転置行列の階数 目次 行列の階数が行と列に関して対称的であることを示します。すなわち、行列の階数（線型独立な列ベクトルの最大数）と線型独立な行ベクトルの最大数は等しく、転置行列の階数はもとの行列の階数に等しくなります。
これらは、前項の定理 4.59（列階数と行階数） の系ともいうべき定理です。
階数の基本的性質（行階数）# まず、行列の階数と線型独立な行ベクトルの最大数が等しくなることを示します。
定理 4.60（行階数）# A A A ( m , n ) (m, n) ( m , n ) A A A a 1 ′ , a 2 ′ , ⋯ , a m ′ \bm{a}^{\prime}_{1}, \bm{a}^{\prime}_{2}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{m} a 1 ′ , a 2 ′ , ⋯ , a m ′ A A A a 1 ′ , a 2 ′ , ⋯ , a m ′ \bm{a}^{\prime}_{1}, \bm{a}^{\prime}_{2}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{m} a 1 ′ , a 2 ′ , ⋯ , a m ′
行階数と階数は等しい# 行列 A A A 行列の表記 ）。
A = ( a 1 ′ a 2 ′ ⋮ a m ′ )
A = \begin{pmatrix}
\, \bm{a}^{\prime}_{1} \, \\ \, \bm{a}^{\prime}_{2} \, \\ \, \vdots \, \\ \, \bm{a}^{\prime}_{m} \,
\end{pmatrix}
A = a 1 ′ a 2 ′ ⋮ a m ′
ここで、m m m a 1 ′ , a 2 ′ , ⋯ , a m ′ \bm{a}^{\prime}_{1}, \bm{a}^{\prime}_{2}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{m} a 1 ′ , a 2 ′ , ⋯ , a m ′ 行階数 に他なりません。（より詳しくいえば、A A A A A A a 1 ′ , a 2 ′ , ⋯ , a m ′ \bm{a}^{\prime}_{1}, \bm{a}^{\prime}_{2}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{m} a 1 ′ , a 2 ′ , ⋯ , a m ′ K n K^{n} K n
このように考えると、定理 4.60（行階数） の主張は「行列 A A A A A A
定理 4.59（列階数と行階数）の系# 我々は、既に定理 4.59（列階数と行階数） において、「A A A A A A
また、定理 4.57（列階数） より、「A A A
このような意味で、定理 4.60（行階数） は、定理 4.59（列階数と行階数） から直ちに導ける系ともいえます。
証明（定理 4.60）# A A A r r r 定理 4.57（列階数） より A A A r r r A A A s s s 定理 4.59（列階数と行階数） より r r r s s s A A A s s s □ \quad \square □
証明の考え方（定理4.60）# 定理 4.57（列階数） および定理 4.59（列階数と行階数） により直ちに導くことができます。
A A A r r r s s s r = s r = s r = s A A A a 1 , a 2 , ⋯ , a n \bm{a}_{1}, \bm{a}_{2}, \cdots, \bm{a}_{n} a 1 , a 2 , ⋯ , a n a 1 ′ , a 2 ′ , ⋯ , a m ′ \bm{a}^{\prime}_{1}, \bm{a}^{\prime}_{2}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{m} a 1 ′ , a 2 ′ , ⋯ , a m ′ A A A
A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) = ( a 1 ′ a 2 ′ ⋮ a m ′ )
A
= (\, \bm{a}_{1}, \bm{a}_{2}, \cdots, \bm{a}_{n} \,)
= \begin{pmatrix}
\, \bm{a}^{\prime}_{1} \, \\ \, \bm{a}^{\prime}_{2} \, \\ \, \vdots \, \\ \, \bm{a}^{\prime}_{m} \,
\end{pmatrix}
A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) = a 1 ′ a 2 ′ ⋮ a m ′
A A A r r r 定理 4.57（列階数） より A A A r r r rank A = r \text{rank} \, A = r rank A = r
A A A s s s 定理 4.59（列階数と行階数） より r r r s s s r = s r = s r = s
したがって、rank A = r = s \text{rank} \, A = r = s rank A = r = s A A A A A A
階数の基本的性質（転置行列の階数）# 次に、転置行列の階数がもとの行列の階数に等しくなることを示します。
定理 4.61（転置行列の階数）# A A A ( m , n ) (m, n) ( m , n ) A A A A A A
rank t A = rank A
\begin{equation} \tag{4.7.4}
\text{rank} \, {}^{t} A = \text{rank} \, A
\end{equation}
rank t A = rank A ( 4.7.4 ) 行列の転置 により、階数は不変です。転置行列 t A {}^{t} A t A A A A
定理 4.59（列階数と行階数）の系# 下の証明 に示す通り、転置行列の階数がもとの行列の階数に等しいことは、行列の階数が行と列に関して対称的であること（定理 4.59（列階数と行階数） ）から直ちに導くことができます。
このような意味で、定理4.61 も、定理 4.59（列階数と行階数） から直ちに導ける系ともいえます。
証明（定理 4.61）# A A A r r r 定理 4.57（列階数） より A A A r r r 定理 4.59（列階数と行階数） より A A A r r r A A A t A {}^{t} A t A A A A t A {}^{t} A t A A A A r r r □ \quad \square □
証明の考え方（定理 4.61）# 定理 4.57（列階数） および定理 4.59（列階数と行階数） により直ちに導くことができます。
前提事項の整理# A A A r r r rank t A = rank A = r \text{rank} \, {}^{t} A = \text{rank} \, A = r rank t A = rank A = r A A A a 1 , a 2 , ⋯ , a n \bm{a}_{1}, \bm{a}_{2}, \cdots, \bm{a}_{n} a 1 , a 2 , ⋯ , a n a 1 ′ , a 2 ′ , ⋯ , a m ′ \bm{a}^{\prime}_{1}, \bm{a}^{\prime}_{2}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{m} a 1 ′ , a 2 ′ , ⋯ , a m ′ A A A
A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) = ( a 1 ′ a 2 ′ ⋮ a m ′ )
A
= (\, \bm{a}_{1}, \bm{a}_{2}, \cdots, \bm{a}_{n} \,)
= \begin{pmatrix}
\, \bm{a}^{\prime}_{1} \, \\ \, \bm{a}^{\prime}_{2} \, \\ \, \vdots \, \\ \, \bm{a}^{\prime}_{m} \,
\end{pmatrix}
A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) = a 1 ′ a 2 ′ ⋮ a m ′
A A A r r r 定理 4.57（列階数） より A A A r r r rank A = r \text{rank} \, A = r rank A = r 定理 4.59（列階数と行階数） より、A A A r r r 定理 4.60（行階数） から導くこともできます。）転置行列の定義 より、t A {}^{t} A t A A A A t A {}^{t} A t A A A A t A {}^{t} A t A
t A = ( a 1 ′ , a 2 ′ , ⋯ , a m ′ ) = ( a 1 a 2 ⋮ a n )
{}^{t} A
= (\, \bm{a}^{\prime}_{1}, \bm{a}^{\prime}_{2}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{m} \,)
= \begin{pmatrix}
\, \bm{a}_{1} \, \\ \, \bm{a}_{2} \, \\ \, \vdots \, \\ \, \bm{a}_{n} \,
\end{pmatrix}
t A = ( a 1 ′ , a 2 ′ , ⋯ , a m ′ ) = a 1 a 2 ⋮ a n
再び定理 4.57（列階数） より t A {}^{t} A t A t A {}^{t} A t A A A A rank t A = r \text{rank} \, {}^{t} A = r rank t A = r 以上から、rank t A = rank A \text{rank} \, {}^{t} A = \text{rank} \, A rank t A = rank A t A {}^{t} A t A A A A
まとめ# A A A ( m , n ) (m, n) ( m , n ) A A A a 1 ′ , a 2 ′ , ⋯ , a m ′ \bm{a}^{\prime}_{1}, \bm{a}^{\prime}_{2}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{m} a 1 ′ , a 2 ′ , ⋯ , a m ′ A A A a 1 ′ , a 2 ′ , ⋯ , a m ′ \bm{a}^{\prime}_{1}, \bm{a}^{\prime}_{2}, \cdots, \bm{a}^{\prime}_{m} a 1 ′ , a 2 ′ , ⋯ , a m ′ A A A A A A rank t A = rank A
\begin{equation*}
\text{rank} \, {}^{t} A = \text{rank} \, A
\end{equation*}
rank t A = rank A 参考文献# [1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.1 1 1 2 2 2 I \text{I} I 初版：2023-05-25 | 改訂：2024-10-20