転置行列の階数

行列の階数は、行と列に関して対称的です。すなわち、行階数（線型独立な行ベクトルの最大数）は階数（線型独立な列ベクトルの最大数）に等しく、転置行列の階数はもとの行列の階数に等しくなります。

これらは、前項の定理 4.59（列階数と行階数）の系ともいうべき定理です。

行階数

まず、行列の階数（線型独立な列ベクトルの最大数）と線型独立な行ベクトルの最大数が等しくなることを示します。

定理 4.60（行階数）

$A$ を $(m, n)$ 型行列とする。$A$ の行ベクトルを $\bm{a}^{\prime}_{1}, \bm{a}^{\prime}_{2}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{m}$ とすると、$A$ の階数は $\bm{a}^{\prime}_{1}, \bm{a}^{\prime}_{2}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{m}$ のうち線型独立なベクトルの最大数に等しい。

解説

行階数は階数に等しい

定理 4.60（行階数）は、行列の行階数（線型独立な行ベクトルの最大数）が階数（線型独立な列ベクトルの最大数）に等しいことを示しています。

行階数とは：線型独立な行ベクトルの最大数

任意の行列 $A$ は、行ベクトルを用いて、次のように表すことができます（行列の表記）。

$$ \begin{align*} A = \begin{pmatrix} \, \bm{a}^{\prime}_{1} \, \\ \, \bm{a}^{\prime}_{2} \, \\ \, \vdots \, \\ \, \bm{a}^{\prime}_{m} \, \end{pmatrix} \end{align*} $$

ここで、$m$ 個の行ベクトル $\bm{a}^{\prime}_{1}, \bm{a}^{\prime}_{2}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{m}$ のうち線型独立であるものの最大数とは、前項で導入した行階数に他なりません。

より詳しくは、$A$ の行階数とは $A$ の行ベクトル $\bm{a}^{\prime}_{1}, \bm{a}^{\prime}_{2}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{m}$ が生成する部分空間の次元のことであり、これは $\bm{a}^{\prime}_{1}, \bm{a}^{\prime}_{2}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{m}$ のうち線型独立であるものの最大数に等しくなります。

行列の階数と行階数

我々は、既に定理 4.59（列階数と行階数）において、「$A$ の線型独立な列ベクトルの最大数と $A$ 線型独立な行ベクトルの最大数は等しい」ことを示しています。

また、定理 4.57（列階数）より、「$A$ 線型独立な行ベクトルの最大数（列階数）」は行列の階数に等しいこともわかっています。

このような意味で、定理 4.60（行階数）は、定理 4.59（列階数と行階数）から直ちに導ける系ともいえます。

証明（定理 4.60）

$A$ の線型独立な列ベクトルの最大数を $r$ とすれば、定理 4.57（列階数）より $A$ の階数は $r$ に等しい。また、$A$ の線型独立な行ベクトルの最大数を $s$ とすれば、定理 4.59（列階数と行階数）より $r$ と $s$ は等しい。したがって、$A$ の階数は $s$ に等しい。$\quad \square$

証明の考え方（定理4.60）

定理 4.57（列階数）および定理 4.59（列階数と行階数）により直ちに導くことができます。

$A$ の列階数を $r$、行階数を $s$ として $r = s$ を示します。
$A$ の列ベクトルを $\bm{a}_{1}, \bm{a}_{2}, \cdots, \bm{a}_{n}$、行ベクトルを $\bm{a}^{\prime}_{1}, \bm{a}^{\prime}_{2}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{m}$ とすると $A$ は次のように表すことができます。
$$ \begin{align*} A &= (\, \bm{a}_{1}, \bm{a}_{2}, \cdots, \bm{a}_{n} \,) \vphantom{\bigg(\bigg)} \\ &= \begin{pmatrix} \, \bm{a}^{\prime}_{1} \, \\ \, \bm{a}^{\prime}_{2} \, \\ \, \vdots \, \\ \, \bm{a}^{\prime}_{m} \, \end{pmatrix} \end{align*} $$
$A$ の線型独立な列ベクトルの最大数を $r$ とすれば、定理 4.57（列階数）より $A$ の階数は $r$ に等しくなります。すなわち $\text{rank} \, A = r$ が成り立ちます。
$A$ の線型独立な行ベクトルの最大数を $s$ とすれば、定理 4.59（列階数と行階数）より $r$ と $s$ は等しく、$r = s$ が成り立ちます。
したがって、$\text{rank} \, A = r = s$ となり、$A$ の階数は $A$ の線型独立な行ベクトルの最大数に等しいことが示されました。