行列式の展開（2）

行列式の展開は、同じ行（または列）に沿った場合にしか成り立ちません。異なる行（または列）に沿った成分と余因子の積の和は $0$ に等しくなります。

これは、行列式の展開に関する重要な性質であり、前項の定理 3.19（行列式の展開 1）とまとめて表すことができます。

行列式の展開#

定理 3.20（行列式の展開 2）#

$n$ 次の正方行列 $A = (\, a_{ij} \, )$ とその第 $(i, j)$ 余因子 $\tilde{a}_{ij}$ について、次の（$\text{i}$）と（$\text{ii}$）が成り立つ。

解説#

異なる行（または列）に沿った行列式の展開#

定理 3.20（行列式の展開 2）は、異なる行（または列）に沿った行列式の展開が $0$ に等しいことを示しています。

前項の定理 3.19（行列式の展開 1）と同様に考えると、（3.6.4）式の（$\text{i}$）は行に関する展開を、（$\text{ii}$）は列に沿った展開を、それぞれ表しているとみなせます。

異なる行に関する行列式の展開#

（3.6.4）式の（$\text{i}$）は、$A$ の第 $i$ 行に沿った成分と、異なる行（第 $k$ 行）に沿った余因子の積の和が $0$ に等しいことを示しています。

（$\text{i}$）の左辺は、$A$ の $(i,j)$ 成分 $a_{ij}$ と第 $(k, j)$ 余因子 $\tilde{a}_{kj}$ との積の和です。次のように、和の記号を外して表すと、$A$ の第 $i$ 行に沿った $(i,j)$ 成分 $a_{ij}$ と、第 $k$ 行に沿った第 $(k, j)$ 余因子 $\tilde{a}_{kj}$ との積を足した和であることがわかります。

行列の成分と余因子の積の和である点は、前項の定理 3.19（行列式の展開 1）と同じです。しかしながら、成分の行（第 $i$ 行）と余因子の行（第 $k$ 行）が異なる点が異なります。すなわち、異なる行に沿った成分と余因子の積の和が $0$ に等しいということが（$\text{i}$）の主張に他なりません。

異なる列に関する行列式の展開#

（3.6.4）式の（$\text{ii}$）列に関する展開に関しても、同様のことが成り立つと考えられます。

すなわち、（$\text{ii}$）は、異なる列に沿った成分と余因子の積の和が $0$ に等しいということを表しています。

行列式の展開（まとめ）#

前項の定理 3.19（行列式の展開 1）と定理 3.20（行列式の展開 2）を合わせて、次のように表すことができます。

すなわち、行列式の展開は、同じ行（または列）に沿った場合にしか成り立たず、異なる行（または列）に沿った成分と余因子の積の和は $0$ に等しくなります。

ここで、$\delta_{ik}$ はクロネッカーのデルタ（$\text{Kronecker’s delta}$）であり、$i = k$（または $j=k$）ならば $1$ 、$i \neq k$（または $j \neq k$）ならば $0$ となります。

証明#

（$\text{i}$）$n$ 次の正方行列 $A = (\, a_{ij} \, )$ に対して、$A$ の第 $k$ 行を第 $i$ 行に置き換えた行列を $B$ とする。ここで、$i \neq k$ とする。

いま、$B$ の行列式を定理 3.19（行列式の展開 1）により、第 $k$ 行に関して展開すると、次のようになる。

一方で、行列式の交代性に関する系 3.11より、$2$ つの行が等しい行列式の値は $0$ に等しい。したがって、

（$\text{ii}$）（$\text{i}$）が成り立つことから、定理 3.13（転置行列の行列式）より、（$\text{ii}$）も同様に成り立つ。$\quad \square$

証明の考え方#

（$1$）定理 3.19（行列式の展開）を用いて、同じ行を持つ行列式を展開し、（$2$）行列式の交代性より、$2$ つの行が等しい行列式の値が $0$ に等しくなることを利用します。

（$\text{i}$）の証明#

• 行列式の行に関する展開について、（$\text{i}$）が成り立つことを示します。

（1）同じ行を持つ行列式の展開#

• $A = (\, a_{ij} \, )$ を元に、$2$ つの同じ行を持つ行列 $B$ を作ります。例えば、$i \neq k$ として、$A$ の第 $k$ 行を第 $i$ 行に置き換えた行列を $B$ とします。

  $$\begin{array} {cc} A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} , & B = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} \end{array}$$
  • 異なる行（第 $i$ 行と第 $k$ 行）に関するの行列式の展開 $\displaystyle \sum_{j}^{n} \; a_{ij} \, \tilde{a}_{kj}$ の形を作ります。
  • そのためには、$A$ の第 $i$ 行を第 $k$ 行の位置にコピーし、第 $k$ 行に沿って行列式を展開すれば良いことがわかります。
  • これにより、$B$ の第 $(k, j)$ 余因子は $\tilde{a}_{kj}$ としたまま、$B$ の $(k,j)$ 成分を $a_{ij}$ に置き換えることができます。

• 定理 3.19（行列式の展開 1）を用いて、$B$ の行列式を第 $k$ 行に関して展開すると、次のようになります。

  $$\begin{split} \vert \, B \, \vert &= a_{i1} \, \tilde{a}_{k1} + a_{i2} \, \tilde{a}_{k2} + \cdots + a_{in} \, \tilde{a}_{kn} \\ &= \sum_{j}^{n} \; a_{ij} \, \tilde{a}_{kj} \\ \end{split}$$

（2）行列式の交代性の利用#

• 一方で、$B$ は同じ行（第 $i$ 行と第 $k$ 行）を持つ行列であるので、行列式の交代性（特に、系 3.11）より、行列式の値は $0$ に等しくなります。

  $$\begin{align*} \vert \, B \, \vert = 0 \end{align*}$$

• したがって、次が成り立ちます。

  $$\begin{align*} \bigg( \; \vert \, B \, \vert = \bigg) \; \displaystyle \sum_{j}^{n} \; a_{ij} \, \tilde{a}_{kj} = 0 \end{align*}$$

• 以上から、異なる行に沿った行列式の展開に関する（$\text{i}$）が成り立つことが示されました。

（$\text{ii}$）の証明#

• 定理 3.13（転置行列の行列式）により、行列式に関して行について成り立つことは、列に関しても成り立ちます。
• いま、上記の通り、異なる行に沿った展開に関する（$\text{i}$）が成り立つため、異なる列に沿った展開に関する（$\text{ii}$）も同様に成り立つといえます。

まとめ#

• $n$ 次の正方行列 $A = (\, a_{ij} \, )$ とその第 $(i, j)$ 余因子 $\tilde{a}_{ij}$ について、次の（$\text{i}$）と（$\text{ii}$）が成り立つ。

  $$\begin{equation*} \left\lbrace \begin{array} {ccc} (\text{i}) & \displaystyle \sum_{j}^{n} \; a_{ij} \, \tilde{a}_{kj} = 0 & (i \neq k) \\ (\text{ii}) & \displaystyle \sum_{i}^{n} \; a_{ij} \, \tilde{a}_{ik} = 0 & (j \neq k) \\ \end{array} \right. \end{equation*}$$

• 行列式の展開は、同じ行（または列）に沿った場合にしか成り立たず、異なる行（または列）に沿った成分と余因子の積の和は $0$ に等しくなる。

参考文献#