ベクトル空間の定義

ベクトル空間は、和とスカラー倍の演算に関する $8$ つの公理を満たす集合として定義されます。これまでに扱ってきた、幾何ベクトル全体の集合や行列全体の集合などを一般化した概念といえます。

ベクトル空間は、線型代数学においてもっとも基本的かつ重要な概念です。

ベクトル空間の定義#

定義 4.1（ベクトル空間）#

空でない集合 $V$ に和とスカラー倍が定義されていて、次の条件を満たすとき、$V$ をベクトル空間（$\text{vector space}$）という。

（$\text{I}$）任意の $\bm{u}, \bm{v} \in V$ に対して和 $\bm{u} + \bm{v} \in V$ が存在し、次の法則を満たす。

（$\text{II}$）任意の $\bm{v} \in V$ とスカラー $c \in K$ に対してスカラー倍 $c \bm{v} \in V$ が存在し、次の法則を満たす。

解説#

用語（ベクトルとスカラー）#

ベクトル空間の要素をベクトルといい $\bm{v}$ のように太字で表します。

また、実数全体の集合または複素数全体の集合の要素をスカラーといいます。端的にいえば、スカラーとは、実数または複素数のことです。ここで、実数全体の集合 $\mathbb{R}$ または複素数全体の集合 $\mathbb{C}$ のいずれかを表す記号として $K$ を用いています。（記号 $K$ については、 行列の定義の項を参照）。

ベクトル空間の公理#

（$\text{i}$）$\sim$（$\text{viii}$）の条件は、集合 $V$ がベクトル空間であるために満たさなければならない条件です。これは、ベクトル空間に関する理論を展開する上での基本的な前提事項、すなわち公理といえます。つまり、以降の考察において導入される概念や定理は、すべて（$\text{i}$）$\sim$（$\text{viii}$）の条件に基づいて組み立てられます。

以下に、ベクトル空間の公理の各項目についてみていきます。

ベクトルの和に関する公理#

結合法則と交換法則#

まず、ベクトル空間 $V$ の元（ベクトル）の和について（$\text{i}$）結合法則と（$\text{ii}$）交換法則が成り立ちます。

零ベクトル#

（$\text{iii}$）は零ベクトルの存在を要請しています。すなわち、ベクトル空間 $V$ には、任意の $V$ の元 $\bm{v}$ に対して $\bm{v} + \bm{0} = \bm{0}$ となる特別な元 $\bm{0}$ が存在し、これを零ベクトルといいます。

逆ベクトル#

（$\text{iv}$）は逆ベクトルの存在を要請しています。ベクトル空間 $V$ において、任意の $V$ の元 $\bm{v}$ に対して $\bm{v} + -\bm{v} = \bm{0}$ となる元 $-\bm{v}$ が存在し、これを逆ベクトルといいます。

零ベクトル $\bm{0}$ や逆ベクトル $-\bm{v}$ を、いわゆる通常の数（例えば実数 $\mathbb{R}$）における $0$ や負の数とまったく同じものと考えてはなりません。たしかに、実数全体の集合 $\mathbb{R}$ はベクトル空間の $1$ つではありますが、ベクトル空間は実数全体の集合を含む抽象的な概念です。 下記の具体例にみるように、場合によって、零ベクトルや逆ベクトルは様々な形をとります。

ベクトルのスカラー倍に関する公理#

次に、ベクトルのスカラー倍に関する公理です。

（$\text{v}$）と（$\text{vi}$）は、ベクトルのスカラー倍の和が満たすべき条件を示しています。一般的な分配法則に形は似ていますが、若干異なるものである点に注意が必要です。一般に、同じ集合 $A$ の元 $a, b, c \in A$ について $(a + b) \, c = ac + bc$ が成り立つことを分配法則といいます。しかしながら（$\text{v}$）と（$\text{vi}$）において $c, d$ はスカラー、$\bm{a}, \bm{b}$ はベクトルであり、それぞれ別の集合の元です。

（$\text{vii}$）は $\bm{v}$ の $cd$ 倍が $d \bm{v}$ の $c$ 倍に等しいことを、（$\text{viii}$）は $\bm{v}$ の $1$ 倍が $\bm{v}$ そのものに等しいくなることを、それぞれ要請しています。

これらの公理は一見して自明な演算規則のように感じられます。しかしながら、実数の演算法則などと混同して、感覚的に用いると思わぬ落とし穴にはまってしまうので注意が必要です。特に、定理を証明する際などは、あくまで公理に即した導出を心がける必要があります。

ベクトル空間が公理的に定義されることの意味（一般化）#

ベクトル空間の公理的な定義#

ベクトル空間は公理的に定義されています。ベクトル空間は（$\text{i}$）$\sim$（$\text{viii}$）の条件（公理）を満たすような和とスカラー倍の演算が定義された集合です（ ベクトル空間の定義）。

したがって、ベクトル空間について考察する際、ベクトル空間の元（ベクトル）が（$\text{i}$）$\sim$（$\text{viii}$）を満たすことは前提であり、証明不要です。逆にいえば、（$\text{i}$）$\sim$（$\text{viii}$）の条件のうち $1$ つでも満たさないものがあれば、その集合はベクトル空間では無いということになります。

具体的に定義された集合#

これに対して、（具体的な集合としての）幾何ベクトルや行列は、幾何的まはた代数的な性質により定義されます。

例えば、幾何ベクトルは有向線分により定義されます（ 幾何ベクトルの定義）。ここで、（$\text{i}$）$\sim$（$\text{viii}$）に対応する演算規則は、あくまで定義から導かれる命題として（幾何的な性質を用いて）証明する必要があります（ 幾何ベクトルの和とスカラー倍の演算規則）。

行列の集合についても、同様のことがいえます（ 行列の定義、 行列の演算規則）。

一般化されたベクトルの集合#

このような意味で、ベクトル空間は、幾何ベクトル全体の集合や行列全体の集合などを一般化した概念といえます。

すなわち、幾何ベクトル全体の集合や行列全体の集合などにおいて、共通して成り立つ演算規則を抽出し、これを基本的前提として設定したものがベクトル空間です。したがって、ベクトル空間の公理に基づいて展開される論理は、当然、具体的な集合（行列など）においても成り立ちます。

ベクトル空間の $1$ つの元（ベクトル）は、$1$ つの幾何ベクトル、$1$ つの $n$ 項数ベクトル、$1$ つの行列、を一般化したものと捉えることができます。

ベクトル空間の例#

ベクトル空間の具体的な例をいくつか示します。

具体例#

（$1$）$\{ \bm{0} \}$：$\bm{0}$ のみからなる集合#

• もっとも簡単な例として、零ベクトル $\bm{0}$ のみからなる集合 $\{ \bm{0} \}$ はベクトル空間になります。
• ベクトルの和とスカラー倍はそれぞれ $\bm{0} + \bm{0} = \bm{0} , \; c \, \bm{0} = \bm{0} \; (c \in K)$ のように定義されます。
• 公理（$\text{iii}$）における零ベクトルは $\bm{0}$ に、公理（$\text{iv}$）における逆ベクトルは $-\bm{0} = \bm{0}$ に、それぞれ対応していると捉えることができます。

（$2$）$\mathbb{K}^{n}$：$n$ 項数ベクトル全体の集合#

• ベクトルの和とスカラー倍の演算によりベクトル空間となります。$K$ の元を成分としていることから、特に $K$ 上のベクトル空間と呼ばれることもあります。
• $n = 1$ の特別な場合として、実数全体の集合 $\mathbb{R}$ と複素数全体の集合 $\mathbb{C}$ を含みます。つまり、 $\mathbb{R}, \, \mathbb{C}$ もベクトル空間であるといえ、零ベクトルは $0$ に、逆ベクトルは負の数にそれぞれ対応しています。

（$3$）$M_{m,n} (K)$：$(m, n)$ 型の行列全体の集合#

• 行列に関する 和とスカラー倍の演算により、$K$ 上のベクトル空間となります。
• 零ベクトルは零行列 $O$ に対応します。$A \in M_{m,n} (K)$ の逆ベクトルは $-A = (-1) \, A$ であり、$A$ のすべての成分を $(-1)$ 倍にした行列になります。
• 逆ベクトルと逆行列は異なるものです。逆行列は行列の積に関する概念であり（ 正則行列の定義）、ベクトル空間としてみたときの逆ベクトルに対応していません。また、逆行列を持つ行列（正則行列）は正方行列（$M_{n} (K)$）に限られますので、一般の $(m, n)$ 型の行列に対して逆行列は考えることができません。

（$4$）$\{\, a_n \mid a_n \in \mathbb{R}, \; n = 1, 2, \cdots \,\}$：実数列全体の集合#

• 和とスカラー倍をそれぞれ $\{ a_n \} + \{ b_n \} = \{ a_n + b_n \} , \; c \, \{ a_n \} = \{ c \, a_n \}$ と定義することで、$\mathbb{R}$ 上のベクトル空間となります。
• 零ベクトルは $\{ 0 \}$（すべての項が $0$ である数列）であり、逆ベクトルは $- \{ a_n \} = \{ - a_n \}$ に対応します。

（$5$）ある区間 $I$ で定義された実数値連続関数全体の集合#

• この集合を仮に $V$ として、$f, g \in V , \, c \in \mathbb{R}$ について、和とスカラー倍をそれぞれ $(f + g) (x) = f(x) + g(x) , \; (c f) (x) = c f(x)$ と定義することで、$V$ は $\mathbb{R}$ 上のベクトル空間となります。
• 零ベクトルは区間 $I$ にわたって値が $0$ となるような関数、逆ベクトルは $-f(x) = (-1) \, f(x)$ にそれぞれ対応します。

その他の例#

ここに挙げた例以外にも、$n$ 次多項式全体の集合や連立一次方程式の解全体の集合、線型微分方程式の解全体の集合などがベクトル空間となります。

具体的なベクトル空間の例については、特に [1], [4]が詳しいです。

更なる一般化#

ベクトル空間という抽象的な概念を導入する意義は、このような多様な例に現れていると考えられます。つまり、まったく別の数学的対象を同じ代数的構造を持つベクトル空間として扱うことができるということです。

代数学において、ベクトル空間は環上の加群（$\text{module}$）として更に一般化されます。これは、簡単にいえば、加法（公理において定めるベクトルの和に対応する $2$ 項演算）により群であるような集合であると捉えることができます（ 群の定義を参照）。

まとめ#

• 空でない集合 $V$ に和とスカラー倍が定義されていて、次の（$\text{i}$）$\sim$（$\text{viii}$）の条件を満たすとき、$V$ をベクトル空間という。

  $$ \begin{equation*} \begin{alignat*} {2} & \, \, \, \, (\text{i}) & (\bm{u} + \bm{v}) + \bm{w} &= \bm{u} + (\bm{v} + \bm{w}) \\ & \, \, \, (\text{ii}) & \bm{u} + \bm{v} &= \bm{v} + \bm{u} \\ & \, \, (\text{iii}) & {}^{\exist} \bm{0} \in V \; \text{s.t.} \; {}^{\forall} \bm{v} & \in V, \; \bm{v} + \bm{0} = \bm{v} \\ & \, \, (\text{iv}) & \quad {}^{\forall} \bm{v} \in V , \; {}^{\exist} -\bm{v} \in V & \; \text{s.t.} \; \bm{v} + (-\bm{v}) = \bm{0} \\ & \, \, \, (\text{v}) & \qquad (c + d) \, \bm{v} &= c \bm{v} + d \bm{v} \\ & \, \, (\text{vi}) & c \, (\bm{u} + \bm{v}) &= c \bm{u} + c \bm{v} \\ & \, (\text{vii}) & (cd) \, \bm{v} &= c \, (d \bm{v}) \\ & (\text{viii}) & 1 \bm{v} &= \bm{v} \\ \end{alignat*} \end{equation*} $$

• ベクトル空間は、幾何ベクトル全体の集合、$n$ 項数ベクトル全体の集合 $\mathbb{K}^n$、$(m, n)$ 型の行列全体の集合 $M_{m,n} (K)$ などを一般化した概念。

参考文献

[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
[3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010.
[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008.
[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022.
[8] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.