連立一次方程式の解（2）

連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{b}$ の 一般解は、同じ係数行列を持つ斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の 基本解を用いて表せます。

これは、一般の連立一次方程式の解の形を与えるとともに、連立一次方程式と斉次連立一次方程式の解の関係を示す定理でもあります。

連立一次方程式の解#

定理 5.6（連立一次方程式の解の形）#

連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{b}$ が解を持つとき、その $1$ つの解を $\bm{x}_{0}$ とする。また、$A \bm{x} = \bm{b}$ と同じ係数行列を持つ斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の基本解を $\bm{y}_{r + 1}, \cdots, \bm{y}_{n}$ とすると、$A \bm{x} = \bm{b}$ の一般解は次のように表せる。

ただし、$r = \text{rank} \, A$ であり、$c_{r + 1}, \cdots, c_{n} \in K$ である。

解説#

連立一次方程式の一般解の形#

定理 5.6（連立一次方程式の解の形）は、連立一次方程式の 一般解の形を与える定理です。

ここで、連立一次方程式を（$1$）$A \bm{x} = \bm{b}$ として（$1$）と同じ係数行列を持つ斉次連立一次方程式を（$2$）$A \bm{x} = \bm{0}$ とすると、（$1$）の 一般解は （5.1.4）式のようになります。

すなわち、連立一次方程式（$1$）の 一般解は（$1$）の 特殊解 $\bm{x}_{0}$ と（$2$）の 基本解 $\bm{y}_{r + 1}, \cdots, \bm{y}_{n}$ の線型結合の和として表せます。

斉次連立一次方程式の基本解は一意に定まらない#

斉次連立一次方程式の 基本解は一意に定まりません。

斉次連立一次方程式の 基本解とは斉次連立一次方程式の解空間の基底に他ならず（ 定理 5.2（斉次連立一次方程式の解空間の次元））、その個数（$(n - r)$ 個）は一意に定まりますが、基底を成すベクトルの組は一意に定まらない（ 定理 4.29（次元の一意性））からです。

したがって、 （5.1.4）式に示す $\bm{y}_{r + 1}, \cdots, \bm{y}_{n}$ は、あくまで、斉次連立一次方程式（$2$）の基本解の $1$ つ（$1$ 組）です。

斉次連立一次方程式の基本解の個数は $(n - r)$ 個#

定理 5.6（連立一次方程式の解の形）において、$A$ を $(m, n)$ 型行列としています。これは、（$1$）$A \bm{x} = \bm{b}$ と（$2$）$A \bm{x} = \bm{0}$ が、ともに $n$ 個の変数に関する $m$ 個の式からなる連立一次方程式であることを仮定していることと同じです。

ここで、当然ながら、$\text{rank} \, A = r \leqslant m, \, n$ が成り立ちます（ 定理 4.54（列階数）、 定理 4.57（行階数））。

また、 定理 5.2（斉次連立一次方程式の解空間の次元）より、（$2$）$A \bm{x} = \bm{0}$ が自明でない解（$\bm{x} = \bm{0}$ 以外の解）を持つならば、解空間の次元は $n - r$ に等しくなります。したがって、（$2$）の 基本解の個数は $(n - r)$ 個であるといえます。

連立一次方程式の解と斉次連立一次方程式の解の関係#

定理 5.6（連立一次方程式の解の形）は、連立一次方程式の解と斉次連立一次方程式の解の関係を示す定理です。

そのような意味で、 定理 5.6は、 前項の 定理 5.5（連立一次方程式の解の集合）の系ともいうべき定理です。

解の集合の間の関係#

定理 5.5（連立一次方程式の解の集合）より、（$1$）$A \bm{x} = \bm{b}$ の解の集合を $W_{1}$、（$2$）$A \bm{x} = \bm{0}$ の解の集合を $W_{2}$ とると、$W_{1}$ は $W_{2}$ を $\bm{x}_{0}$ だけ平行移動させたものといえます（ 定理 5.5の考察を参照）。

ここで、$W_{2}$ の基本解が $\bm{y}_{r + 1}, \cdots, \bm{y}_{n}$ であるということは、任意の $W_{2}$ の元が $\bm{y}_{r + 1}, \cdots, \bm{y}_{n}$ の線型結合として表せるということを意味しており、次が成り立ちます。

したがって、任意の $W_{1}$ の元が $\bm{x}_{0}$ と $\bm{y}_{r + 1}, \cdots, \bm{y}_{n}$ の線型結合の和として表せるという、 定理 5.6（連立一次方程式の解の形）の主張は、 定理 5.5の主張から直ちに導くことができるというわけです。

証明#

連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{b}$ が解を持つとして、その $1$ つの解を $\bm{x}_{0}$ とする。このとき、 定理 5.2（斉次連立一次方程式の解空間の次元）より、斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間の次元は $n - r$ に等しい。したがって、$A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間の基底を成すベクトルを $\bm{y}_{r + 1}, \cdots, \bm{y}_{n}$ とすれば、任意の $A \bm{x} = \bm{0}$ の解 $\bm{y}$ は $\bm{y}_{r + 1}, \cdots, \bm{y}_{n}$ の線型結合として表せる。

また、 定理 5.5（連立一次方程式の解の集合）より、$A \bm{x} = \bm{b}$ の一般解は $\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ により与えられるから、次が成り立つ。

証明の考え方#

定理 5.2（斉次連立一次方程式の解空間の次元）と 定理 5.5（連立一次方程式の解の集合）から、直ちに導くことができます。

前提事項の整理#

• 連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{b}$ が解を持つとして、$A \bm{x} = \bm{b}$ の $1$ つの解（ 特殊解）を $\bm{x}_{0}$ とします。
• ここで、係数行列 $A$ は $(m, n)$ 型行列であり、$A$ の階数を $r$ とします。すなわち、$\text{rank} \, A = r$ とします。

斉次連立方程式の解の形#

• まず、$A \bm{x} = \bm{0}$ の解が $\bm{y}_{r + 1}, \cdots, \bm{y}_{n}$ の線型結合で表せることを示します。

• 定理 5.2（斉次連立一次方程式の解空間の次元）より、斉次連立一次方程式 $A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間の次元は $n - r$ に等しくなります。

  • 仮に $A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間を $W$ とすると、次が成り立ちます。
    $$ \begin{align*} \dim W = n - r \end{align*} $$

• したがって、$A \bm{x} = \bm{0}$ の解空間の基底は $n - r$ 個のベクトルから成り、これを $\bm{y}_{r + 1}, \cdots, \bm{y}_{n}$ とします。

  • $n - (r + 1) + 1 = n - r$ より、$\bm{y}_{r + 1}, \cdots, \bm{y}_{n}$ が $n - r$ 個のベクトルであることが確かめられます。

• 任意の $A \bm{x} = \bm{0}$ の解 $\bm{y}$ は解空間の元であるので、その基底 $\bm{y}_{r + 1}, \cdots, \bm{y}_{n}$ の線型結合として表すことができます。

  $$ \begin{align*} \bm{y} = c_{r + 1} \bm{y}_{r + 1} + \cdots + c_{n} \bm{y}_{n} \end{align*} $$

• 以上から、$A \bm{x} = \bm{0}$ の任意の解 $\bm{y}$ が、その 基本解 $\bm{y}_{r + 1}, \cdots, \bm{y}_{n}$ の線型結合として表せることが示されました。

連立一次方程式の解の形#

• 次に、$A \bm{x} = \bm{b}$ の解が $\bm{x}_{0}$ と $\bm{y}_{r + 1}, \cdots, \bm{y}_{n}$ の線型結合の和で表せることを示します。

• 定理 5.5（連立一次方程式の解の集合）より、$A \bm{x} = \bm{b}$ の 一般解は $\bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y}$ により与えられます。

  $$ \begin{align*} \bm{x} = \bm{x}_{0} + \bm{y} \end{align*} $$

• 上記の考察より、$A \bm{x} = \bm{0}$ の任意の解 $\bm{y}$ は、 基本解 $\bm{y}_{r + 1}, \cdots, \bm{y}_{n}$ の線型結合として表せるので、次が成り立ちます。

  $$ \begin{split} \bm{x} &= \bm{x}_{0} + \bm{y} \\ &= \bm{x}_{0} + c_{r + 1} \bm{y}_{r + 1} + \cdots + c_{n} \bm{y}_{n} \\ \end{split} $$

• 以上から、$A \bm{x} = \bm{b}$ の 一般解が、その 特殊解 $\bm{x}_{0}$ と $A \bm{x} = \bm{0}$ の 基本解 $\bm{y}_{r + 1}, \cdots, \bm{y}_{n}$ の線型結合の和で表せることが示されました。

まとめ#

• $A \bm{x} = \bm{b}$ が解を持つならば、その一般解は、特殊解 $\bm{x}_{0}$ と $A \bm{x} = \bm{0}$ の基本解 $\bm{y}_{r + 1}, \cdots, \bm{y}_{n}$ の線型結合の和として表せる
  $$ \begin{equation*} \bm{x} = \bm{x}_{0} + c_{r + 1} \bm{y}_{r + 1} + \cdots + c_{n} \bm{y}_{n} \end{equation*} $$

参考文献

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