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基底の変換（2）
ベクトル空間における基底の変換と、それに伴う座標の変換を定式化します。
ベクトル空間の基底の間の関係を表す正則行列（ 前項を参照）を基底の変換を表す行列と捉えることで、ある基底により表される座標ベクトルを、別の基底による座標ベクトルに変換する式が得られます。
基底と座標の変換
定理 4.49（基底の変換）
$V$ をベクトル空間とし、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ と $\bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ を $V$ の $2$ つの基底とする。また、$P = (\, p_{ij} \,)$ を $n$ 次の正方行列として、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ と $\bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ の間に次の関係式が成り立つとする。
$$
\begin{align} \tag{4.6.4}
(\, \bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n} \,) = (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,) \, P
\end{align}
$$
このとき、任意の $\bm{v} \in V$ の $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ に関する座標ベクトル、$\bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ に関する座標ベクトルを、それぞれ
$$
\begin{array} {cc}
\bm{x} = \begin{pmatrix} \, x_1 \, \\ \vdots \\ \, x_n \, \end{pmatrix}, &
\bm{x}^{\prime} = \begin{pmatrix} \, x^{\prime}_1 \, \\ \vdots \\ \, x^{\prime}_n \, \end{pmatrix}
\end{array}
$$
とすると、次が成り立つ。
$$
\begin{align*} \tag{4.6.5}
\bm{x} = P \, \bm{x}^{\prime}
\end{align*}
$$
解説
基底の変換と座標の変換
定理 4.49（基底の変換）は、基底の変換に伴って座標がどのように変換されるかを表しています。
（4.6.4）式は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ から $\bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ への基底の変換を表す式であり、$P$ を基底変換行列といいます。
また、 （4.6.5）式は座標の変換を表す式であり、基底の変換に伴って、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ による座標と $\bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ による座標が満たすべき関係を表しています。
それぞれの式の意味について、以下に詳しくみていきます。
基底の変換
基底の間の関係と正則行列
定理 4.49（基底の変換）の前提として、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ と $\bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ はともに $V$ の基底です。したがって、 前項の 定理 4.48（基底の間の関係）より、$2$ つの基底の間の関係を表す正則行列 $P = (\, p_{ij} \,)$ が存在し （4.6.4）式が成り立ちます。
$$
\begin{align} \tag{4.6.4}
(\, \bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n} \,) = (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,) \, P
\end{align}
$$
（4.6.4）式は、$\bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ を $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型結合として表す式に他なりません。つまり、$V$ の $1$ つの基底（$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$）の線型結合により別のもう $1$ つの基底（$\bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$）を得る式であるといえます。このような意味で $P$ は基底変換行列と呼ばれます。
基底の変換の方向
基底の変換について考えるとき、変換の方向（何から何への変換であるか）は重要です。
上記の （4.6.4）式において、基底変換行列 $P$ は、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ から $\bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ への変換を表しています。
いま、 定理 4.48（基底の間の関係）により $P$ が正則であることがわかっていますので、$P$ は逆行列 $P^{-1}$ を持ちます。このようにして得られた $P^{-1}$ もまた基底変換行列であり、$\bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ から $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ への変換を表します。$\bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ から $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ への変換を表す式は、 （4.6.4）式に右から $P^{-1}$ を掛けることで得られます。
$$
\begin{align} \tag{4.6.4$^{\prime}$}
(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,) = (\, \bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n} \,) \, P^{-1}
\end{align}
$$
座標の変換
基底と座標ベクトル
定理 4.49（基底の変換）において、任意の $\bm{v} \in V$ は、$2$ つの基底（$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ と $\bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$）それぞれにより、$2$ 通りに表すことができます。
$$
\begin{split} \tag{$\ast$}
\bm{v}
&= x_{1} \bm{v}_{1} + x_{2} \bm{v}_{2} + \cdots + x_{n} \bm{v}_{n} \\
&= x^{\prime}_{1} \bm{v}^{\prime}_{1} + x^{\prime}_{2} \bm{v}^{\prime}_{2} + \cdots + x^{\prime}_{n} \bm{v}^{\prime}_{n}
\end{split}
$$
線型結合の行列表記を用いて、基底をなすベクトルをまとめて表すと、上式は次のようになります。
$$
\begin{align*}
x_{1} \bm{v}_{1} + \cdots + x_{n} \bm{v}_{n} = (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,) \begin{pmatrix} \, x_1 \, \\ \vdots \\ \, x_n \, \end{pmatrix} \\ \\
x^{\prime}_{1} \bm{v}^{\prime}_{1} + \cdots + x^{\prime}_{n} \bm{v}^{\prime}_{n} = (\, \bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n} \,) \begin{pmatrix} \, x^{\prime}_1 \, \\ \vdots \\ \, x^{\prime}_n \, \end{pmatrix}
\end{align*}
$$
すなわち、任意の $\bm{v} \in V$ は、基底をなすベクトルを成分とする行ベクトルと、線型結合の係数を成分とする列ベクトルの積として表すことができます。
この、線型結合の係数を成分とする列ベクトルを座標ベクトル（$\text{coordinate vector}$）といいます。基底 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ に関する座標ベクトルを $\bm{x}$、基底 $\bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ に関する座標ベクトルを $\bm{x}^{\prime}$ と置きます。
$$
\begin{array} {ccc}
\bm{x} = \begin{pmatrix} \, x_1 \, \\ \vdots \\ \, x_n \, \end{pmatrix}, &
\bm{x}^{\prime} = \begin{pmatrix} \, x^{\prime}_1 \, \\ \vdots \\ \, x^{\prime}_n \, \end{pmatrix}
\end{array}
$$
（$\ast$）式は、座標ベクトルを用いて、次のように表せます。
$$
\begin{split} \tag{$\ast^{\prime}$}
\bm{v} &= (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,) \, \bm{x} \\
&= (\, \bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n} \,) \, \bm{x}^{\prime}
\end{split}
$$
これは、ベクトル $\bm{v} \in V$ を、$2$ つの基底それぞれに対応する座標ベクトルより表したものに他なりません。
座標ベクトルの間の関係と正則行列
ベクトルが $2$ つの基底により（対応する座標ベクトルを用いて）表せるとき、これに基底の間の関係式を適用することで、$2$ つの座標ベクトルが満たすべき関係式が得られます。
すなわち、上記の （$\ast^{\prime}$）式に対して、基底の変換を表す （4.6.4）式を適用することで、座標の変換を表す式（ （4.6.5）式）が得られます。
$$
\begin{alignat*} {3}
&& (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,) \, \bm{x} &= (\, \bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n} \,) \, \bm{x}^{\prime} \\
& \overset{(\text{i})}{\iff} \; \; & (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,) \, \bm{x} &= (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,) \, P \bm{x}^{\prime} \\
& \overset{(\text{ii})}{\iff} & \bm{x} &= P \bm{x}^{\prime} \tag{4.6.5}
\end{alignat*}
$$
上記の同値変形において、（$\text{i}$）は基底の変換を表す （4.6.4）式、（$\text{ii}$）は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ が線型独立であることによります。
すなわち、ベクトル空間 $V$ の $2$ つの基底が （4.6.4）式を満たすとき、対応する座標ベクトルは （4.6.5）式を満たすことがわかります。
ベクトルと座標ベクトル
ベクトルと座標ベクトルの違い
$V$ の元であるベクトル $\bm{v}$ と座標ベクトル $\bm{x}, \, \bm{x}^{\prime}$ を混同しないように注意が必要です。
$\bm{v}$ は（当然ながら）ベクトル空間 $V$ の元であり、$V$ の基底 $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型結合として $\bm{v} = x_{1} \bm{v}_{1} + x_{2} \bm{v}_{2} + \cdots + x_{n} \bm{v}_{n}$ のように表すことができます。
一方で、座標ベクトル $\bm{x}, \, \bm{x}^{\prime}$ は $n$ 次元数ベクトル空間 $K^{n}$ の元です。すなわち、上記の $\bm{v} = x_{1} \bm{v}_{1} + x_{2} \bm{v}_{2} + \cdots + x_{n} \bm{v}_{n}$ において、線型結合の係数（$K$ の元）を $n$ 個並べた $n$ 項数ベクトルこそが座標ベクトルであるといえます。また、$\bm{x} \in K^{n}$ は、$K^{n}$ の標準基底 $\bm{e}_{1}, \cdots, \bm{e}_{n}$ を用いて、$\bm{x} = x_{1} \bm{e}_{1} + x_{2} \bm{e}_{2} + \cdots + x_{n} \bm{e}_{n}$ のように表すことができます。
ベクトルと座標ベクトルの対応
ベクトル $\bm{v}$ と 座標ベクトル $\bm{x}$ は、それぞれ異なるベクトル空間の元であるものの、同型写像により $1$ 対 $1$ に対応します。
上記の考察より、ベクトル $\bm{v}$ と 座標ベクトル $\bm{x}$ は、それぞれ、$n$ 次元ベクトル空間 $V$ と $n$ 次元数ベクトル空間 $K^{n}$ の元であるといえます。
一方で、いま、$n$ 次元ベクトル空間 $V$ と $n$ 次元数ベクトル空間 $K^{n}$ は同型である（すなわち、$V \simeq K^{n}$ である）ことがわかっています（ 定理 4.42（ベクトル空間と数ベクトル空間の同型））。したがって、$V$ と $K^{n}$ は代数構造的に同じであり、$\bm{v} \in V$ と $\bm{x} \in K^{n}$ は $1$ 対 $1$ に対応するといえます。
用語について（基底変換行列と座標ベクトル）
「基底変換行列」
基底と座標の変換に関する 定理 4.49（基底の変換）の重要性は揺るぎないものですが、「基底変換行列」という用語については拘る必要がないかもしれません。ここで、「基底変換行列」は [4] に倣った用語ですが、教科書により様々な用語がされています。また、固有の名称が与えられていない場合もあります。
「座標ベクトル」
同様に、「座標ベクトル」は、 [4], [6] において用いられていますが、 [3] では、対応する語として「成分ベクトル」が用いられています。
用語の選択について
「基底変換行列」や「座標ベクトル」は、 [15] の見出し語としても現れません。これらに対応する用語は、使用している教科書に合わせて適当なものを選ぶ必要があります。
証明
任意の $\bm{v} \in V$ は、座標ベクトル $\bm{x}, \, \bm{x}^{\prime}$ により次のように表せる。
$$
\begin{split}
\bm{v}
&= (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,) \begin{pmatrix} \, x_1 \, \\ \vdots \\ \, x_n \, \end{pmatrix} \\
&= (\, \bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n} \,) \begin{pmatrix} \, x^{\prime}_1 \, \\ \vdots \\ \, x^{\prime}_n \, \end{pmatrix}
\end{split}
$$
いま （4.6.4）式より、$(\, \bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n} \,) = (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,) \, P$ であるから、次が成り立つ。
$$
(\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,) \begin{pmatrix} \, x_1 \, \\ \vdots \\ \, x_n \, \end{pmatrix} = (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,) \, P \begin{pmatrix} \, x^{\prime}_1 \, \\ \vdots \\ \, x^{\prime}_n \, \end{pmatrix}
$$
ここで、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ は $V$ の基底であるから、 定理 4.28（基底であることと同値な条件）より、任意の $V$ の元は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型結合として一意に表せる。したがって、
$$
\begin{pmatrix} \, x_1 \, \\ \vdots \\ \, x_n \, \end{pmatrix} = P \begin{pmatrix} \, x^{\prime}_1 \, \\ \vdots \\ \, x^{\prime}_n \, \end{pmatrix}
$$
すなわち、$\bm{x} = P \, \bm{x}^{\prime}$ が成り立つ。$\quad \square$
証明の考え方
（$1$）$\bm{v} \in V$ を $2$ つ基底により $2$ 通りの座標で表し（$2$）基底の変換を表す （4.6.4）式を適用します。
（1）座標ベクトルの導入
まず、$\bm{v} \in V$ を $2$ つ基底を用いて、$2$ 通りの座標で表します。
任意の $\bm{v} \in V$ は、$2$ つの基底（$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ と $\bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$）それぞれの線型結合として、$2$ 通りに表すことができます。
$$ \begin{split} \bm{v} &= x_{1} \bm{v}_{1} + x_{2} \bm{v}_{2} + \cdots + x_{n} \bm{v}_{n} \\ &= x^{\prime}_{1} \bm{v}^{\prime}_{1} + x^{\prime}_{2} \bm{v}^{\prime}_{2} + \cdots + x^{\prime}_{n} \bm{v}^{\prime}_{n} \end{split} $$また、上式は、 線型結合の行列表記により、次のように表すことができます。
$$ \begin{split} \bm{v} &= (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,) \begin{pmatrix} \, x_1 \, \\ \vdots \\ \, x_n \, \end{pmatrix} \\ \\ &= (\, \bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n} \,) \begin{pmatrix} \, x^{\prime}_1 \, \\ \vdots \\ \, x^{\prime}_n \, \end{pmatrix} \end{split} $$
（2）基底の変換
すなわち、 （4.6.4）式より $(\, \bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n} \,) = (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,) \, P$ であることから、$\bm{v} \in V$ の $2$ つの座標に関して、次が成り立ちます。
$$ \begin{gather*} (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,) \begin{pmatrix} \, x_1 \, \\ \vdots \\ \, x_n \, \end{pmatrix} = (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,) \, P \begin{pmatrix} \, x^{\prime}_1 \, \\ \vdots \\ \, x^{\prime}_n \, \end{pmatrix} \end{gather*} $$上記の式において、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ は $V$ の基底であるから、 定理 4.28（基底であることと同値な条件）より、任意の $V$ の元は $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型結合として一意に表せるといえます。
したがって、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ の線型結合として表された両辺の係数はすべて等しく、次が成り立ちます。
$$ \begin{gather*} \begin{pmatrix} \, x_1 \, \\ \vdots \\ \, x_n \, \end{pmatrix} = P \begin{pmatrix} \, x^{\prime}_1 \, \\ \vdots \\ \, x^{\prime}_n \, \end{pmatrix} \end{gather*} $$以上から、$\bm{x} = P \, \bm{x}^{\prime}$ が成り立つことが示されました。
まとめ
$V$ をベクトル空間として、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ と $\bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ がともに $V$ の基底であるとすると、次の関係式を満たす正方行列 $P$ が存在する。これを、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ から $\bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ への基底変換行列という。
$$ \begin{align*} (\, \bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n} \,) = (\, \bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n} \,) \, P \end{align*} $$このとき、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{n}$ に関する座標ベクトルを $\bm{x}$、$\bm{v}^{\prime}_{1}, \cdots, \bm{v}^{\prime}_{n}$ に関する座標ベクトルを $\bm{x}^{\prime}$ とすれば、次が成り立つ。
$$ \bm{x} = P \, \bm{x}^{\prime} $$
参考文献
[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
[3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010.
[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008.
[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022.
[8] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.
初版：2023-04-07 | 改訂：2025-01-17
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