対角化と正規直交基底

行列 $A$ が対角化可能であるためには、$A$ の固有ベクトルからなる $K^{n}$ の正規直交基底が存在することが必要にして十分です。

ここでは、 正規行列による対角化の条件を示した上で、これまでに導入した、行列が対角化可能であるための条件（必要十分条件）についてまとめます。

対角化と正規直交基底#

定理 7.36（対角化と正規直交基底）#

$n$ 次正方行列 $A$ について、次の $2$ つの条件は同値である。

解説#

対角化の条件（正規行列）#

定理 7.36（対角化と正規直交基底）は、正方行列が 正規行列であることと同値な条件を示しています。すなわち、正方行列 $A$ が正規行列であることは、$A$ の固有ベクトルからなる $K^{n}$ の正規直交基底が存在することと同値です。

これは、 正規行列を用いて、行列が対角化可能であるための条件（必要十分条件）を表したものです。

（1）正規行列であること#

正方行列 $A$ が 正規行列であるということは、$A$ が次を満たすことにほかなりません（ 正規行列の定義）。

ここで、$A^{\ast}$ は、$A$ の 随伴行列を表します。

正規行列であることは対角化可能であることと同値#

前項の 定理 7.35（正規行列の対角化）より、正方行列 $A$ が 正規行列であることは、$A$ が対角化可能であることと同値です。

したがって、 定理 7.36（対角化と正規直交基底）は、正方行列が対角化可能であるための条件を示しているといえます。

（2）固有ベクトルからなる正規直交基底が存在すること#

複素数の範囲で考えれば、$n$ 次の正方行列 $A$ は（重複を含めて）必ず $n$ 個の固有値と固有ベクトルを持ちます（ 定理 6.3（固有方程式））。

いま、$A$ の固有値を $\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}$ として、それぞれに属する固有ベクトルを $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ とすると、次が成り立ちます（ 固有値と固有ベクトルの定義）。

このとき、$K^{n}$ の 正規直交基底となるような $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が存在するというのが、 定理 7.36（対角化と正規直交基底）の 条件（$2$）です。

対角化の条件と同値#

定理 7.36（対角化と正規直交基底）の 条件（$2$）もまた、正方行列が対角化可能であるための条件と同値です。

定理 6.13（対角化の条件）より、$n$ 個の線型独立な $A$ の固有ベクトルが存在することと、$n$ 次正方行列 $A$ が対角化可能であることは同値です。

いま、$n$ 個の線型独立なベクトルからは、 シュミットの正規直交化法などの方法により、$K^{n}$ の正規直交基底が作れます（ 定理 7.11（正規直交化））。また、逆に、$K^{n}$ の正規直交基底は（当然ながら）線型独立です。

したがって、$A$ の固有ベクトルからなる $K^{n}$ の正規直交基底が存在することもまた、$A$ が対角化可能であることと同値といえます。

対角化の条件（まとめ）#

行列が対角化可能であるための条件（必要十分条件）として、これまでに示してきた定理をまとめると、次のようになります。すなわち、$n$ 次の正方行列 $A$ について、次の条件はすべて同値です。

条件（$1$）と（$2$）は、 正規行列の性質によるものであり、 定理 7.35（正規行列の対角化）と 定理 7.36（対角化と正規直交基底）を根拠としています。

また、条件（$3$）と（$4$）は、 固有値と固有ベクトルに関する考察によるものであり、 定理 6.13（対角化の条件）を根拠としています。

証明#

$A$ が正規行列であるとすると、 定理 7.35（正規行列の対角化）より、$A$ は適当なユニタリ行列 $U$ により対角化可能であり、次が成り立つ。

ここで、$U = \left(\, \bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{n} \,\right)$ とすると、

であり、$\lambda_{i}$ は $A$ の固有値、$\bm{u}_{i}$ は $\lambda_{i}$ に属する固有ベクトルとなる。また、$U$ がユニタリ行列であることから、 定理 7.25（数ベクトル空間のユニタリ変換）より、$\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{n}$ は $K^{n}$ の正規直交基底である。したがって、$A$ が正規行列であれば、$A$ の固有ベクトルからなる $K^{n}$ の正規直交基底が存在する。

逆に、$\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}$ を $A$ の固有値、$\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{n}$ を $\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}$ に属する $A$ の固有ベクトルとすると、次が成り立つ。

ここで、$U = \left(\, \bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{n} \,\right)$ とすると、次が成り立つ。

いま、$\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{n}$ が $K^{n}$ の正規直交基底であるとすると、 定理 7.25（数ベクトル空間のユニタリ変換）より、$U$ はユニタリ行列であり、$U^{-1} = U^{\ast}$ が成り立つ。したがって、

よって、$A$ はユニタリ行列 $U$ により対角化可能であるから、 定理 7.35（正規行列の対角化）より、$A$ は正規行列である。したがって、$A$ の固有ベクトルからなる $K^{n}$ の正規直交基底が存在するならば、$A$ は正規行列である。$\quad \square$

証明の考え方#

定理 7.25（数ベクトル空間のユニタリ変換）と 定理 7.35（正規行列の対角化）を利用して、次の $2$ つの条件が同値であることを導きます。

（$1$）$\Rightarrow$（$2$）の証明#

• まず、（$1$）$A$ が 正規行列であれば（$2$）$A$ の固有ベクトルからなる $K^{n}$ の正規直交基底が存在することを示します。

• $A$ が正規行列であるとすると、 定理 7.35（正規行列の対角化）より、$A$ は適当なユニタリ行列 $U$ により対角化可能です。

  $$ \begin{alignat*} {2} && U^{-1} A U = \begin{pmatrix} \; \lambda_{1} && \large{O} \; \\ & \ddots & \\ \; \large{O} && \lambda_{n} \; \\ \end{pmatrix} \\ & \Leftrightarrow & A U = U \begin{pmatrix} \; \lambda_{1} && \large{O} \; \\ & \ddots & \\ \; \large{O} && \lambda_{n} \; \\ \end{pmatrix} \end{alignat*} $$

• ここで、$U$ を列ベクトルに分けて、$U = \left(\, \bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{n} \,\right)$ とすると、次が成り立ちます。

  $$ \begin{align*} A \, \bm{u}_{i} = \lambda_{i} \, \bm{u}_{i} && (1 \leqslant i \leqslant n) \end{align*} $$

• これは、$A$ の固有値と固有ベクトルの関係を表す式に他なりません（ 固有値と固有ベクトルの定義）。

• したがって、$\lambda_{i}$ は $A$ の固有値、$\bm{u}_{i}$ は $\lambda_{i}$ に属する固有ベクトルとなります。

• また、$U$ がユニタリ行列であることから、 定理 7.25（数ベクトル空間のユニタリ変換）より、$\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{n}$ は $K^{n}$ の正規直交基底であるといえます。

• 以上から、（$1$）$A$ が正規行列であれば（$2$）$A$ の固有ベクトルからなる $K^{n}$ の正規直交基底が存在することが示されました。

（$1$）$\Leftarrow$（$2$）の証明#

• 次に、（$2$）$A$ の固有ベクトルからなる $K^{n}$ の正規直交基底が存在するならば（$1$）$A$ は 正規行列であることを示します。

• いま、$\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}$ を $A$ の固有値、$\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{n}$ を $\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}$ に属する $A$ の固有ベクトルとすると、次が成り立ちます（ 固有値と固有ベクトルの定義）。

  $$ \begin{align*} A \, \bm{u}_{i} = \lambda_{i} \, \bm{u}_{i} && (1 \leqslant i \leqslant n) \end{align*} $$

• ここで、$n$ 個の固有ベクトルをまとめて、$U = \left(\, \bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{n} \,\right)$ とすると、次が成り立ちます。

  $$ \begin{align*} A U = U \begin{pmatrix} \; \lambda_{1} && \large{O} \; \\ & \ddots & \\ \; \large{O} && \lambda_{n} \; \\ \end{pmatrix} \end{align*} $$

• また、仮定より、$\bm{u}_{1}, \cdots, \bm{u}_{n}$ は $K^{n}$ の正規直交基底です。したがって、 定理 7.25（数ベクトル空間のユニタリ変換）より、$U$ はユニタリ行列となります。

• このとき、 ユニタリ行列の定義$ より、U^{-1} = U^{\ast}$ となります。また、当然ながら、$U$ は 正則です。

• よって、次が成り立ちます。

  $$ \begin{gather*} & A U = U \begin{pmatrix} \; \lambda_{1} && \large{O} \; \\ & \ddots & \\ \; \large{O} && \lambda_{n} \; \\ \end{pmatrix} \\ \Leftrightarrow & U^{-1} A U = \begin{pmatrix} \; \lambda_{1} && \large{O} \; \\ & \ddots & \\ \; \large{O} && \lambda_{n} \; \\ \end{pmatrix} \end{gather*} $$

• したがって、$A$ はユニタリ行列 $U$ により対角化可能であるから、 定理 7.35（正規行列の対角化）より、$A$ が正規行列であることが確かめられました。

• 以上から、（$2$）$A$ の固有ベクトルからなる $K^{n}$ の正規直交基底が存在するならば（$1$）$A$ は正規行列であることが示されました。

まとめ#

• $n$ 次正方行列 $A$ について、次の $2$ つの条件は同値である。

• 上記の条件（$1$）と（$2$）は、いずれも $A$ が対角化可能であることと同値である。

参考文献

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