基底と次元の準備（3）

前項に続き、ベクトルの組が線型従属であるための条件を示します。すなわち、より少ないベクトルの線型結合として表せるベクトルの組は線型従属となります。

この定理は、ベクトル空間の基底の数（すなわち、次元）が一意に定まることの根拠となる、大変重要な定理です。

ベクトルの組が線型従属であるための条件#

定理 4.25（線型従属なベクトルの組 2）#

$V$ をベクトル空間として、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} \in V$ とする。$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合として表せるとき、$n \gt m$ ならば $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は線型従属である。

解説#

ベクトルの組が線型従属であるための条件（定理 4.25の意味）#

定理 4.25（線型従属なベクトルの組 2）において、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ と $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は同じベクトル空間 $V$ の元であり、$n \gt m$ であるので、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ は $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ よりも個数の少ないベクトルの組といえます。

このことから、 定理 4.25の主旨は、「より個数の少ないベクトルの組（$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$）の線型結合として表せるベクトルの組（$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$）は線型従属である」と理解することができます。

ベクトルの線型結合と生成する部分空間#

$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合として表せるということは、「$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ が生成する（張る）部分空間の元である」ことに他なりません。

ベクトル空間 $V$ の元 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合全体は $V$ の部分空間となります（ 定理 4.16（線型結合））。いま、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合で表せるので、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合全体に含まれます。したがって、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ が生成する部分空間の元であるといえます。このことを簡潔に表すと、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} \in \langle \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \rangle$ となります。

部分空間における制約（線型独立なベクトルの個数）#

以上のことを合わせて考えると、 定理 4.25（線型従属なベクトルの組 2）は、「$m$ 個のベクトル $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ が生成する部分空間において（$m$ より多い）$n$ 個のベクトル $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は線型従属になる」ことを意味していると理解できます。

つまり、「$m$ 個のベクトルが生成する部分空間の線型独立なベクトルの数は高々 $m$ 個である」ということです。

次元の一意性の根拠（定理 4.25 の意義）#

「$m$ 個のベクトルが生成する部分空間の線型独立なベクトルの数は高々 $m$ 個である」という視点は極めて重要であり、後にベクトル空間の次元が一意に定まることの根拠を与える重要な役割を果たします（ 定理 4.29（次元の一意性））。

後に改めて定義しますが、ベクトル空間の基底とは、ベクトル空間を生成する線型独立なベクトル（ 基底の定義）であり、ベクトル空間の次元とは、そのベクトル空間の基底を成すベクトルの個数（ 次元の定義）のことです。

定理 4.25により、ベクトル空間を生成する基底の個数（すなわち、次元）に上限（最大数）があることが導かれ、それにより、ベクトル空間の次元が一意に定まることが根拠づけられるということです。このような意味で、 定理 4.25は、ベクトル空間の基底と次元を定義するにあたって、非常に重要な定理であるといえます。

証明#

$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合で表せるので、$a_{ij} \in K \; (\, 1 \leqslant i \leqslant m, \, 1 \leqslant j \leqslant n \,)$ とすると、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は次のように表せる。

したがって、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型結合 $x_{1} \bm{w}_{1} + \cdots + x_{n} \bm{w}_{n}$ は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合として表すことができ、次が成り立つ。

ここで、$1 \leqslant i \leqslant m$ に対して $y_{i} = \displaystyle \sum_{j}^{n} \; a_{ij} \, x_{j}$ が成り立つが、これは次の連立一次方程式（$\ast$）に等しい。

いま $n \gt m$ なので、（$\ast$）式において $y_{1} = \cdots = y_{m} = 0$ として得られる斉次連立一次方程式は、 定理 4.23（斉次連立一次方程式が自明でない解を持つための条件）より、自明でない解を持ち、これを ${x}^{\prime}_{1}, \cdots, {x}^{\prime}_{n}$ とする。また、逆に（$\ast$）式において $x_{1} = {x}^{\prime}_{1}, \cdots, x_{n} = {x}^{\prime}_{n}$ とすれば、$y_{1} = \cdots = y_{m} = 0$ である。よって、次が成り立つ。

したがって、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ には自明でない線型関係が存在し、線型従属である。$\quad \square$

証明の考え方#

（$1$）$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型関係を $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合で表し、（$2$）$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ に自明でない線型関係が存在することを導きます。証明にあたって、 定理 4.23（斉次連立一次方程式が自明でない解を持つための条件）を用います。

前提事項の整理#

• 定理の仮定より、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合で表すことができます。

• すなわち、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は、$a_{ij} \in K \; (\, 1 \leqslant i \leqslant m, \, 1 \leqslant j \leqslant n \,)$ を係数として次のように表せます。

  $$ \begin{align*} \tag{i} \bm{w}_{j} = \displaystyle \sum_{i}^{m} \; a_{ij} \, \bm{v}_{i} \end{align*} $$

• これを連立一次方程式の形で表すと、次のようになります。

  $$ \begin{align*} \left\{ \; \, \begin{alignat*} {3} & \bm{w}_{1} &= a_{11} \bm{v}_{1} &+ a_{21} \bm{v}_{2} &+ \cdots &+ a_{m1} \bm{v}_{m} \\ & \bm{w}_{2} &= a_{12} \bm{v}_{1} &+ a_{22} \bm{v}_{2} &+ \cdots &+ a_{m2} \bm{v}_{m} \\ &&& \vdots && \\ & \bm{w}_{n} &= a_{1n} \bm{v}_{1} &+ a_{2n} \bm{v}_{2} &+ \cdots &+ a_{mn} \bm{v}_{m} \\ \end{alignat*} \right. \end{align*} \tag{i$^\prime$} $$

• また、 線型結合の行列表記を用いれば、次のように表すこともできます。

  $$ \begin{align*} \tag{i$^{\prime \prime}$} (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} \,) = (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,) \, A \end{align*} $$

  • ここで、$A$ は次のような $(m, n)$ 型行列です。

    $$ \begin{gather*} A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} \end{gather*} $$

  • この表記法は、ベクトルの組 $(\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} \,), \; (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,)$ を、あたかもベクトルを成分とする行ベクトルのように扱うものです。

  • （$\text{i}$）や（$\text{i}^{\prime}$）とは、添え字の並び順が（縦と横で）異なります。混同しないよう注意が必要です。

  • 行ベクトル $(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,)$ と $(m, n)$ 型行列 $A$ の積を考えれば、（$\text{i}^{\prime \prime}$）と（$\text{i}$）が同じであることがわかります。

（1）線型結合による表現#

• $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合で表すことができるので、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型結合 $x_{1} \bm{w}_{1} + \cdots + x_{n} \bm{w}_{n}$ は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合として、次のように表すことができるはずです。

  $$ \begin{alignat*} {2} && x_{1} \bm{w}_{1} + \cdots + x_{n} \bm{w}_{n} &= y_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + y_{m} \bm{v}_{m} \\ \\ & \Leftrightarrow & \displaystyle \sum_{j}^{n} \; x_{j} \, \bm{w}_{j} &= \displaystyle \sum_{i}^{m} \; y_{i} \, \bm{v}_{i} \end{alignat*} $$

• このとき、次が成り立ちます。

  $$ \begin{split} \displaystyle \sum_{j}^{n} \; x_{j} \, \bm{w}_{j} &\overset{(\text{i})}{=} \displaystyle \sum_{j}^{n} \; x_{j} \left( \displaystyle \sum_{i}^{m} \; a_{ij} \, \bm{v}_{i} \right) \\ &\overset{(\text{ii})}{=} \displaystyle \sum_{i}^{m} \left( \displaystyle \sum_{j}^{n} \; a_{ij} \, x_{j} \right) \bm{v}_{i} \\ &\overset{(\text{iii})}{=} \displaystyle \sum_{i}^{m} \; y_{i} \, \bm{v}_{i} \\ \end{split} $$

  • （$\text{i}$）$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ を $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合に置き換えています。

  • （$\text{ii}$）和の順序の入れ替えです。いま、$i$ に関する和と $j$ に関する和は順序によらないので、入れ替えることができます。このことは、次のように確かめることができます。

    $$ \begin{split} & \sum_{j}^{n} \; x_{j} \left( \sum_{i}^{m} \; a_{ij} \, \bm{v}_{i} \right) \\ &= \sum_{j}^{n} \; x_{j} \, \Big( a_{1j} \, \bm{v}_{1} + a_{2j} \, \bm{v}_{2} + \cdots + a_{mj} \, \bm{v}_{m} \Big) \\ &= \bigg( \sum_{j}^{n} x_{j} \bigg) \, a_{1j} \, \bm{v}_{1} + \bigg( \sum_{j}^{n} x_{j} \bigg) \, a_{2j} \, \bm{v}_{2} + \cdots + \bigg( \sum_{j}^{n} x_{j} \bigg) \, a_{mj} \, \bm{v}_{m} \\ &= \bigg( \sum_{j}^{n} a_{1j} x_{j} \bigg) \, \bm{v}_{1} + \bigg( \sum_{j}^{n} a_{2j} x_{j} \bigg) \, \bm{v}_{2} + \cdots + \bigg( \sum_{j}^{n} a_{mj} x_{j} \bigg) \, \bm{v}_{m} \\ &= \sum_{i}^{m} \left( \displaystyle \sum_{j}^{n} \; a_{ij} \, x_{j} \right) \bm{v}_{i} \\ \end{split} $$

  • （$\text{iii}$）$1 \leqslant i \leqslant m$ に対して $y_{i} = \displaystyle \sum_{j}^{n} \; a_{ij} \, x_{j}$ と置きます。

• 上式より、線型結合の係数 $x_{j}$ と $y_{i}$ について、次の関係式（$\ast$）が得られます。

  $$ \begin{align*} \left\{ \; \, \begin{alignat*} {3} & y_{1} &= a_{11} x_{1} &+ a_{12} x_{2} &+ \cdots &+ a_{1n} x_{n} \\ & y_{2} &= a_{21} x_{1} &+ a_{22} x_{2} &+ \cdots &+ a_{2n} x_{n} \\ &&& \vdots && \\ & y_{m} &= a_{m1} x_{1} &+ a_{m2} x_{2} &+ \cdots &+ a_{mn} x_{n} \\ \end{alignat*} \right. \end{align*} \tag{$\ast$} $$
  • $\bm{x}$ を $n$ 項列ベクトル、$\bm{y}$ を $m$ 項列ベクトルとすれば、（$\ast$）式は、連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{y}$ として表すことができます。

• 以上から、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型結合 $x_{1} \bm{w}_{1} + \cdots + x_{n} \bm{w}_{n}$ を $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合 $y_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + y_{m} \bm{v}_{m}$ として表すと、線型結合の係数 $x_{j}$ と $y_{i}$ の間には（$\ast$）式の関係が成り立つことがわかりました。

（2）自明でない線型関係の確認#

• 定理 4.23（斉次連立一次方程式が自明でない解を持つための条件）を用いて、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ に自明でない線型関係が存在することを導きます。

• 上記の （$\ast$）式において $y_{1} = \cdots = y_{m} = 0$ とすれば、次のような斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ が得られます。これを（${\ast}^{\prime}$）とします。

  $$ \begin{align*} \left\{ \; \, \begin{alignat*} {3} & a_{11} x_{1} &+ a_{12} x_{2} &+ \cdots &+ a_{1n} x_{n} &= 0 \\ & a_{21} x_{1} &+ a_{22} x_{2} &+ \cdots &+ a_{2n} x_{n} &= 0 \\ &&& \vdots && \\ & a_{m1} x_{1} &+ a_{m2} x_{2} &+ \cdots &+ a_{mn} x_{n} &= 0 \\ \end{alignat*} \right. \end{align*} \tag{${\ast}^{\prime}$} $$

• いま、定理の仮定より $n \gt m$ なので、 定理 4.23（斉次連立一次方程式が自明でない解を持つための条件）より、 （${\ast}^{\prime}$）式は自明でない解を持ちます。

• この自明な解を ${x}^{\prime}_{1}, \cdots, {x}^{\prime}_{n}$ として、逆に （$\ast$）式において $x_{1} = {x}^{\prime}_{1}, \cdots, x_{n} = {x}^{\prime}_{n}$ とすれば、$y_{1} = \cdots = y_{m} = 0$ となり、次が成り立ちます。

  $$ \begin{split} \displaystyle \sum_{j}^{n} \; {x}^{\prime}_{j} \, \bm{w}_{j} &= \displaystyle \sum_{i}^{m} \; y_{i} \, \bm{v}_{i} \\ &= \displaystyle \sum_{i}^{m} \; 0 \, \bm{v}_{i} \\ &= \bm{0} \\ \end{split} $$

  • このことは、 線型結合の行列表記を用いれば、次のように表すことができます（ 前提事項の整理を参照）。

    $$ \begin{align*} \begin{split} (\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} \,) \, \bm{{x}^{\prime}} &\overset{(\text{i})}{=} (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,) \, A \, \bm{{x}^{\prime}} \\ &\overset{(\text{ii})}{=} (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,) \, \bm{0} \\ &\overset{(\text{iii})}{=} \bm{0} \\ \end{split} \end{align*} $$

  • （$\text{i}$）$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ の線型結合は、行ベクトル $(\, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} \,)$ と $n$ 項列ベクトル $\bm{{x}^{\prime}}$ の積で表せます（ 前提事項の整理の（$\text{i}^{\prime \prime}$）を参照）。

  • （$\text{ii}$）いま、$A \bm{{x}^{\prime}} = \bm{0}$ が成り立ちます。

  • （$\text{iii}$）行ベクトル $(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m} \,)$ と零ベクトルの積は零ベクトルになります。

• これは、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ に自明でない線型関係 ${x}^{\prime}_{1} \bm{w}_{1} + \cdots + {x}^{\prime}_{n} \bm{w}_{n} = \bm{0}$ が存在することを示す式に他なりません。

• 以上から、$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ には自明でない線型関係が存在する、すなわち $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は線型従属であることが示されました。

まとめ#

• $V$ をベクトル空間として $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}, \bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n} \in V$ とする。$\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ が $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{m}$ の線型結合として表せるとき、$n \gt m$ ならば $\bm{w}_{1}, \cdots, \bm{w}_{n}$ は線型従属である。

参考文献

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[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
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