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正則行列（1）
正方行列のうち特に重要な正則行列を定義します。また、ある行列が正則である（逆行列をもつ）とき、逆行列が一意に定まることを示します。
定義
定義 2.9（正則行列）
$n$ 次の正方行列 $A$ に対して、$AB = BA = E$ となる行列 $B$ が存在するとき、$A$ を正則行列（$\text{regular /}$ $\text{invertible}$）という。また、このとき $B$ を $A$ の逆行列（$\text{inverse /}$ $\text{inverse matrix}$）といい $A^{-1}$ と表す。
要するに正則行列とは、逆行列を持つ行列のことです。正則行列は正方行列に対して定義されていることに留意しましょう。定義より明らかですが、$A$ が $n$ 次の正方行列であれば、その逆行列 $A^{-1}$ も $n$ 次の正方行列となります。また、もとの行列 $A$ に対して、逆行列 $A^{-1}$ は一意に定まります。このことは、命題として下に示します。逆行列が一意に定まることを定理として切り出さないのは、上の定理はある種一意性を前提としており、定義に含まれているためとも捉えられます。
正則行列は、連立一次方程式の解法の考察や固有値と固有ベクトルなど、線型代数学において重要な項目で現れます。この所以は、ある行列 $A$ にその逆行列 $A^{-1}$ を乗じれば単位行列に等しくなる（$A A^{-1} = A^{-1} A = E$）という演算の使い勝手の良さにあると考えられます。これまで、一般の行列に対して和や積が定義され、積に関する交換法則を除いて、和や積に関する結合法則などの重要な演算法則が成り立つことを見てきました。つまり、一般の行列は、実数や複素数などいわゆる通常の数と似た代数的構造を持つと考えられます。更に、正則行列に限って成り立つ $A A^{-1} = A^{-1} A = E$ という等式は、実数や複素数などにおいて割り算の根拠にもなる $ab = ba = 1$ に対応していると考えられます。すなわち、正則行列に対しては、実数や複素数などにおける割り算に類似した考え方がとれるということです。もちろん、あくまで割り算に相当する考え方であり、行列の商なるものを定義したわけではありません。
代数学の目線では、正則行列は行列の積により群であると表すことができます。すなわち、正則行列の集合において積が定義され、結合法則が成り立つとともに単位元（単位行列）と逆元（逆行列）が存在する、ということです。$n$ 次の正則行列全体の集合を一般線型群（$\text{general linear group}$）といい、$GL_{n} (K)$ などと表します。ここで $K$ は実数全体 $\mathbb{R}$ または複素数全体 $\mathbb{C}$ を意味しています。（記号 $K$ の用法については、行列の定義の項を参照ください。）
逆行列は一意に定まることの確認
定理 2.4（逆行列の一意性）
行列 $A$ が正則であれば、逆行列 $A^{-1}$ は一意に定まる。
証明
行列 $A$ に対して異なる2つの逆行列 $B, C$ が存在するとすると、$AB = BA = E, \; AC = CA = E$ であるから、
$$
\begin{align*}
B = BE = B (AC) = (BA) C = EC = C
\end{align*}
$$
証明の骨子
背理法により証明します。
- 逆行列が一意に定まらないと仮定します。
行列 $A$ に対して、以下を満たす逆行列 $B, C$ が存在すると仮定します。
$$ \begin{align*} \begin{array} {cl} (\text{i}) & B \neq C \\ (\text{ii}) & AB = BA = E \\ (\text{iii}) & AC = CA = E \\ \end{array} \end{align*} $$- （$\text{i}$）は、2つの逆行列 $B, C$ がそれぞれ異なることを仮定しています。
- $B, C$ はそれぞれ $A$ の逆行列なので、定義より（$\text{ii}$）と（$\text{iii}$）が成り立ちます。
- 仮定から矛盾を導きます。
$B, C$ は等しく、$A$ の逆行列は一意に定まることを導きます。
$$ \begin{align*} B \overset{(1)}{=} BE \overset{(2)}{=} B (AC) \overset{(3)}{=} (BA) C \overset{(4)}{=} EC \overset{(5)}{=} C \end{align*} $$- （$1$） は単位行列の定義によります。
- （$2$） は $C$ に関する仮定（$\text{iii}$）によります。
- （$3$） 行列の積に関する結合法則によります。
- （$4$） は $B$ に関する仮定（$\text{ii}$）によります。
- （$5$） は単位行列の定義によります。
よって $B = C$となりますが、これは、仮定 $B \neq C$ に矛盾します。
したがって、異なる2つの逆行列が存在するという仮定が否定され、題意が示されました。
行列の積に関する演算法則や逆行列の定義に従って、背理法により証明することができます。導出は割と素直です。
まとめ
- 正方行列 $A$ に対して、$AB = BA = E$ となる行列 $B$ が存在するとき、$A$ を正則行列という。$B$ を $A$ の逆行列といい $A^{-1}$ と表す。
- 行列 $A$ が正則であれば、逆行列 $A^{-1}$ は一意に定まる。
参考文献
[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
[3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010.
[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[6] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[7] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[8] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[9] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[10] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[11] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2005.
[12] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[13] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.
初版：2023-01-08 | 改訂：2024-09-02