斉次連立一次方程式と階数

斉次連立一次方程式の解空間の次元（ 基本解の数）は、係数行列の階数と型により定まります。

すなわち、$A$ が $(m, n)$ 型の行列であり $A$ の階数が $r$ であるとすると、斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間の次元は $n - r$ に等しくなります。

斉次連立一次方程式と階数#

定理 4.58（斉次連立一次方程式の解空間の次元）#

$A$ を $(m, n)$ 型行列とする。$A$ の階数を $r$ とすれば、斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間の次元は $n - r$ に等しい。

解説#

解空間とは：解全体の集合#

$A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間とは、$A \bm{x} = \bm{0}$ の解全体からなる集合 $W = \{\, \bm{x} \in K^n \mid A \bm{x} = \bm{0} \,\}$ であり、$K^{n}$ の部分空間です（ 定理 4.8（斉次連立一次方程式の解空間））。

したがって、$A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間 $W$ の元は斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解であり、$\bm{x} \in W$ ならば $A \bm{x} = \bm{0}$ が成り立ちます。

解空間の次元について成り立つ式#

定理 4.58（斉次連立一次方程式の解空間の次元）において、係数行列 $A$ により定まる線型写像を $f_{A} : K^{n} \to K^{m}$ とすると、$A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間 $W$ とは $f_{A}$ の 核（$\text{Ker} f_{A}$）に他なりません。

このように考えると、 定理 4.58の主張は、次の式により表すことができます。

また、 階数の定義より $r = \text{rank} A = \dim \, (\text{Im} f_{A})$ であることから、 （4.7.2）式は、更に次のようになります。

これは、斉次連立一次方程式の解空間の次元について成り立つ関係式が、係数行列の定める線形写像により表現できることを示しています。

斉次連立一次方程式の解#

定理 4.58（斉次連立一次方程式の解空間の次元）は、斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の線型独立な解（基本解）が $(n - r)$ 個であることを表しています。

自明な解しか持たない場合#

定理 4.8（斉次連立一次方程式の解空間）で見たように、斉次連立一次方程式は、必ず自明な解を持ちます。どのような係数行列 $A$ に対しても $A \cdot \bm{0} = \bm{0}$ が成り立つことから、$A \bm{x} = \bm{0}$ は少なくとも $1$ つの解 $\bm{x} = \bm{0}$ を持ち、これを自明な解といいます。

いま、$A \bm{x} = \bm{0}$ が自明な解しか持たないとすると、明らかに $\text{Ker} f_{A} = \{ \bm{0} \}$ であり、 次元の定義より $\dim \, (\text{Ker} f_{A}) = 0$ となります。

自明でない解を持つ場合#

一方で、$\dim \, (\text{Ker} f_{A}) \gt 0$ である場合、$A \bm{x} = \bm{0}$ は自明でない解を持ち、解空間 $\text{Ker} f_{A}$ はこれら自明でない解を要素として含む集合（部分空間）になります。（当然ながら、この場合も、自明な解 $\bm{x} = \bm{0}$ は解空間に含まれます。）

このとき、 定理 4.58（斉次連立一次方程式の解空間の次元）は非常に重要な意味を持ちます。すなわち、$A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間の次元が $n - r$ に等しいということは、斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ は $(n - r)$ 個の線型独立な（自明でない）解 $\bm{x}_{1}, \bm{x}_{2}, \cdots, \bm{x}_{n-r}$ を持ち、$A \bm{x} = \bm{0}$ の任意の解は $\bm{x}_{1}, \bm{x}_{2}, \cdots, \bm{x}_{n-r}$ の線型結合として表すことができるということです。

ベクトル空間の観点からみれば、$A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間 $\text{Ker} f_{A}$ は $(n - r)$ 個のベクトル $\bm{x}_{1}, \bm{x}_{2}, \cdots, \bm{x}_{n-r}$ から成る基底を持ち、$\text{Ker} f_{A}$ の任意の元（つまり $A \bm{x} = \bm{0}$ の解）は $\bm{x}_{1}, \bm{x}_{2}, \cdots, \bm{x}_{n-r}$ の線型結合として表すことができるということを意味します。

基本解と一般解#

このような線型独立な解を 基本解（$\text{fundamental solution}$） といい、基本解の線型結合として表される解を 一般解（$\text{general solution}$） といいます。

以上から、 定理 4.58（斉次連立一次方程式の解空間の次元）は、斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ が $(n - r)$ 個の基本解（線型独立な解）を持つことを表しているといえます。

用語について（基本解）#

基本解という用語は、連立一次方程式に限って用いられるものではなく、微分方程式などにおいても用いられます。

線型代数の教科書においては [2], [3], [4] 等にみられますが、 [1], [6] ではこのような呼称は用いられていません。 [12] では、基本解に相当する用語として互いに独立な解（$\text{independent}$ $\text{solutions}$）が用いられています。しかしながら、いずれも [15] には見出し語として現れません。

証明#

$A$ により定まる線型写像を $f_{A} : K^{n} \to K^{m}$ とすると、 定理 4.37（線型写像の基本定理）より次が成り立つ。

$\dim K^{n} = n$ であり、$A$ の階数が $r$ であることから $\dim \, (\text{Im} f_{A}) = \text{rank} A = r$ であるので、

が成り立つ。したがって、$A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間の次元は $n - r$ に等しい。$\quad \square$

証明の考え方#

係数行列 $A$ により定まる線型写像に対して、 定理 4.37（線型写像の基本定理）を適用することで、直ちに示すことができます。

• いま、係数行列 $A$ は $(m, n)$ 型行列なので、$A$ により定まる線型写像は $f_{A} : K^{n} \to K^{m}$ です。

• $f_{A} : K^{n} \to K^{m}$ に対して 定理 4.37（線型写像の基本定理）を適用すると、次のようになります。

  $$ \begin{gather*} \dim K^{n} = \dim \, (\text{Ker} f_{A}) + \dim \, (\text{Im} f_{A}) \end{gather*} $$

• これは、 階数の定義などにより、次のように変形できます。

  $$ \begin{split} \dim \, (\text{Ker} f_{A}) &\overset{(1)}{=} \dim K^{n} - \dim \, (\text{Im} f_{A}) \\ &\overset{(2)}{=} n - \text{rank} A \\ &\overset{(3)}{=} n - r \\ \end{split} $$
  • （$1$） 定理 4.37（線型写像の基本定理）により得られた式を移項して、$\dim \, (\text{Ker} f_{A})$ が左辺にくるようにします。
  • （$2$）$\dim K^{n} = n$ です。また、 階数の定義より、$\dim \, (\text{Im} f_{A}) = \text{rank} A$ が成り立ちます。
  • （$3$）定理の仮定より、$A$ の階数を $r$ としていますので、$\text{rank} A = r$ となります。

• 以上から、$\dim \, (\text{Ker} f_{A}) = n - r$ が成り立つことが示されました。

まとめ#

• $A$ を $(m, n)$ 型行列とする。$A$ の階数を $r$ とすれば、斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間の次元は $n - r$ に等しい。
  $$ \begin{align*} \dim \, (\text{Ker} f_{A}) = n - r \\ \end{align*} $$

参考文献

[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
[3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010.
[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008.
[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022.
[8] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.