A^{\ast} \, \bm{x} = \overline{\lambda \vphantom{\big(\big)}} \, \bm{x} \\ \end{gather*} $$
  • （$\text{i}$） 内積の公理より、任意のベクトル $\bm{x}$ について $\bm{x} \cdot \bm{x} \geqslant 0$ であり、$\bm{x} \cdot \bm{x} = 0$ ならば $\bm{x} = \bm{0}$ が成り立ちます。

以上から、$\overline{\lambda \vphantom{\big(\big)}}$ は $A^{\ast}$ の固有値であり、$\bm{x}$ は $\overline{\lambda \vphantom{\big(\big)}}$ に属する固有ベクトルでもあることが示されました。

まとめ#

• $A$ を正規行列として、$\lambda$ を $A$ の固有値とすると、$\overline{\lambda \vphantom{\big(\big)}}$ は $A^{\ast}$ の固有値である。また、$A$ の固有値 $\lambda$ に属する固有ベクトルを $\bm{x}$ とすると、$\bm{x}$ は、$A^{\ast}$ の固有値 $\overline{\lambda \vphantom{\big(\big)}}$ に属する固有ベクトルでもある。
• すなわち、$A$ が正規行列であるとき、「 $A \bm{x} = \lambda \bm{x}$ ならば $A^{\ast} \bm{x} = \overline{\lambda \vphantom{\big(\big)}} \bm{x}$ 」が成り立つ。

参考文献

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