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単射と全射
単射とは、集合 $A$ から $B$ への写像であって、任意の異なる $A$ の元に対して異なる $B$ の元を対応させるようなものです。また、 全射とは、集合 $A$ から $B$ への写像であって、任意の $B$ の元に対応する $A$ の元が存在するものです。
ここでは、単射と全射を定義するとともに、写像が単射・全射であるための条件を明らかにします。
単射の定義
まず、単射の定義を示します。
定義 A.6（単射）
$A, B$ を集合として、$f : A \to B$ を写像とする。$A$ の任意の異なる元 $a_{1}, a_{1}$ が、$f$ によって異なる $B$ の元 $f(a_{1}), f(a_{1})$ に移されるとき、$f$ は単射（$\text{injection}$）であるという。
解説
単射とは：行き先に被りのない写像
集合 $A$ から $B$ への写像であって、$A$ の任意の異なる元 $a_{1}, a_{1}$ に対して、異なる $B$ の元 $f(a_{1}), f(a_{1})$ を対応させるようなものを、 単射といいます。
$A$ の任意の異なる元が異なる $B$ の元に移されるということは、$A$ の任意の元について、$f$ による行き先が異なる（被らない）ということに他なりません。
このような意味で、単射とは、行き先に被りのない写像であるといえます。
単射であるための条件
ある写像 $f : A \to B$ が 単射であるための条件は、端的に、次のように表すことができます。
集合 $A$ の任意の元 $a_{1}, a_{2}$ について、$a_{1} \neq a_{2}$ ならば $f(a_{1}) \neq f(a_{1})$ が成り立つ。
つまり、$f$ が単射であるということは、もとの元が異なれば（$a_{1} \neq a_{2}$）その行き先も異なる（$f(a_{1}) \neq f(a_{1})$）ということに他なりません。
単射であるための条件の論理式
このことを、論理式を用いて表すと、次のようになります。
$$
\begin{align*} \tag{$a.1.8$}
{}^{\forall} a_{1}, a_{1} \in A, \; \; a_{1} \neq a_{1} \Rightarrow f(a_{1}) \neq f(a_{1})
\end{align*}
$$
単射であるための条件の否定
写像 $f : A \to B$ が 単射にならないのはどういう場合でしょうか。ここでは、あえて 単射であるための条件の否定を考えてみます。
単射であるための条件は、端的にいえば、「異なる元の行き先は必ず異なる」ことでした。したがって、この条件の否定は、「異なる元であるにもかかわらず、行き先が同じになるものが存在する」ことです。
つまり、下図のような場合、$f$ は単射ではありません。異なる $A$ の元にもかかわらず、$B$ での行き先が同じものが存在するためです。
このことは、論理式を用いても確かめられます。すなわち、 （a.1.8）式の否定は、次のようになります。
$$
\begin{alignat*} {3}
{}^{\lnot} (a.1.8) & \; \Leftrightarrow \; & {}^{\lnot} \{\; {^{\forall}} a_{1}, a_{1} \in A, \; a_{1} \neq a_{1} \Rightarrow f(a_{1}) \neq f(a_{1}) \; \} \quad \\
& \; \Leftrightarrow \; & {}^{\exists} a_{1}, a_{1} \in A, \; \text{s.t.} \; {}^{\lnot} ( \; a_{1} \neq a_{1} \Rightarrow f(a_{1}) \neq f(a_{1}) \; ) \\
& \; \Leftrightarrow \; & {}^{\exists} a_{1}, a_{1} \in A, \; \text{s.t.} \; a_{1} \neq a_{1} \land f(a_{1}) = f(a_{1}) \quad \\
\end{alignat*}
$$
単射であることの確認
$f$ が単射であることを示すときは、このような元の組（$a_{1}, a_{2}$）が存在しないか、よく確かめる必要があります。逆に、行き先が同じになるような元の組が $1$ 組でも存在すれば、$f$ は単射ではないということができます。
単射であるための条件の論理式の別形
写像 $f$ が 単射であるための条件の論理式は、次のように表すこともできます。
$$
\begin{equation} \tag{$a.1.8^{\prime}$}
{}^{\forall} a_{1}, a_{1} \in A, \; \; f(a_{1}) = f(a_{1}) \Rightarrow a_{1} = a_{1}
\end{equation}
$$
（a.1.8$^{\prime}$）式は （a.1.8）式の対偶にほかなりません。 すなわち、 （a.1.8）式が「異なる $A$ の元の行き先は異なる」ことを表しているのに対して、 （a.1.8$^{\prime}$）式は「同じ $B$ の元に来るならば、もととなるの元も同じである」ことを表しています。
写像について考える際に、どこへ「行くか」、どこから「来るか」、どちらから考えても同じことです。場合により、考えやすい（扱いやすい）条件を用いることが重要です。
全射の定義
次に、全射の定義を示します。
定義 A.7（全射）
$A, B$ を集合として、$f : A \to B$ を写像とする。任意の $b \in B$ に対して、$f(a) = b$ となる $a \in A$ が存在するとき、$f$ は全射（$\text{surjection}$）であるという。
解説
全射とは：行き先に漏れのない写像
集合 $A$ から $B$ への写像であって、任意の $B$ の元に対して、対応する $A$ の元が存在するものを、 全射といいます。
任意の $B$ の元に対して、対応する $A$ の元が存在するということは、$f$ による $A$ の 像が $B$ に等しいということに他なりません。すなわち、$f : A \to B$ が全射であるならば、次が成り立ちます。
$$
\begin{align*}
f(A) = B
\end{align*}
$$
また、これは、$f$ による $A$ の元と $B$ の元の対応が、$B$ の全域を（漏れなく）カバーしているということを意味します。
このような意味で、全射とは、行き先に漏れのない写像であるといえます。
全射であるための条件
ある写像 $f : A \to B$ が 全射であるための条件は、端的に、次のように表すことができます。
集合 $B$ の任意の元 $b \in B$ に対して、$f(a) = b$ となる $a \in A$ が存在する。
全射であるための条件の論理式
このことを、論理式を用いて表すと、次のようになります。
$$
\begin{align*} \tag{$a.1.9$}
{}^{\forall} b \in B, {}^{\exists} a \in A, \; \; \text{s.t.} \; \; f(a) = b
\end{align*}
$$
全射であるための条件の否定
写像 $f : A \to B$ が 全射にならないのはどういう場合でしょうか。 単射のときと同様に、あえて 全射であるための条件の否定を考えてみます。
全射であるための条件は、端的にいえば、「任意の $B$ の元に対応する $A$ の元が存在する」ことでした。したがって、この条件の否定は、「どの $A$ の元にも対応しない $B$ の元が存在する」ことです。
つまり、下図のような場合、$f$ は全射ではありません。どの $A$ の元からも来ていない $B$ の元が存在するためです。
このことは、論理式を用いても確かめられます。すなわち、 （a.1.9）式の否定は、次のようになります。
$$
\begin{alignat*} {3}
{}^{\lnot} (a.1.9) & \; \Leftrightarrow \; & {}^{\lnot} (\; {}^{\forall} b \in B, {}^{\exists} a \in A, \; \; \text{s.t.} \; \; f(a) = b \;) \\
& \; \Leftrightarrow \; & {}^{\exists} b \in B, \; \; \text{s.t.} \; \; {}^{\forall} a \in A, \; f(a) \neq b \; \; \\
\end{alignat*}
$$
全射であることの確認
$f$ が全射であることを示すときは、このような $B$ の元が存在しないか、よく確かめる必要があります。逆に、$A$ から来ていない $B$ の元が $1$ つでも存在すれば、$f$ は全射ではないということができます。
まとめ
- $A, B$ を集合として、$f : A \to B$ を写像とする。$A$ の任意の異なる元 $a_{1}, a_{1}$ が、$f$ によって異なる $B$ の元 $f(a_{1}), f(a_{1})$ に移されるとき、$f$ は単射であるという。
- 写像 $f : A \to B$ が単射であるためには、次の条件を満たすことが必要にして十分である。
集合 $A$ の任意の元 $a_{1}, a_{2}$ について、$a_{1} \neq a_{2}$ ならば $f(a_{1}) \neq f(a_{1})$ が成り立つ。
- $A, B$ を集合として、$f : A \to B$ を写像とする。任意の $b \in B$ に対して、$f(a) = b$ となる $a \in A$ が存在するとき、$f$ は全射であるという。
- 写像 $f : A \to B$ が全射であるためには、次の条件を満たすことが必要にして十分である。
集合 $B$ の任意の元 $b \in B$ に対して、$f(a) = b$ となる $a \in A$ が存在する。
参考文献
[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
[3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010.
[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008.
[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022.
[8] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.
初版：2022-10-30 | 改訂：2025-06-18