正則行列の条件（行列の階数）

$n$ 次の正方行列 $A$ の階数が $n$ であることは $A$ が正則行列であるための必要十分条件であることを示します。

この定理は、行列の階数の観点からある行列が正則であるための条件を示すものであり、行列の階数と行列式の関係を明らかにする上でも重要な定理であるといえます。

階数の基本的性質#

定理 4.62（正則行列と階数）#

$A$ を $n$ 次の正方行列とすると、$A$ が正則であるためには $\text{rank} \, A = n$ であることが必要にして十分である。

端的にいえば「$A \in M_{n} (K)$ が正則 $\; \Leftrightarrow \; \text{rank} \, A = n$」が成り立ちます。当然ながら、ある行列が正則であるためには正方行列でなければならない（正則行列の定義）ので、定理 4.62（正則行列と階数）は正方行列に限って成り立つものです。

正則であるための条件#

ある行列が正則行列であるための条件は、これまでにいくつか示してきました。例えば、行列式に関して $\det A \neq 0$ であること（定理 3.22）や、行列の列ベクトル（または行ベクトル）が線型独立であること（定理 4.27）、連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ が自明でない解を持たないこと（定理 4.26）などがありました。

定理 4.62（正則行列と階数）は、行列の階数の観点から、ある行列が正則であるための条件を示すものです。ある行列が正則であることと同値な条件は様々ありますので、定理 4.62（正則行列と階数）の証明はいく通りもあります。下の証明は、主に列ベクトルの線型独立性の観点によるものですが、他にも様々な証明が考えられます。

階数の定義と同値な条件#

階数の定義についても、定義と同値な条件が複数あり、いくつかの定義の仕方があることに触れました。我々は、ある行列が定める線型写像の像の次元として行列の階数を定義しました（階数の定義）が、行列の階数は、行列式（特に小行列式）によっても定めることができます。すなわち、ある行列 $A$ の階数は、$A$ の $0$ でない小行列式の最大次数に等しくなります。このことについては次項に詳しくみますが、定理 4.62（正則行列と階数）はその証明において非常に重要な役割を果たします。そのような意味で、定理 4.62（正則行列と階数）は行列の階数と行列式の関係を明らかにする上で重要な定理であるともいえます。

証明#

$A$ の列ベクトルを $\bm{a}_{1}, \bm{a}_{2}, \cdots, \bm{a}_{n}$ とする。定理 4.57（列階数）より、$A$ の階数が $n$ であることと、 $\bm{a}_{1}, \bm{a}_{2}, \cdots, \bm{a}_{n}$ は線型独立であることは同値である。また、定理 4.27（行列式と線型独立性）より、$\bm{a}_{1}, \bm{a}_{2}, \cdots, \bm{a}_{n}$ が線型独立であることと、$\det A \neq 0$ が成り立つことは同値である。定理 3.22（逆行列を持つための条件）より、$\det A \neq 0$ であることと $A$ が正則であることは同値である。以上から、$A$ の階数が $n$ であることと $A$ が正則であることは同値である。$\quad \square$

証明の骨子#

定理 4.57（列階数）や定理 4.27（行列式と線型独立性）等を用いて「$\text{rank} \, A = n$」と同値な条件を繋いでいき、「$\text{rank} \, A = n$」 $\Leftrightarrow$ 「$A$ が正則」を導きます。

• まず、定理 4.57（列階数）により「$\text{rank} \, A = n$」と「$A$ の列ベクトルが線型独立である」ことが同値であることを示します。

  • 定理 4.57（列階数）より、「$\text{rank} \, A = n$」と「$A$ の線型独立な列ベクトルの最大数が $n$ に等しいこと」は同値です。これは、（正方行列に限らない）一般の行列について成り立ちます。
  • いま、$A$ は $n$ 次の正方行列であるので $n$ 個の列ベクトルにより表すことができ、これを $\bm{a}_{1}, \bm{a}_{2}, \cdots, \bm{a}_{n}$ とすれば、$A = (\, \bm{a}_{1}, \bm{a}_{2}, \cdots, \bm{a}_{n} \,)$ となります。
  • $n$ 個の列ベクトル $\bm{a}_{1}, \bm{a}_{2}, \cdots, \bm{a}_{n}$ があって、線型独立なベクトルの最大数が $n$ であるので、明らかに $\bm{a}_{1}, \bm{a}_{2}, \cdots, \bm{a}_{n}$ は線型独立であるといえます。
  • したがって、行列 $A$ が $n$ 次の正方行列であるとき、「$\text{rank} \, A = n$」と「$A$ の列ベクトルが線型独立である」ことは同値であるといえます。

• 次に、定理 4.27（行列式と線型独立性）により「$A$ の列ベクトルが線型独立である」ことと「$A$ が正則である」ことが同値であることを導きます。

  • 定理 4.27（行列式と線型独立性）より、「$A$ の列ベクトルが線型独立である」ことと「$\det A \neq 0$ が成り立つ」ことは同値です。これは、任意の正方行列について成り立ちます。
  • 定理 3.22（逆行列を持つための条件）より、「$\det A \neq 0$ が成り立つ」ことと「$A$ が正則である」ことは同値です。
  • すなわち、任意の正方行列について「$A$ の列ベクトルが線型独立である」ことと「$A$ が正則である」ことは同値です。

• 以上から、行列 $A$ が $n$ 次の正方行列であるとき、「$\text{rank} \, A = n$」と「$A$ が正則である」ことは同値であることが示されました。

上の証明は、行列 $A$ が $n$ 次の正方行列であるという条件の下で、「$\text{rank} \, A = n$」$\overset{(1)}{\Leftrightarrow}$「$A$ の列ベクトルが線型独立である」$\overset{(2)}{\Leftrightarrow}$「$\det A \neq 0$」$\overset{(3)}{\Leftrightarrow}$「$A$ が正則である」という同値変形を行っています。それぞれの同値変形は、$A$ が $n$ 次の正方行列である場合にしか成り立たないという点に注意が必要です。

まとめ#

• $A$ を $n$ 次の正方行列とすると、$A$ が正則であるためには $\text{rank} \, A = n$ であることが必要にして十分である。
  

参考文献#