写像の定義

集合 $A$ の任意の元に対して、集合 $B$ の元がただ $1$ つに定まるような対応を、$A$ から $B$ への写像といいます。

ここでは、写像を定義するとともに、$2$ つの集合の間の元の対応が写像であるための条件（任意性、一意性）を明らかにします。

写像の定義#

定義 A.1（写像）#

集合 $A$ の任意の元 $a$ に対して、$f(a) = b$ となる集合 $B$ の元 $b$ がただ $1$ つ定まるとき、$f$ を $A$ から $B$ への写像（$\text{mapping}$）といい、$f : A \to B$ と表す。

解説#

写像とは：$2$ つの集合の元の対応#

写像とは、$2$ つの集合 $A$ と $B$ の間の元の対応であり、$A$ の任意の元に対して $B$ の対応する元がただ $1$ つに定まるものです。

端的にいえば、写像とは $2$ つの集合の間の元の対応です。集合 $A$ の元 $a$ に対して、集合 $B$ の元 $b$ が対応するとき、この対応関係を $f(a) = b$ のように表します。

写像の定義の仕方は教科書によって様々ですが、 上記の定義文がもっとも丁寧で簡潔だと思います。これをそのまま記憶しておいてもよいのですが、ここでは、 写像の定義を分解しつつ、写像が写像であるための条件を明らかにします。

写像であるための条件#

定義より、$2$ つの集合 $A$ と $B$ の間の元の「対応」が「写像」であるためには、「集合 $A$ の （$\text{i}$）任意の 元に対して、集合 $B$ の元が （$\text{ii}$）ただ $1$ つ 定まる」必要があります。

この条件を分解して書き下すと、次のようになります。

このような条件の分解は、 写像の定義を理解する上で、非常に有益です。例えば、「$\sim$ が写像であることを示せ」のような証明は、 上記の条件（$\text{i}$）と（$\text{ii}$）が成立することを示す問題に置き換えられます。

写像の条件（$\text{i}$）任意性#

まず、写像であるための 条件（$\text{i}$）は、「集合 $A$ のすべての元に行き先がある」ことを表しています。

これは、写像 $f$ が集合 $A$ の任意の元に対して定義できることを要請するものです。このような意味で、集合 $A$ を $f$ の定義域と呼びます。

写像の条件（$\text{i}$）の論理式#

このことを、論理式を用いて表すと、次のようになります。

写像の条件（$\text{i}$）の否定#

写像の条件（$\text{i}$）は、本質的に何を意味しているでしょうか。ここでは、あえて 条件（$\text{i}$）の否定を考えてみます。

条件（$\text{i}$）は、「集合 $A$ の 任意の 元 $a$ に対して、対応する集合 $B$ の元 $b$ が存在する」ことを示していました。したがって、 条件（$\text{i}$）の否定は、「どんな集合 $B$ の元 $b$ にも対応しない、集合 $A$ の元 $a$ が存在する」ことです。

つまり、下図のような場合、$f$ は写像ではありません。行き先が $B$ に入らない $A$ の元が存在するためです。

このことは、論理式を用いても確かめられます。すなわち、 （a.1.1）式の否定は、次のようになります。

つまり、「集合 $A$ の 任意の 元 $a$ に対して、対応する集合 $B$ の元 $b$ が存在しない」ということは、「どんな集合 $B$ の元 $b$ にも対応しない、集合 $A$ の元 $a$ が存在する」ことと同値です。

写像の例と反例（$\text{i}$）#

具体例を考えてみます。集合 $A, B$ をともに実数全体の集合 $\mathbb{R}$ とします。このとき、$f : x \mapsto \sqrt{x}$ という対応は $A$ から $B$ への写像でしょうか。

否です。例えば、$-1 \in A$ について考えると、これは確かに $A$（実数の集合）の元です。しかしながら、$f(-1) = \sqrt{-1 \vphantom{()}}$ は明らかに $B$（実数の集合）の元ではありません。すなわち、「どんな集合 $B$ の元 $b$ に対しても $f(-1) = b$ とならない集合 $A$ の元 $-1$ が存在する」ことになります。

したがって、このとき、$f$ は 写像の条件（$\text{i}$）を満たさないので、写像ではありません。

この例において、$f : x \mapsto \sqrt{x}$ が写像とならない要因は、集合 $A$ と $B$ の設定にあります。つまり、集合 $A$ を $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}_\gt$（正の実数全体の集合）に制限するか、$B$ を $\mathbb{R}$ から $\mathbb{C}$（複素数全体の集合）に拡張することで、$f$ は 写像の条件（$\text{i}$）を満たし、写像となります。

写像の条件（$\text{ii}$）一意性#

次に、写像であるための 条件（$\text{ii}$）は、「写像による行き先はただ $1$ つに定まる」ことを表しています。

これは、写像 $f$ による元の対応が一意的であることを要請するものです。また、これは、写像 $f$ による 像が一意に定まることを意味しています。

写像の条件（$\text{ii}$）の論理式#

このことを、論理式を用いて表すと、次のようになります。

これは、集合 $A$ の任意の $2$ つの元 $a_{1}$ と $a_{2}$ が等しければ、それぞれに対応する集合 $B$ の元（すなわち、$a_{1}$ と $a_{2}$ の 像）$f(a_{1})$ と $f(a_{2})$ も等しいことを表しています。

端的に言えば、「もとの元が同じであれば、写像による行き先も同じになる」といえます。

写像の条件（$\text{ii}$）の否定#

条件（$\text{i}$）の場合と同様に、 条件（$\text{ii}$） の否定を考えてみます。

条件（$\text{ii}$）は、「集合 $A$ の元 $a$ に対応する集合 $B$ の元 $b$ は ただ $1$ つ に定まる」を示していました。したがって、 条件（$\text{ii}$）の否定は、「集合 $A$ の元 $a$ に対応する集合 $B$ の元 $b$ は ただ $1$ つ に定まらない（$2$ つ以上存在する）」ことです。

つまり、下図のような場合、$f$ は写像ではありません。行き先が $2$ つある $A$ の元が存在するためです。

このことは、論理式を用いても確かめられます。すなわち、 （a.1.2）式の否定は、次のようになります。

つまり、「集合 $A$ の元 $a$ に対応する集合 $B$ の元 $b$ は ただ $1$ つ に定まらない（$2$ つ以上存在する）」ということは、「$a_{1} = a_{2}$ にもかかわらず $f(a_{1}) \neq f(a_{2})$ となる $a_{1}, a_{2} \in A$ が存在する」ことと同値です。

写像の例と反例（$\text{ii}$）#

具体例を考えてみます。集合 $X, Y$ をともに実数全体の集合 $\mathbb{R}$ として、$x \in X, y \in Y$ が $x = y^2$ 満たすとします。このとき、$f : x \mapsto y$ という対応は $A$ から $B$ への写像でしょうか。

否です。$f$ は、与えられた実数 $x$ に対して、$2$ 乗して $x$ になる $y$（つまり $x$ の平方根）を対応させます。しかしながら、例えば、$2$ の平方根は $\pm \sqrt{2}$ の $2$ つあります。すなわち、「$x = 2 \in X$ に対して $x = y^2$ を満たす $y \in Y$ は $y = \sqrt{2}, -\sqrt{2}$ の $2$ つ存在する」ことになります。

したがって、このとき、$f$ は 条件（$\text{ii}$）を満たさないので、写像ではありません。

写像の条件（$\text{ii}$）の論理式の別形#

写像であるための 条件（$\text{ii}$）は、次のように表すこともできます。

これは、明らかに （a.1.2）式の対偶です。つまり、集合 $A$ の任意の $2$ つの元 $a_{1}$ と $a_{2}$ に対応する集合 $B$ の元（すなわち、$a_{1}$ と $a_{2}$ の 像）$f(a_{1})$ と $f(a_{2})$ が異なるならば、$a_{1}$ と $a_{2}$ も異なることを表しています。

（a.1.2）式が「同じ元の行き先は同じになる」ことを表しているのに対して、 （a.1.2$^{\prime}$）式は「行き先の異なれば、もとの元も異なる」ことを表しています。

写像の条件の論理式の別形#

写像であるための $2$ つの条件を示す論理式は、まとめて次のように表すこともできます。

ここで、あまり見慣れない記号 $\exist!$ は、唯一存在量化（$\text{uniqueness}$ $\text{quantification}$）の記号です。すなわち、${}^{\exists!} x \; \; \text{s.t.} \; \cdots$ は、「$\cdots$ を満たす $x$ がただ $1$ つ存在する」という意味です。

（a.1.3）式は、これまでに示してきた写像であるための 条件（$\text{i}$）と （$\text{ii}$）の論理式 （a.1.1）式と （a.1.2）式を合わせたものであるといえます。

まとめ#

• 集合 $A$ の任意の元 $a$ に対して、$f(a) = b$ となる集合 $B$ の元 $b$ がただ $1$ つ定まるとき、$f$ を $A$ から $B$ への写像といい、$f : A \to B$ と表す。
• $f : A \to B$ が写像であることは、次の $2$ つの条件を満たすことと同値である。

参考文献

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