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余因子
この節では、余因子を定義するとともに、行列式を展開して計算する方法を導きます。
余因子は、$n$ 次の正方行列に対して定義される値であり、行列式の展開に関する定理を導く上で重要な役割を果たします。
余因子の定義
定義 3.10（余因子）
$n$ 次の正方行列 $A$ において、第 $i$ 行と第 $j$ 列を除いて得られる $(n-1)$ 次の行列式を $A$ の第 $(i, j)$ 小行列式という。また、$A$ の第 $(i, j)$ 小行列式に $(-1)^{i + j}$ を掛けたものを $A$ の第 $(i, j)$ 余因子（$\text{cofactor}$）といい、$\tilde{a}_{ij}$ と表す。
$$
\begin{equation} \tag{3.6.1}
\tilde{a}_{ij} = (-1)^{i + j} \; \vert \, A_{ij} \, \vert
\end{equation}
$$
解説
余因子は正方行列に対して定義される（定義の前提）
余因子とは、正方行列に対して定義される値です。
上記 （3.6.1）式より、余因子は行列式の値に符号を掛けたものといえます。行列式は正方行列に対して定義されるものであるため、余因子も正方行列に対して定義されるものであることは明らかといえます。
小行列式とは
一般の小行列式（ $p$ 次の小行列式）
一般に、$(m, n)$ 型の行列 $A$ に対して、$A$ の $p$ 個の行と $p$ 個の列を任意に取り出して作られる $p$ 次の正方行列の行列式を $p$ 次の小行列式（$\text{minor /}$ $\text{minor determinant}$）といいます。ここで、（当然ながら）$1 \leqslant p \leqslant m$ かつ $1 \leqslant p \leqslant n$ が成り立ちます。
$p$ 個の行と $p$ 個の列の取り出し方は任意であるので、$A$ の小行列式はその組み合わせの数だけ存在します。すなわち、$(m, n)$ 型の行列 $A$ に対して、$A$ の小行列式は ${}_{m} \text{C}_{p} \cdot {}_{n} \text{C}_{p}$ 個あります。
つまり、一般的な小行列式は、任意の型の行列から、任意の行と列を抽出して作られる正方行列の行列式であるといえます。
小行列式と余因子（第 $(i, j)$ 小行列式）
これに対して、 余因子の定義に現れる小行列式は、特定の $1$ つの行と列を除いて作られる正方行列の行列式です。
すなわち、正方行列 $A$ の第 $(i, j)$ 小行列式は、$A$ の第 $i$ 行と第 $j$ 列を除いて得られる $A_{ij}$ の行列式です。
具体的には、次のような $n$ 次の正方行列 $A$ に対して、
$$
\begin{align*}
A = \begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & & \vdots & & \vdots \\
a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\
\vdots & & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
第 $i$ 行と第 $j$ 列を除いて、間を詰めることで、$(n-1)$ 次の正方行列が得られます。
$$
\begin{align*}
A_{ij} = \left( \; \begin{array} {ccc:ccc}
a_{11} & \cdots & a_{1 \, j-1} & a_{1 \, j+1} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i-1 \, 1} & \cdots & a_{i-1 \, j-1} & a_{i-1 \, j+1} & \cdots & a_{i-1 \, n} \\ \\
\hdashline \\
a_{i+1 \, 1} & \cdots & a_{i+1 \, j-1} & a_{i+1 \, j+1} & \cdots & a_{i+1 \, n} \\
\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{n \, j-1} & a_{n \, j+1} & \cdots & a_{nn}
\end{array} \; \right)
\end{align*}
$$
この $(n-1)$ 次正方行列 $A_{ij}$ の行列式の値こそ、$A$ の第 $(i, j)$ 小行列式に他なりません。
余因子とは
上記で得られた、$A$ の第 $(i, j)$ 小行列式 $A_{ij}$ に対して、符号 $(-1)^{i + j}$ を掛けることで、$A$ の第 $(i, j)$ 余因子 $\tilde{a}_{ij}$ が得られます。
小行列式に符号 $(-1)^{i + j}$ を掛けることは若干天下り的ではあります。この符号の意味は、 次項以降に示す、 行列式の展開の定理において理解されます。
すなわち、ある行列式を余因子の和の形に展開するにあたって、展開する前と後の値の整合性を保つ係数として、余因子の符号が必要となります。
余因子の計算例
具体的に与えられた行列に対して、余因子の計算例と具体的な計算手順を示します。
例題（$4$ 次正方行列の余因子）
次の $4$ 次の正方行列 $A$ の第 $(2, 2)$ 余因子 $\tilde{a}_{22}$ を求めよ。
$$
\begin{align*}
A = \begin{pmatrix}
3 & -2 & 5 & 1 \\
1 & 5 & 8 & -6 \\
-4 & 3 & 0 & -2 \\
2 & -5 & -4 & 2 \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
解答（計算手順）
まず、$A$ の第 $2$ 行と第 $2$ 列を除いて得られる、行列 $A_{22}$ を求めると、次の通り。
$$
\begin{align*}
A_{22} = \begin{pmatrix}
3 & 5 & 1 \\
-4 & 0 & -2 \\
2 & -4 & 2 \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
次に、$A_{22}$ の行列式の値に、符号 $(-1)^{2 +2j}$ を掛けることで、$A$ の第 $(2, 2)$ 余因子 $\tilde{a}_{22}$ を求めると、次の通り。
$$
\begin{split}
\tilde{a}_{22}
&= (-1)^{2 + 2} \; \vert \, A_{22} \, \vert \\
&= \begin{vmatrix}
\; 3 & 5 & 1 \; \\
\; -4 & 0 & -2 \; \\
\; 2 & -4 & 2 \; \\
\end{vmatrix} \\
&= ( -20 + 16 ) - ( -40 + 24 ) \\
&= 12 \\
\end{split}
$$
まとめ
- $n$ 次の正方行列 $A$ において、第 $i$ 行と第 $j$ 列を除いて得られる $(n-1)$ 次の行列式を $A$ の第 $(i, j)$ 小行列式という。
- $A$ の第 $(i, j)$ 小行列式に $(-1)^{i + j}$ を掛けたものを $A$ の第 $(i, j)$ 余因子といい、$\tilde{a}_{ij}$ と表す。$$ \begin{equation*} \tilde{a}_{ij} = (-1)^{i + j} \; \vert \, A_{ij} \, \vert \end{equation*} $$
参考文献
[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
[3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010.
[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008.
[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022.
[8] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.
初版：2022-12-18 | 改訂：2025-02-03