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全単射
全単射とは、 全射であり、かつ 単射であるような 写像です。集合 $A$ から $B$ への写像 $f : A \to B$ が全単射であるということは、$A$ と $B$ の元が $1$ 対 $1$ に対応することを意味します。
ここでは、全単射を定義するとともに、ある写像が全単射であることと 逆写像を持つことが同値であることを示します。
全単射の定義
まず、全単射の定義を示します。
定義 A.8（全単射）
写像 $f$ が全射かつ単射であるとき、$f$ は全単射（$\text{bijection}$）であるという。
解説
全単射とは：全射かつ単射である写像
名前の通り、全単射とは、 全射であり、かつ 単射であるような 写像です。
全単射であるための条件
写像 $f$ が全単射であるということは、$f$ が 全射であるための条件と 単射であるための条件をともに満たすということに他なりません。
したがって、写像 $f : A \to B$ が全単射であることは、$f$ が、次の $2$ つの条件を満たすことと同値です。
（$\text{i}$）集合 $B$ の任意の元 $b \in B$ に対して、$f(a) = b$ となる $a \in A$ が存在する。
（$\text{ii}$）集合 $A$ の任意の元 $a_{1}, a_{2}$ について、$a_{1} \neq a_{2}$ ならば $f(a_{1}) \neq f(a_{1})$ が成り立つ。
（$\text{ii}$）集合 $A$ の任意の元 $a_{1}, a_{2}$ について、$a_{1} \neq a_{2}$ ならば $f(a_{1}) \neq f(a_{1})$ が成り立つ。
全単射であるための条件の論理式
このことを、論理式を用いて表すと、次のようになります。
$$
\begin{align*}
(\text{i}) \, & \qquad {}^{\forall} b \in B, {}^{\exists} a \in A, \; \; \text{s.t.} \; \; f(a) = b \\
(\text{ii}) & \quad {}^{\forall} a_{1}, a_{1} \in A, \; \; a_{1} \neq a_{1} \Rightarrow f(a_{1}) \neq f(a_{1}) \\
\end{align*} \tag{$a.1.10$}
$$
ここで、（$\text{i}$）は $f$ が 全射であるための条件、（$\text{ii}$）は $f$ が 単射であるための条件に、それぞれ対応します。
全単射であることの意味：1 対 1 対応
集合 $A$ から $B$ への 写像 $f : A \to B$ が 全単射であるということは、$A$ と $B$ の元が $1$ 対 $1$ に対応するということを意味しています。
すなわち、$f : A \to B$ が全単射であるならば、任意の $b \in B$ に対して、$f(a) = b$ となる $a \in A$ がただ $1$ つ存在するといえます。任意の $B$ の元に対応する $A$ の元が存在することは、$f$ が 全射であることからいえます。また、それがただ $1$ つに定まることは、$f$ が 単射であることからいえます。
前項に倣ってくだけた表現をとれば、全単射 $f : A \to B$ は、集合 $A$ から $B$ への、漏れなく被りない写像であるといえます。
逆写像を持つための条件
次に、ある写像が 全単射であることと、 逆写像を持つことが同値であることを示します。
定理 A.1（逆写像を持つことと同値な条件）
写像 $f$ が逆写像を持つためには、$f$ が全単射であることが必要にして十分である。
解説
逆写像を持つための条件（必要十分条件）
定理 A.1（逆写像を持つことと同値な条件）は、ある 写像が 逆写像を持つための条件（必要十分条件）を示しています。
すなわち、$A, B$ を集合として、写像 $f : A \to B$ に対してその逆写像 $f^{-1} : B \to A$ が存在することと、$f$ が 全単射であることは同値です。
証明
$f$ が全単射であるとすると、$f$ が全射であることから、任意の $b \in B$ に対して、$f(a) = b$ を満たす $a \in A$ が存在する。また、$f$ が単射であることから、任意の $a_{1}, a_{2}$ について、$f(a_{1}) = f(a_{2}) \Rightarrow a_{1} = a_{2}$ が成り立つ。よって、$B$ から $A$ への対応を $g : B \to A$ として、$g$ が $b \in B$ に対して $f(a) = b$ を満たす $a \in A$ を対応させるとすると、任意の $b \in B$ に対して $g(b)$ はただ $1$ つに定まる。したがって、$g : B \to A$ は写像である。
いま、$f(a) = b$ とすると $g(b) = a$ であるから、$f$ と $g$ の合成写像 $g \circ f$ を考えると、任意の $a \in A$ について、次が成り立つ。
$$
\begin{split}
g \circ f \, (a) &= g \big( f(a) \big) \\
&= g(b) \\
&= a
\end{split}
$$
よって、$g \circ f = \text{id}_{A}$ である。同様に、任意の $b \in B$ について、
$$
\begin{split}
f \circ g \, (b) &= f \big( g(b) \big) \\
&= f(a) \\
&= b
\end{split}
$$
が成り立つから、$f \circ g = \text{id}_{B}$ である。したがって、$g$ は $f$ の逆写像である。
逆に、写像 $f$ の逆写像 $g$ が存在するとすると、$g$ は写像であるので、任意の $b \in B$ に対して $g(b) = a$ となる $a \in A$ が存在する。このとき、$a$ の $f$ による像について、次が成り立つ。
$$
\begin{split}
f(a) &= f\big( g(b) \big) \\
&= f \circ g \, (b) \\
&= \text{id}_{B} \, (b) \\
&= b
\end{split}
$$
つまり、任意の $b \in B$ に対して $f(a) = b$ となる $a \in A$ が存在する。したがって、$f$ は全射である。
次に、$f(a_{1}) = f(a_{2})$ となる $a_{1}, a_{2} \in A$ が存在するとして、$f(a_{1})$ と $f(a_{2})$ の $g$ による像を考えると、$g$ は写像であることから $f(a_{1}) = f(a_{2}) \Rightarrow g \big( f(a_{1}) \big) = g \big( f(a_{2}) \big)$ が成り立つ。また、$g$ が $f$ の逆写像であることから、次が成り立つ。
$$
\begin{align*}
g \big( f(a_{1}) \big) &= g \circ f \, (a_{1}) \\
&= \text{id}_{A} \, (a_{1}) \\
&= a_{1} \, , \\
g \big( f(a_{2}) \big) &= g \circ f \, (a_{2}) \\
&= \text{id}_{A} \, (a_{2}) \\
&= a_{2} \\
\end{align*}
$$
つまり、任意の $a_{1}, a_{2} \in A$ について、$f(a_{1}) = f(a_{2}) \Rightarrow a_{1} = a_{2}$ が成り立つ。したがって、$f$ は単射である。以上から、$f$ は全単射である。$\quad \square$
証明の考え方
写像 $f : A \to B$ について、（$1$）$f$ が 全単射であることと（$2$）$f$ が 逆写像を持つことの同値性を示します。
- （$1$）$\Rightarrow$（$2$）の証明：$f$ が全単射であることのみから、$f$ の逆対応（$g$ とする）が 写像であるための条件を満たし、かつ、$f$ の 逆写像であることを導きます。
- （$2$）$\Rightarrow$（$1$）の証明：$g$ が写像であり、しかも $f$ の逆写像であることから、$f$ が 全射かつ 単射であることを導きます。単射性を示す際は、背理法を用いても見通しが良いです。
（$1$）$\Rightarrow$（$2$）の証明
逆対応 $g$ が写像であることの証明
まず、$f$ の逆対応である $g$ が、次の 写像であるための条件を満たすことを確かめます。
（$\text{i}$）集合 $A$ の 任意の 元 $a$ に対して、対応する集合 $B$ の元 $b$ が存在する。
（$\text{ii}$）集合 $A$ の元 $a$ に対応する集合 $B$ の元 $b$ は ただ $1$ つ に定まる。写像の要件（$\text{i}$）任意性を満たす（すべての元に行き先がある）ことは、$f$ が全射であることから明らかです。
- $f$ が全射であることから、任意の $b \in B$ に対して、$f(a) = b$ を満たす $a \in A$ が存在します。
- ここで、$g(b) = a$ と定めれば、任意の $b \in B$ に対して $g$ による行き先があるといえます。$$ \begin{gather*} & {}^{\forall} b \in B, \; {}^{\exists}a \in A \; \; \text{s.t.} \; \; f(a) = b \\ & \Rightarrow \; \; {}^{\forall}b \in B, \; {}^{\exists}a \in A \; \; \text{s.t.} \; \; g(b) = a \\ \end{gather*} $$
写像の要件（$\text{ii}$）唯一性（同じ元の行き先は同じ）を満たすことは、$f$ が単射であることから明らかです。
- $f$ が単射であることから、任意の $a_{1}, a_{2}$ について、$f(a_{1}) = f(a_{2}) \Rightarrow a_{1} = a_{2}$ が成り立ちます。
- ここでも、$f(a_{1}) = b_{1},$ $g(b_{1}) = a_{1}$ と置き換えることで、任意の $b \in B$ に対して、$g$ による行き先が一意に定まることがわかります。$$ \begin{gather*} & {}^{\forall}a_{1}, a_{2} \in A, \; f(a_{1}) = f(a_{2}) \Rightarrow a_{1} = a_{2} \\ & \Rightarrow \; \; {}^{\forall}b_{1}, b_{2} \in B, \; b_{1} = b_{2} \Rightarrow g(b_{1}) = g(b_{2}) \\ \end{gather*} $$
- したがって、$g : B \to A$ は写像であるといえます。
- $f : A \to B$ と $g : B \to A$ がともに写像であることが確認できましたので、ここではじめて $f$ と $g$ の合成写像が定義できるようになります。
$g$ が逆写像であることの証明
次に、$g$ が $f$ の逆写像であることを示します。
$g \circ f = \text{id}_{A}$ を示します。$a \in A$ について $(g \circ f) (a) = a$ となることは、以下の式より導けます。1つ目の等号は合成写像の定義のとおり、2つ目の等号は $f$ について$f(a) = b$ であること、3つ目の等号は、 $g$ について$g(b) = a$ であることによります。
いま、合成写像 $g \circ f$ を考えると、任意の $a \in A$ について、次が成り立ちます。
$$ \begin{split} g \circ f \, (a) &\overset{(\text{i})}{=} g \big( f(a) \big) \\ &\overset{(\text{ii})}{=} g(b) \\ &\overset{(\text{iii})}{=} a \end{split} $$- （$\text{i}$） 合成写像の定義によります。
- （$\text{ii}$）写像 $f$ の定め方より、$f(a) = b$ となります。
- （$\text{iii}$）写像 $g$ の定め方より、$g(b) = a$ となります。
$g \circ f \, (a) = a$ であることから、$g \circ f = \text{id}_{A}$ が成り立ちます。
$f \circ g = \text{id}_{B}$ についても、同様に示すことができます。
（$1$）$\Rightarrow$（$2$）の証明まとめ
（$1$）$\Leftarrow$（$2$）の証明
全射であることの証明
まず、$f$ が 全射であるための条件を満たすことを示します。
- $f$ が全射であるための条件は、「任意の $b \in B$ に対して、$f(a) = b$ となる $a \in A$ が存在すること」です。
いま、$f$ に対して、その 逆写像 $g$ が存在するとすると、$g$ は 写像であり、任意の $b \in B$ に対して $g(b) = a$ となる $a \in A$ が存在します。
このとき、$a \in A$ の $f$ による像について、次が成り立ちます。
$$ \begin{split} f(a) &\overset{(\text{i})}{=} f\big( g(b) \big) \\ &\overset{(\text{ii})}{=} f \circ g \, (b) \\ &\overset{(\text{iii})}{=} \text{id}_{B} \, (b) \\ &\overset{(\text{iv})}{=} b \end{split} $$よって、任意の $b \in B$ に対して $f(a) = b$ となる $a \in A$ が存在するといえます。
したがって、$f$ が全射であることが示されました。
単射であることの証明
次に、$f$ が 単射であるための条件を満たすことを示します。
- $f$ が単射であるための条件は、「任意の $a_{1}, a_{2} \in A$ に対して、$f(a_{1}) = f(a_{2})$ $\Rightarrow$ $a_{1} = a_{2}$ が成り立つこと」です。
いま、$f(a_{1}) = f(a_{2})$ となる $a_{1}, a_{2} \in A$ が存在するとして、$f(a_{1})$ と $f(a_{2})$ の $g$ による像を考えると、$g$ は写像であることから $f(a_{1}) = f(a_{2}) \Rightarrow g \big( f(a_{1}) \big) = g \big( f(a_{2}) \big)$ が成り立ちます。
また、$g$ が $f$ の逆写像であることから、次が成り立ちます。
$$ \begin{align*} g \big( f(a_{1}) \big) &\overset{(\text{i})}{=} g \circ f \, (a_{1}) \\ &\overset{(\text{ii})}{=} \text{id}_{A} \, (a_{1}) \\ &\overset{(\text{iii})}{=} a_{1} \, , \\ g \big( f(a_{2}) \big) &\overset{(\text{i})}{=} g \circ f \, (a_{2}) \\ &\overset{(\text{ii})}{=} \text{id}_{A} \, (a_{2}) \\ &\overset{(\text{iii})}{=} a_{2} \\ \end{align*} $$よって、任意の $a_{1}, a_{2} \in A$ について、$f(a_{1}) = f(a_{2})$ $\Rightarrow$ $a_{1} = a_{2}$ が成り立つといえます。
したがって、$f$ が単射であることが示されました。
（$1$）$\Leftarrow$（$2$）の証明まとめ
- 以上から、$f$ が逆写像を持つとき、$f$ が全単射になることが示されました。
まとめ
- 写像 $f$ が全射かつ単射であるとき、$f$ は全単射であるという。
- 写像 $f$ が逆写像を持つためには、$f$ が全単射であることが必要にして十分である。
参考文献
[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
[3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010.
[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008.
[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022.
[8] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.
初版：2022-11-05 | 改訂：2025-06-16