転置行列の階数

行列の階数が線型独立な行ベクトルの最大数に等しく、また、転置行列の階数がもとの行列の階数に等しくなります。

これらは、階数が行と列に関して対称的であることから導かれる性質であり、前項の定理 4.59（列階数と行階数）の系ともいうべき定理です。

階数の基本的性質#

定理 4.60（行階数）#

$A$ を $(m, n)$ 型行列とする。$A$ の行ベクトルを $\bm{a}^{\prime}_{1}, \bm{a}^{\prime}_{2}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{m}$ とすると、$A$ の階数は $\bm{a}^{\prime}_{1}, \bm{a}^{\prime}_{2}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{m}$ のうち線型独立なベクトルの最大数に等しい。

行列 $A$ は行ベクトルを用いて次のように表すことができます（行列の定義）。このとき、$m$ 個の行ベクトル $\bm{a}^{\prime}_{1}, \bm{a}^{\prime}_{2}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{m}$ のうち線型独立であるものの最大個数が、行列 $A$ の階数に等しくなります。

定理 4.60（行階数）は、前項で導入した行階数の概念を用いることでより簡潔に表すことができます。すなわち、行列 $A$ の行ベクトル $\bm{a}^{\prime}_{1}, \bm{a}^{\prime}_{2}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{m}$ が生成する $K^{n}$ の部分空間の次元を行階数とすれば、定理 4.60（行階数）は「行列 $A$ の階数は $A$ の行階数に等しい」と表すことができます。

証明 4.57#

$A$ の線型独立な列ベクトルの最大数を $r$ とすれば、定理 4.57（列階数）より $A$ の階数は $r$ に等しい。また、$A$ の線型独立な行ベクトルの最大数を $s$ とすれば、定理 4.69（列階数と行階数）より $r$ と $s$ は等しい。したがって、$A$ の階数は $s$ に等しい。$\quad \square$

証明の骨子 4.57#

定理 4.57（列階数）および定理 4.69（列階数と行階数）により直ちに導くことができます。

• $A$ の列階数を $r$、行階数を $s$ として $r = s$ を示します。

  • $A$ の列ベクトルを $\bm{a}_{1}, \bm{a}_{2}, \cdots, \bm{a}_{n}$、行ベクトルを $\bm{a}^{\prime}_{1}, \bm{a}^{\prime}_{2}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{m}$ とすると $A$ は次のように表すことができます。

    $$ A = (\, \bm{a}_{1}, \bm{a}_{2}, \cdots, \bm{a}_{n} \,) = \begin{pmatrix} \, \bm{a}^{\prime}_{1} \, \\ \, \bm{a}^{\prime}_{2} \, \\ \, \vdots \, \\ \, \bm{a}^{\prime}_{m} \, \end{pmatrix} $$
    
    

  • $A$ の線型独立な列ベクトルの最大数を $r$ とすれば、定理 4.57（列階数）より $A$ の階数は $r$ に等しくなります。すなわち $\text{rank} \, A = r$ が成り立ちます。

  • $A$ の線型独立な行ベクトルの最大数を $s$ とすれば、定理 4.69（列階数と行階数）より $r$ と $s$ は等しく、$r = s$ が成り立ちます。

  • したがって、$\text{rank} \, A = r = s$ となり、$A$ の階数は $A$ の線型独立な行ベクトルの最大数に等しいことが示されました。

定理 4.61（転置行列の階数）#

$A$ を $(m, n)$ 型行列とする。$A$ の転置行列の階数は $A$ の階数に等しい。

転置行列 ${}^{t} A$ の階数はもとの行列 $A$ の階数に等しくなります。これも、前項の定理 4.69（列階数と行階数）より、行列の階数が行と列に関して対称的であることから直ちに導くことができます。

証明 4.58#

$A$ の線型独立な列ベクトルの最大数を $r$ とすれば、定理 4.57（列階数）より $A$ の階数は $r$ に等しい。また、定理 4.69（列階数と行階数）より $A$ の線型独立な行ベクトルの最大数は線型独立な列ベクトルの最大数に等しく $r$ となる。ここで、$A$ の転置行列 ${}^{t} A$ の列ベクトルは $A$ の行ベクトルに等しいから、 ${}^{t} A$ の階数は $A$ の階数に等しく $r$ となる。$\quad \square$

証明の骨子 4.58#

定理 4.57（列階数）および定理 4.69（列階数と行階数）により直ちに導くことができます。

• $A$ の階数を $r$ として、$\text{rank} \, {}^{t} A = \text{rank} \, A = r$ となることを示します。

  • $A$ の列ベクトルを $\bm{a}_{1}, \bm{a}_{2}, \cdots, \bm{a}_{n}$、行ベクトルを $\bm{a}^{\prime}_{1}, \bm{a}^{\prime}_{2}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{m}$ とすると $A$ は次のように表すことができます。

    $$ A = (\, \bm{a}_{1}, \bm{a}_{2}, \cdots, \bm{a}_{n} \,) = \begin{pmatrix} \, \bm{a}^{\prime}_{1} \, \\ \, \bm{a}^{\prime}_{2} \, \\ \, \vdots \, \\ \, \bm{a}^{\prime}_{m} \, \end{pmatrix} $$
    
    
    • $A$ の線型独立な列ベクトルの最大数を $r$ とすれば、定理 4.57（列階数）より $A$ の階数は $r$ に等しくなります。すなわち $\text{rank} \, A = r$ が成り立ちます。
    • 定理 4.69（列階数と行階数）より、$A$ の線型独立な行ベクトルの最大数は線型独立な列ベクトルの最大数に等しく $r$ となります。（このことは、定理 4.60（行階数）から導くこともできます。）

  • 転置行列の定義より、${}^{t} A$ の列ベクトルは $A$ の行ベクトルに、${}^{t} A$ の行ベクトルは $A$ の列ベクトルにそれぞれ等しいので、${}^{t} A$ は次のように表すことができます。

    $$ {}^{t} A = (\, \bm{a}^{\prime}_{1}, \bm{a}^{\prime}_{2}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{m} \,) = \begin{pmatrix} \, \bm{a}_{1} \, \\ \, \bm{a}_{2} \, \\ \, \vdots \, \\ \, \bm{a}_{n} \, \end{pmatrix} $$
    
    
    • 再び定理 4.57（列階数）より ${}^{t} A$ の階数は ${}^{t} A$ の線型独立な列ベクトルの最大数、すなわち $A$ の線型独立な行ベクトルの最大数に等しく、$\text{rank} \, {}^{t} A = r$ が成り立ちます。

  • 以上から、$\text{rank} \, {}^{t} A = \text{rank} \, A$ となり、${}^{t} A$ の階数が $A$ の階数に等しいことが示されました。

まとめ#

• $A$ を $(m, n)$ 型行列として、$A$ の行ベクトルを $\bm{a}^{\prime}_{1}, \bm{a}^{\prime}_{2}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{m}$ とすると、$A$ の階数は $\bm{a}^{\prime}_{1}, \bm{a}^{\prime}_{2}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{m}$ のうち線型独立なベクトルの最大数に等しい。
  
• $A$ の転置行列の階数は $A$ の階数に等しい。
  
  $$ \begin{equation*} \text{rank} \, {}^{t} A = \text{rank} \, A \end{equation*} $$
  
  

参考文献#