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線型写像の像と核（1）

線型写像 f:V→Wf : V \to W の像（Imf\text{Im} f）と核（Kerf\text{Ker} f）を定義します。

線型写像 ff の像と核は、それぞれ WW と VV の部分集合として定義されますが、ともに部分空間でもあります。

線型写像の像と核

まず、線型写像 f:V→Wf : V \to W に対して、像（Imf\text{Im} f）と核（Kerf\text{Ker} f）を定義します。


定義 4.4（線型写像の像と核）

V,WV, W をベクトル空間、f:V→Wf : V \to W を線型写像とする。f(V)={ f(v)∣v∈V }f(V) = \{\, f(\bm{v}) \mid \bm{v} \in V \,\} を ff の像（image\text{image}）といい Imf\text{Im} f と表す。また、f−1(0)={ v∈V∣f(v)=0 }f^{-1} (\bm{0}) = \{\, \bm{v} \in V \mid f ( \bm{v} ) = \bm{0} \,\} を ff の核（kernel\text{kernel}）といい Kerf\text{Ker} f と表す。


解説

像と核は部分集合として定義される

線型写像 f:V→Wf : V \to W の像（Imf\text{Im} f）と核（Kerf\text{Ker} f）は集合として定義されます。

くだけた表現をとれば、ff の像（Imf\text{Im} f）とは ff により VV “から来る” 元の集合です。同様に、ff の核（Kerf\text{Ker} f）とは ff により 0∈W\bm{0} \in W “に行く” 元の集合といえます。

ff の像が WW の部分集合であり、ff の核が VV の部分集合であることは、写像の定義から明らかです。（ただし、下記の定理 4.11（線型写像の像と核）により、これらは部分空間でもあることが示されます。）

一般的な像の定義と線型写像における定義

ff の像は、線型写像に限らず、一般の写像に対して定義される概念です。一般の写像でも線型写像でも定義の仕方は変わりませんが、細かい用語の違いに注意が必要です。

一般に、写像 f:A→Bf : A \to B において、AA の部分集合 S⊂AS \subset A に対して f(S)={f(a)∣a∈S}f(S) = \{ f(a) \mid a \in S \} を「 ff による SS の像」、または単に「 SS の像」と呼ぶのが一般的です。

ベクトル空間 VV は VV 自身の部分集合でもあるので、線型写像の場合も、同様にこれを「（部分集合）VV の像」と呼んでもおかしくありません。しかしながら、慣習的にこれを「（写像）ff の像」と表現します。このような表現は線型代数の教科書でよく見られますが、細かい用語の違いに注意が必要です。

一般的な核の定義（逆像）と線型写像における定義

線型写像の核は逆像の特別な場合

ff の核は、一般の写像における逆像の特別な場合と捉えることができます。

すなわち、WW の部分集合である {0}\{ \bm{0} \} の逆像（{0}\{ \bm{0} \} に移る VV の元の集合）が ff の核であるといえます。

ここでも、一般的な集合の記法上、ff による {0}\{ \bm{0} \} の逆像は f−1({0})f^{-1} (\{ \bm{0} \}) と表記すべきですが、{0}\{ \bm{0} \} が 0\bm{0} のみからなる集合であることから、簡略化して f−1(0)f^{-1} (\bm{0}) と表記されることが多いです。このような簡略化した表記は、代数学の教科書でも割とよく見られます。

核という用語の適用範囲

核（kernel\text{kernel}）という用語は、一般の写像において用いられません。写像により移る先の集合が零ベクトル 0\bm{0} のような特別な元を持つとは限らないためです。

ただし、線型写像以外にも核の概念が導入される場合があります。例えば、代数学では、群から群への準同型写像に対して核が定義されます。すなわち、G,G′G, G^{\prime} を群、f:G→G′f : G \to G^{\prime} を準同型写像、e′∈G′e^{\prime} \in G^{\prime} を単位元としたとき、ff による e′e^{\prime} の逆像 f−1(e′)f^{-1} (e^{\prime}) は ff の核として定義されます。

線型写像と準同型写像の関係

ベクトル空間は環上の加群として一般化されます（ベクトル空間の定義を参照）が、この枠組みで見ると、線型写像は準同型写像の特別な場合といえます。

準同型写像とは、簡単にいえば、群から群への写像であり f(x+y)=f(x)+f(y)f(x + y) = f(x) + f(y) を満たすような写像ですが、線型写像は明らかにこれを満たします（線型写像の定義。また、ベクトル空間における零ベクトルは、群における単位元に対応します。このようにしてみると、ベクトル空間の線型写像は群の準同型写像の特別な場合として捉えることができます。


部分空間であることの確認

次に、線型写像 f:V→Wf : V \to W の像（Imf\text{Im} f）と核（Kerf\text{Ker} f）が、それぞれ WW と VV の部分空間であることを示します。


定理 4.11（線型写像の像と核）

V,WV, W をベクトル空間、f:V→Wf : V \to W を線型写像とすると、Imf\text{Im} f は WW の部分空間であり、Kerf\text{Ker} f は VV の部分空間である。


証明

定義より Imf\text{Im} f は WW の部分集合である。w1,w2∈Imf\bm{w_1}, \bm{w_2} \in \text{Im} f とすると、f(v1)=w1,f(v2)=w2f(\bm{v_1}) = \bm{w_1}, f(\bm{v_2}) = \bm{w_2} となる v1,v2∈V\bm{v_1}, \bm{v_2} \in V が存在する。いま、ff は線型写像であるから、c,d∈Kc, d \in K に対して c w1+d w2=c f(v1)+d f(v2)=f(c v1+d v2)c \, \bm{w_1} + d \, \bm{w_2} = c \, f(\bm{v_1}) + d \, f(\bm{v_2}) = f(c \, \bm{v_1}+ d \, \bm{v_2}) が成り立つ。また、VV はベクトル空間なので、v1,v2∈V\bm{v_1}, \bm{v_2} \in V ならば c v1+d v2∈Vc \, \bm{v_1}+ d \, \bm{v_2} \in V である。よって、f(c v1+d v2)∈Imff(c \, \bm{v_1}+ d \, \bm{v_2}) \in \text{Im} f、すなわち c w1+d w2∈Imfc \, \bm{w_1}+ d \, \bm{w_2} \in \text{Im} f となる。したがって、Imf\text{Im} f は WW の部分空間である。

定義より Kerf\text{Ker} f は VV の部分集合である。v1,v2∈Kerf\bm{v_1}, \bm{v_2} \in \text{Ker} f とすると、f(v1)=f(v2)=0f(\bm{v_1}) = f(\bm{v_2}) = \bm{0} が成り立つ。いま、VV はベクトル空間なので、c,d∈Kc, d \in K に対して c v1+d v2∈Vc \, \bm{v_1}+ d \, \bm{v_2} \in V であり、ff は線型写像であるから、f(c v1+d v2)=c f(v1)+d f(v2)=c 0+d 0=0f( c \, \bm{v_1} + d \, \bm{v_2} ) = c \, f(\bm{v_1}) + d \, f(\bm{v_2}) = c \, \bm{0}+ d \, \bm{0} = \bm{0} となる。よって、c v1+d v2∈Kerfc \, \bm{v_1}+ d \, \bm{v_2} \in \text{Ker} f となる。したがって、Kerf\text{Ker} f は VV の部分空間である。□\quad \square


証明の考え方

像と核の定義から、ff の像（Imf\text{Im} f）と核（Kerf\text{Ker} f）が、それぞれ「線型演算について閉じていること（部分空間の定義）」を示します。具体的には、系 4.6（部分空間の条件）を満たすことを示します。

ff の像が部分空間であることの証明

  • まず、Imf\text{Im} f が WW の部分空間であることを示します。

  • 定義より直ちに、Imf\text{Im} f は WW の部分集合といえます。

  • Imf\text{Im} f が線型演算について閉じていることを示します。これは、系 4.6（部分空間の条件）より、w1,w2∈Imf\bm{w_1}, \bm{w_2} \in \text{Im} f とおいて、c,d∈Kc, d \in K に対して c w1+d w2∈Imfc \, \bm{w_1}+ d \, \bm{w_2} \in \text{Im} f を導くことで示すことができます。

    c w1+d w2=(1)c f(v1)+d f(v2)=(2)f(c v1+d v2)∈(3)Imf \begin{split} c \, \bm{w_1} + d \, \bm{w_2} &\overset{(1)}{=} c \, f(\bm{v_1}) + d \, f(\bm{v_2}) \\ &\overset{(2)}{=} f(c \, \bm{v_1}+ d \, \bm{v_2}) \\ &\overset{(3)}{\in} \text{Im} f \end{split}

    • （1\text{1}）仮定によります。
      • いま、w1,w2∈Imf\bm{w_1}, \bm{w_2} \in \text{Im} f と置いているので、f(v1)=w1,f(v2)=w2f(\bm{v_1}) = \bm{w_1}, f(\bm{v_2}) = \bm{w_2} となる v1,v2∈V\bm{v_1}, \bm{v_2} \in V が存在するはずです。
    • （2\text{2}）ff が線型写像であることから明らかといえます。
    • （3\text{3}）VV がベクトル空間であること、Imf\text{Im} f の定義より成り立ちます。
      • VV はベクトル空間なので、v=c v1+d v2\bm{v} = c \, \bm{v_1}+ d \, \bm{v_2} とすれば、v∈V\bm{v} \in V となります。
      • また、Imf=f(V)={ f(v)∣v∈V }\text{Im} f = f(V) = \{\, f(\bm{v}) \mid \bm{v} \in V \,\} であるので、v∈V\bm{v} \in V ならば v∈Imf\bm{v} \in \text{Im} f となります。

  • 以上から、w1,w2∈Imf\bm{w_1}, \bm{w_2} \in \text{Im} f ならば c w1+d w2∈Imfc \, \bm{w_1}+ d \, \bm{w_2} \in \text{Im} f であることが示されたので、系 4.6（部分空間の条件）より、Imf\text{Im} f は WW の部分空間であるといえます。

ff の核が部分空間であることの証明

  • 次に、Kerf\text{Ker} f が VV の部分空間であることを示します。

  • 定義より直ちに、Kerf\text{Ker} f は VV の部分集合といえます。

  • Kerf\text{Ker} f が線型演算について閉じていることを示します。これは、系 4.6（部分空間の条件）より、v1,v2∈Kerf\bm{v_1}, \bm{v_2} \in \text{Ker} f とおいて、c,d∈Kc, d \in K に対して c v1+d v2∈Kerfc \, \bm{v_1}+ d \, \bm{v_2} \in \text{Ker} f を導くことで示せます。すなわち f(c v1+d v2)=0f( c \, \bm{v_1}+ d \, \bm{v_2}) = \bm{0} が示せればよいというわけです。

    f(c v1+d v2)=(1)c f(v1)+d f(v2)=(2)c 0+d 0=(3)0 \begin{split} f( c \, \bm{v_1} + d \, \bm{v_2} ) &\overset{(1)}{=} c \, f(\bm{v_1}) + d \, f(\bm{v_2}) \\ &\overset{(2)}{=} c \, \bm{0}+ d \, \bm{0} \\ &\overset{(3)}{=} \bm{0} \end{split}

    • 前提として、VV はベクトル空間であるので、c v1+d v2∈Vc \, \bm{v_1}+ d \, \bm{v_2} \in V が存在します。したがって、f(c v1+d v2)∈Wf (c \, \bm{v_1}+ d \, \bm{v_2}) \in W が存在するといえます。
    • （1\text{1}）ff が線型写像であることから明らかです。
    • （2\text{2}）仮定によります。
      • いま、v1,v2∈Kerf\bm{v_1}, \bm{v_2} \in \text{Ker} f と置いているので、f(v1)=f(v2)=0f(\bm{v_1}) = f(\bm{v_2}) = \bm{0} となります。
    • （3\text{3}）ベクトル空間の公理と演算規則により明らかといえます。

  • 以上から v=c v1+d v2\bm{v} = c \, \bm{v_1}+ d \, \bm{v_2} ならば f(v)=0f(\bm{v}) = \bm{0} であり、v∈Kerf\bm{v} \in \text{Ker} f であることが示されましたので、系 4.6（部分空間の条件）より、Kerf\text{Ker} f は VV の部分空間であるといえます。


まとめ

  • V,WV, W をベクトル空間、f:V→Wf : V \to W を線型写像として、ff の像（Imf\text{Im} f）とff の核（Kerf\text{Ker} f）を次のような部分集合と定義する。

       Imf:  f(V)={f(v)∣v∈V}Kerf:f−1(0)={v∈V∣f(v)=0} \begin{alignat*} {3} & \; \, \text{Im} f : & \quad \; f(V) &= \{ f(\bm{v}) \mid \bm{v} \in V \} \\ & \text{Ker} f : & f^{-1} (\bm{0}) &= \{ \bm{v} \in V \mid f ( \bm{v} ) = \bm{0} \} \\ \end{alignat*}

  • Imf\text{Im} f は WW の部分空間であり、Kerf\text{Ker} f は VV の部分空間である。


参考文献

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[9] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[10] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
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[13] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.

初版：2023-02-06   |   改訂：2024-12-09
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