線型写像の像と核（1）

線型写像 $f : V \to W$ の像とは、$f$ により、任意の $V$ の元が移る先の集合（$f$ による $V$ の 像）です。また、$f$ の核とは、$f$ により、$W$ の零ベクトル $\bm{0} \in W$ に移される元の集合（$W$ の零ベクトルの 逆像）です。

線型写像 $f$ の像と核は、それぞれ $W$ と $V$ の部分集合として定義されますが、それぞれ $W$ と $V$ の 部分空間でもあります。

像と核の定義#

まず、線型写像 $f : V \to W$ に対して、像（$\text{Im} f$）と核（$\text{Ker} f$）を定義します。

定義 4.4（線型写像の像と核）#

$V, W$ をベクトル空間、$f : V \to W$ を線型写像とする。$f(V) = \{\, f(\bm{v}) \mid \bm{v} \in V \,\}$ を $f$ の像（$\text{image}$）といい、$\text{Im} f$ と表す。また、$f^{-1} (\bm{0}) = \{\, \bm{v} \in V \mid f ( \bm{v} ) = \bm{0} \,\}$ を $f$ の核（$\text{kernel}$）といい、$\text{Ker} f$ と表す。

解説#

線形写像の像とは#

線型写像 $f : V \to W$ の像（$\text{Im} f$）とは、$f$ により定まる、次のような集合です。

定義域 $V$ の像#

線形写像 $f$ の像は、$f$ による $V$ の像に他なりません（ 像の定義を参照）。くだけた表現をとれば、$f$ の像とは $f$ により "$V$ から来る" 元の集合であるといえます。

値域 $W$ の部分集合#

また、$f$ の像は（$f$ の値域である）ベクトル空間 $W$ の部分集合です。$f$ が写像であることから、任意の $\bm{v} \in V$ に対して $f(\bm{v}) \in W$ となるためです。

更に、下記の 定理 4.11（線型写像の像と核）により、$f$ の像が $W$ の 部分空間でもあることが示されます。

一般の写像の像と線型写像の像の違い#

像は（線型写像に限らない）一般の写像に対して定義される概念です。写像の種類により定義の仕方は変わりませんが、用語に些細な違いがあります。

一般の写像の場合#

一般に、集合 $A$ から $B$ への写像を $f : A \to B$ として、$A$ の部分集合 $S \subset A$ に対して、$f(S) = \{ f(a) \mid a \in S \}$ を「 $f$ による $S$ の像」や「 $S$ の像」と呼びます（ 像の定義を参照）。

線形写像の場合#

線形写像の場合、ベクトル空間 $V$ から $W$ への線型写像 $f : A \to B$ $f$ に対して、$f(V) = \{ f(\bm{v}) \mid \bm{v} \in V \}$ を「 $f$ の像」と呼びます（上記の 定義を参照）。

ベクトル空間 $V$ は、$V$ 自身の部分集合でもあります。したがって、線型写像の場合も、一般の写像と同様にこれを「（部分集合）$V$ の像」と呼んでもおかしくありません。しかしながら、慣習的にこれを「（写像）$f$ の像」と表現するということです。このような表現は、線型代数の教科書でよく見られます。

線形写像の核とは#

線型写像 $f : V \to W$ の核（$\text{Ker} f$）とは、$f$ により定まる、次のような集合です。

$W$ の零ベクトルの逆像#

線形写像 $f$ の核は、$f$ による零ベクトル $\bm{0} \in W$ の逆像に他なりません（ 逆像の定義を参照）。くだけた表現をとれば、$f$ の核とは $f$ により "$W$ の零ベクトルに行く" 元の集合といえます。

定義域 $V$ の部分集合#

また、$f$ の核は（$f$ の定義域である）ベクトル空間 $V$ の部分集合です。これは、 定義より明らかといえます。

更に、下記の 定理 4.11（線型写像の像と核）により、$f$ の核が $V$ の 部分空間でもあることが示されます。

写像の逆像と線型写像の核の違い#

線形写像の核は、一般の写像における逆像の特別な場合です。核（$\text{kernel}$）という用語は、一般の写像において用いられません。

一般の写像の逆像#

一般に、集合 $A$ から $B$ への写像を $f : A \to B$ として、$B$ の部分集合 $T \subset B$ に対して、$f^{-1}(T) = \{ a \in A \mid f(a) \in T \}$ を「 $f$ による $T$ の逆像」や「 $T$ の逆像」と呼びます（ 逆像の定義を参照）。

線型写像の核は逆像の特別な場合#

線形写像 $f$ の核とは、ベクトル空間 $V$ から $W$ への線形写像 $f : V \to W$ において、$W$ の部分集合である $\{ \bm{0} \}$ の逆像（$\{ \bm{0} \}$ に移る $V$ の元の集合）に他なりません。

つまり、線形写像の核とは、写像の逆像の特別の場合（ $f^{-1}(T)$ において、$T = \{ \bm{0} \}$ とした場合）であるといえます。

表記について（核と逆像）#

一般的な集合の記法上、$f$ による $\{ \bm{0} \}$ の逆像は $f^{-1} (\{ \bm{0} \})$ と表記されるべきです。しかしながら、$\{ \bm{0} \}$ が $\bm{0}$ のみからなる集合であることから、慣習的に $f^{-1} (\bm{0})$ と簡略化して表記されることが多いです。このような表記は、代数学の教科書でもよく見られます。

用語について（核と逆像）#

核（$\text{kernel}$）という用語は、一般の写像において用いられません。写像により移る先の集合が零ベクトル $\bm{0}$ のような特別な元を持つとは限らないためです。

準同型写像の場合#

ただし、線型写像以外にも核の概念が導入される場合があります。例えば、群から群への準同型写像に対して核が定義されます。

すなわち、$G, G^{\prime}$ を群として、$f : G \to G^{\prime}$ を準同型写像、$e^{\prime} \in G^{\prime}$ を単位元としたとき、$f$ による $e^{\prime}$ の逆像 $f^{-1} (e^{\prime})$ は $f$ の核として定義されます。

線型写像と準同型写像#

代数学において、ベクトル空間が環上の加群として一般化される（ ベクトル空間の定義を参照）ように、線型写像は準同型写像として一般化されます。

準同型写像とは、簡単にいえば、群から群への写像であり $f(x + y) = f(x) + f(y)$ を満たすようなものです。 定義より、線型写像が準同型であることは明らかです（ 線型写像の定義を参照）。ここで、ベクトル空間における零ベクトルは、群における単位元に対応します。

像と核の基本的性質#

次に、線型写像 $f : V \to W$ の像と核が、それぞれ $W$ と $V$ の 部分空間であることを示します。

定理 4.11（線型写像の像と核）#

$V, W$ をベクトル空間、$f : V \to W$ を線型写像とすると、$\text{Im} f$ は $W$ の部分空間であり、$\text{Ker} f$ は $V$ の部分空間である。

証明#

定義より $\text{Im} f$ は $W$ の部分集合である。$\bm{w_1}, \bm{w_2} \in \text{Im} f$ とすると、$f(\bm{v_1}) = \bm{w_1}, f(\bm{v_2}) = \bm{w_2}$ となる $\bm{v_1}, \bm{v_2} \in V$ が存在する。いま、$f$ は線型写像であるから、$c, d \in K$ に対して $c \, \bm{w_1} + d \, \bm{w_2} = c \, f(\bm{v_1}) + d \, f(\bm{v_2}) = f(c \, \bm{v_1}+ d \, \bm{v_2})$ が成り立つ。また、$V$ はベクトル空間なので、$\bm{v_1}, \bm{v_2} \in V$ ならば $c \, \bm{v_1}+ d \, \bm{v_2} \in V$ である。よって、$f(c \, \bm{v_1}+ d \, \bm{v_2}) \in \text{Im} f$、すなわち $c \, \bm{w_1}+ d \, \bm{w_2} \in \text{Im} f$ となる。したがって、$\text{Im} f$ は $W$ の部分空間である。

定義より $\text{Ker} f$ は $V$ の部分集合である。$\bm{v_1}, \bm{v_2} \in \text{Ker} f$ とすると、$f(\bm{v_1}) = f(\bm{v_2}) = \bm{0}$ が成り立つ。いま、$V$ はベクトル空間なので、$c, d \in K$ に対して $c \, \bm{v_1}+ d \, \bm{v_2} \in V$ であり、$f$ は線型写像であるから、$f( c \, \bm{v_1} + d \, \bm{v_2} ) = c \, f(\bm{v_1}) + d \, f(\bm{v_2}) = c \, \bm{0}+ d \, \bm{0} = \bm{0}$ となる。よって、$c \, \bm{v_1}+ d \, \bm{v_2} \in \text{Ker} f$ となる。したがって、$\text{Ker} f$ は $V$ の部分空間である。$\quad \square$

証明の考え方#

像と核の定義から、$f$ の像と核が、それぞれ線型演算について閉じていること（ 部分空間の定義）を示します。具体的には、 系 4.6（部分空間の条件）を満たすことを示します。

$f$ の像が部分空間であることの証明#

• まず、$\text{Im} f$ が $W$ の部分空間であることを示します。

• 定義より直ちに、$\text{Im} f$ は $W$ の部分集合といえます。

• $\text{Im} f$ が線型演算について閉じていることを示します。これは、 系 4.6（部分空間の条件）より、$\bm{w_1}, \bm{w_2} \in \text{Im} f$ とおいて、$c, d \in K$ に対して $c \, \bm{w_1}+ d \, \bm{w_2} \in \text{Im} f$ を導くことで示すことができます。

  $$ \begin{split} c \, \bm{w_1} + d \, \bm{w_2} &\overset{(1)}{=} c \, f(\bm{v_1}) + d \, f(\bm{v_2}) \\ &\overset{(2)}{=} f(c \, \bm{v_1}+ d \, \bm{v_2}) \\ &\overset{(3)}{\in} \text{Im} f \end{split} $$
  • （$\text{1}$）仮定によります。
    • いま、$\bm{w_1}, \bm{w_2} \in \text{Im} f$ と置いているので、$f(\bm{v_1}) = \bm{w_1}, f(\bm{v_2}) = \bm{w_2}$ となる $\bm{v_1}, \bm{v_2} \in V$ が存在するはずです。
  • （$\text{2}$）$f$ が 線型写像であることから明らかといえます。
  • （$\text{3}$）$V$ が ベクトル空間であること、$\text{Im} f$ の 定義より成り立ちます。
    • $V$ は ベクトル空間なので、$\bm{v} = c \, \bm{v_1}+ d \, \bm{v_2}$ とすれば、$\bm{v} \in V$ となります。
    • また、$\text{Im} f = f(V) = \{\, f(\bm{v}) \mid \bm{v} \in V \,\}$ であるので、$\bm{v} \in V$ ならば $\bm{v} \in \text{Im} f$ となります。

• 以上から、$\bm{w_1}, \bm{w_2} \in \text{Im} f$ ならば $c \, \bm{w_1}+ d \, \bm{w_2} \in \text{Im} f$ であることが示されたので、 系 4.6（部分空間の条件）より、$\text{Im} f$ は $W$ の部分空間であるといえます。

$f$ の核が部分空間であることの証明#

• 次に、$\text{Ker} f$ が $V$ の部分空間であることを示します。

• 定義より直ちに、$\text{Ker} f$ は $V$ の部分集合といえます。

• $\text{Ker} f$ が線型演算について閉じていることを示します。これは、 系 4.6（部分空間の条件）より、$\bm{v_1}, \bm{v_2} \in \text{Ker} f$ とおいて、$c, d \in K$ に対して $c \, \bm{v_1}+ d \, \bm{v_2} \in \text{Ker} f$ を導くことで示せます。すなわち $f( c \, \bm{v_1}+ d \, \bm{v_2}) = \bm{0}$ が示せればよいというわけです。

  $$ \begin{split} f( c \, \bm{v_1} + d \, \bm{v_2} ) &\overset{(1)}{=} c \, f(\bm{v_1}) + d \, f(\bm{v_2}) \\ &\overset{(2)}{=} c \, \bm{0}+ d \, \bm{0} \\ &\overset{(3)}{=} \bm{0} \end{split} $$
  • 前提として、$V$ はベクトル空間であるので、$c \, \bm{v_1}+ d \, \bm{v_2} \in V$ が存在します。したがって、$f (c \, \bm{v_1}+ d \, \bm{v_2}) \in W$ が存在するといえます。
  • （$\text{1}$）$f$ が 線型写像であることから明らかです。
  • （$\text{2}$）仮定によります。
    • いま、$\bm{v_1}, \bm{v_2} \in \text{Ker} f$ と置いているので、$f(\bm{v_1}) = f(\bm{v_2}) = \bm{0}$ となります。
  • （$\text{3}$） ベクトル空間の公理と 演算規則により明らかといえます。

• 以上から $\bm{v} = c \, \bm{v_1}+ d \, \bm{v_2}$ ならば $f(\bm{v}) = \bm{0}$ であり、$\bm{v} \in \text{Ker} f$ であることが示されましたので、 系 4.6（部分空間の条件）より、$\text{Ker} f$ は $V$ の部分空間であるといえます。

まとめ#

• $V, W$ をベクトル空間、$f : V \to W$ を線型写像として、次のような部分集合を、それぞれ $f$ の像（$\text{Im} f$）、$f$ の核（$\text{Ker} f$）という。

  $$ \begin{alignat*} {3} \text{Im} f &=f(V) \\ &= \big\{\, f(\bm{v}) \mid \bm{v} \in V \, \big\} \, , \\ \\ \text{Ker} f &= f^{-1} (\bm{0}) \\ &= \big\{\, \bm{v} \in V \mid f ( \bm{v} ) = \bm{0} \, \big\} \\ \end{alignat*} $$

• $\text{Im} f$ は $W$ の部分空間であり、$\text{Ker} f$ は $V$ の部分空間である。

参考文献

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