基底と次元の準備（3）

次節にてベクトル空間の基底と次元を定義しますが、その準備として、線型従属なベクトルの組に関する一連の定理を示します。

ここでは、前項までの考察を踏まえて、あるベクトルの組が線型従属であるための条件に関する定理を示します。すなわち、より少ないベクトルの線型結合として表せるベクトルの組は線型従属となります。

この定理により、あるベクトルの組が生成する部分空間の線型独立なベクトルの数は生成元の数を超えないということが導けます。これは、ベクトル空間の基底の数（次元）が一意に定まることの根拠となる重要な定理です。

基底と次元の準備#

定理 4.25（線型従属なベクトルの組 $2$）#

$V$ をベクトル空間として $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} \in V$ とする。$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合として表せるとき、$n \gt m$ ならば $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は線型従属である。

いま $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ と $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は同じベクトル空間 $V$ の元であり、$n \gt m$ であるので、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ は $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ よりも個数の少ないベクトルの組といえます。そうすると、この定理は「より個数の少ないベクトルの組（$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$）の線型結合として表せるベクトルの組（$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$）は線型従属である」という趣旨と理解することができます。

また、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合として表せるということは「$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ が生成する（張る）部分空間の元である」といえます。定理 4.16（線型結合）により、ベクトル空間 $V$ の元である $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合全体は $V$ の部分空間となります。いま、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合で表せるので、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合全体に含まれます。したがって、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ が生成する部分空間の元であるといえるわけです。このことは、より簡潔に $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} \in \langle \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \rangle$ と表すことができます。

以上のことを合わせて考えるとこの定理の意義がよくわかります。すなわち、この定理は、$m$ 個のベクトル $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ が生成する部分空間において（$m$ より多い）$n$ 個のベクトル $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は線型従属になるということを意味しています。つまり、$m$ 個のベクトルが生成する部分空間の線型独立なベクトルの数は高々 $m$ 個であるということです。後に改めて定義しますが、ベクトル空間の基底とは、端的にいえば、ベクトル空間を生成する線型独立なベクトルの組のことです（基底の定義）。また、ベクトル空間の次元とは、そのベクトル空間の基底を成すベクトルの個数のことです（次元の定義）。したがって、この定理 4.25を用いることで、ベクトル空間の基底の数（次元）が一意に定まるということが示せるというわけです。

証明#

$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合で表せるので、$a_{ij} \in K \; (\, 1 \leqslant i \leqslant m, \, 1 \leqslant j \leqslant n \,)$ として、次のように表せる。

したがって、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型結合 $x_{1} \bm{w}_{1} + \cdots + x_{n} \bm{w}_{n}$ は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合 $y_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + y_{m} \bm{v}_{m}$ として表すことができ、次が成り立つ。

ここで、$1 \leqslant i \leqslant m$ に対して $y_{i} = \displaystyle \sum_{j}^{n} \; a_{ij} \, x_{j}$ が成り立つが、これは次の連立一次方程式（$\ast$）に等しい。

いま $n \gt m$ なので、（$\ast$）において $y_{1} = \cdots = y_{m} = 0$ として得られる斉次連立一次方程式は定理 4.23より自明でない解を持ち、これを ${x}^{\prime}_{1}, \cdots, {x}^{\prime}_{n}$ とする。また、逆に（$\ast$）において $x_{1} = {x}^{\prime}_{1}, \cdots, x_{n} = {x}^{\prime}_{n}$ とすれば、$y_{1} = \cdots = y_{m} = 0$ である。したがって、

証明の骨子#

$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型関係を $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合で表すことで、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ に自明でない線型関係が存在することを確かめます。証明にあたっては定理 4.23（斉次連立一次方程式の解）を用います。

• 定理の仮定を整理します。

  • 仮定より、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合で表すことができます。

  • すなわち、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は、$a_{ij} \in K \; (\, 1 \leqslant i \leqslant m, \, 1 \leqslant j \leqslant n \,)$ を係数として次のように表せます。

    $$ \begin{align*} \tag{i} \bm{w}_{j} = \displaystyle \sum_{i}^{m} \; a_{ij} \, \bm{v}_{i} \end{align*} $$
    
    

  • より明示的には、次が成り立ちます。

    $$ \begin{align*} \tag{i$^{\prime}$} \left\{ \; \begin{split} \bm{w}_{1} &= a_{11} \bm{v}_{1} + a_{21} \bm{v}_{2} + \cdots + a_{m1} \bm{v}_{m} \\ \bm{w}_{2} &= a_{12} \bm{v}_{1} + a_{22} \bm{v}_{2} + \cdots + a_{m2} \bm{v}_{m} \\ & \; \; \vdots \\ \bm{w}_{n} &= a_{1n} \bm{v}_{1} + a_{2n} \bm{v}_{2} + \cdots + a_{mn} \bm{v}_{m} \\ \end{split} \right. \end{align*} $$
    
    

  • 線型結合の行列表記を用いれば、次のように表すこともできます。

    $$ \begin{align*} \tag{i$^{\prime \prime}$} (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} \,) = (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,) \, A \end{align*} $$
    
    

    • ここで $A$ は $(m, n)$ 型行列であり、（$\text{i}$）や（$\text{i}^{\prime}$）の表し方とは添え字の順序が異なります。混同しないよう注意が必要です。

      $$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} $$
      
      

    • この表記法は、ベクトルの組 $(\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} \,), \; (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,)$ を、あたかもベクトルを成分とする行ベクトルのように扱うものです。行ベクトル $(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,)$ と $(m, n)$ 型行列 $A$ の積を考えれば、上の式が（$\text{i}$）と同じことを表していることがわかります。

• $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型関係を $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合で表します。

  • $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合で表すことができるので、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型結合 $x_{1} \bm{w}_{1} + \cdots + x_{n} \bm{w}_{n}$ は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合 $y_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + y_{m} \bm{v}_{m}$ として表すことができるはずです。

    $$ \begin{split} x_{1} \bm{w}_{1} + \cdots + x_{n} \bm{w}_{n} &= y_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + y_{m} \bm{v}_{m} \\ \\ \Leftrightarrow \; \displaystyle \sum_{j}^{n} \; x_{j} \, \bm{w}_{j} &= \displaystyle \sum_{i}^{m} \; y_{i} \, \bm{v}_{i} \end{split} $$
    
    

  • このとき、（$\text{i}$）式より次が成り立ちます。

    $$ \begin{split} \displaystyle \sum_{j}^{n} \; x_{j} \, \bm{w}_{j} &\overset{(1)}{=} \displaystyle \sum_{j}^{n} \; x_{j} \left( \displaystyle \sum_{i}^{m} \; a_{ij} \, \bm{v}_{i} \right) \\ &\overset{(2)}{=} \displaystyle \sum_{i}^{m} \left( \displaystyle \sum_{j}^{n} \; a_{ij} \, x_{j} \right) \bm{v}_{i} \\ &\overset{(3)}{=} \displaystyle \sum_{i}^{m} \; y_{i} \, \bm{v}_{i} \\ \end{split} $$
    
    

    • （$1$）は、（$\text{i}$）により $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ を $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合に置き換えています。

    • （$2$）は、和の順序の入れ替えです。いま、$i$ に関する和と $j$ に関する和は順序によらないので、入れ替えることができます。

    • （$3$）において、線型結合の係数 $x_{j}$ と $y_{i}$ の関係式が得られます。すなわち、$1 \leqslant i \leqslant m$ に対して $y_{i} = \displaystyle \sum_{j}^{n} \; a_{ij} \, x_{j}$ が成り立ちます。

      $$ \begin{align*} \tag{$\ast$} \left\{ \; \begin{split} y_{1} &= a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \cdots + a_{1n} x_{n} \\ y_{2} &= a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \cdots + a_{2n} x_{n} \\ & \; \; \vdots \\ y_{m} &= a_{m1} x_{1} + a_{m2} x_{2} + \cdots + a_{mn} x_{n} \\ \end{split} \right. \end{align*} $$
      
      
      • $\bm{x}$ を $n$ 項列ベクトル、$\bm{y}$ を $m$ 項列ベクトルとすれば、（$\ast$）は連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{y}$ として表すことができます。

    • 以上から、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型結合 $x_{1} \bm{w}_{1} + \cdots + x_{n} \bm{w}_{n}$ を $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合 $y_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + y_{m} \bm{v}_{m}$ として表したとき、線型結合の係数 $x_{j}$ と $y_{i}$ の間には（$\ast$）の関係が成り立つことがわかりました。

• 定理 4.23（斉次連立一次方程式の解）を用いて、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ に自明でない線型関係が存在することを確かめます。

  • （$\ast$）において $y_{1} = \cdots = y_{m} = 0$ とすれば、斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ が得られます。これを（${\ast}^{\prime}$）とします。

    $$ \begin{align*} \tag{${\ast}^{\prime}$} \left\{ \; \begin{array} {c} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \cdots + a_{1n} x_{n} = 0 \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \cdots + a_{2n} x_{n} = 0 \\ \vdots \\ a_{m1} x_{1} + a_{m2} x_{2} + \cdots + a_{mn} x_{n} = 0 \\ \end{array} \right. \end{align*} $$
    
    

  • いま、定理の仮定より $n \gt m$ なので、定理 4.23（斉次連立一次方程式の解）より（${\ast}^{\prime}$）は自明でない解を持ちます。この自明な解を ${x}^{\prime}_{1}, \cdots, {x}^{\prime}_{n}$ として、逆に（$\ast$）において $x_{1} = {x}^{\prime}_{1}, \cdots, x_{n} = {x}^{\prime}_{n}$ とすれば、$y_{1} = \cdots = y_{m} = 0$ となります。

  • したがって、次が成り立ちます。これは、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ に自明でない線型関係 ${x}^{\prime}_{1} \bm{w}_{1} + \cdots + {x}^{\prime}_{n} \bm{w}_{n} = \bm{0}$ が存在することを示す式に他なりません。

    $$ \displaystyle \sum_{j}^{n} \; {x}^{\prime}_{j} \, \bm{w}_{j} = \displaystyle \sum_{i}^{m} \; y_{i} \, \bm{v}_{i} = \displaystyle \sum_{i}^{m} \; 0 \, \bm{v}_{i} = \bm{0} $$
    
    

    • 線型結合の行列表記により（$\text{i}^{\prime \prime}$）を用いれば、次のように表すことができます。

      $$ \begin{align*} \begin{split} (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} \,) \, \bm{{x}^{\prime}} &\overset{(1)}{=} (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,) \, A \, \bm{{x}^{\prime}} \\ &\overset{(2)}{=} (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,) \, \bm{0} \\ &\overset{(3)}{=} \bm{0} \\ \end{split} \end{align*} $$

    • すなわち、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型結合は、行ベクトル $(\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} \,)$ と $n$ 項列ベクトル $\bm{{x}^{\prime}}$ の積で表され、（$\text{i}^{\prime \prime}$）により（$1$）が成り立ちます。$A \bm{{x}^{\prime}} = \bm{0}$ なので（$2$）が成り立ち、行ベクトル $(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,)$ と零ベクトルの積は零ベクトルになるから（$3$）が成り立ちます。

  • 以上から、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ には自明でない線型関係が存在し、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は線型従属であることが示されました。

まとめ#

• $V$ をベクトル空間として $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} \in V$ とする。$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合として表せるとき、$n \gt m$ ならば $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は線型従属である。
  

参考文献#