基本的な性質（2）

零行列をブロックとして含む正方行列の固有多項式は、$2$ つの固有多項式の積として表せます。

このことは、 前項と同様、固有多項式の形と行列式の基本的性質により証明することができます。

零行列をブロックとして含む行列の固有多項式#

定理 6.5（零行列をブロックに持つ行列の固有多項式）#

$B$ を $m$ 次の正方行列、$D$ を $n$ 次の正方行列として、$A$ が次のような $(m + n)$ 次の正方行列であるとする。

このとき、$A$ の固有多項式について、次が成り立つ。

解説#

固有多項式の分解#

定理 6.5（零行列をブロックに持つ行列の固有多項式）は、ある正方行列が零行列をブロックにもつ場合、固有多項式が $2$ つの固有多項式の積に分解できることを示しています。

零行列をブロックに持つ行列の固有値#

（6.2.2）式が成り立つとき、行列 $A$ の固有方程式について次が成り立ちます。

すなわち、$A$ の固有多項式 $\phi_{A}$ が $B, D$ の固有多項式 $\phi_{B}$ と $\phi_{D}$ の積に等しいということは、$A$ の固有値全体の集合が $B$ の固有値全体と $D$ の固有値全体の和（和集合）に等しいということを意味しています。

これは 定理 6.5（零行列をブロックに持つ行列の固有多項式）から直ちに導かれる命題です。つまり、$A$ が （6.2.1）式のような形の行列であれば、その固有値は $B$ の固有値と $D$ の固有値を合わせたものであるということが、 定理 6.5から直ちにいえます。

零行列をブロックに持つ行列#

定理 6.5 の条件を満たす行列

（6.2.1）式において、正方行列 $A$ は、$2$ つの正方行列 $B, D$ と零行列 $O$ を含むブロックに区分けできるような特定の形である必要があります。また、$2$ つの正方行列 $B, D$ は対角線上に並んでいる必要があります。ここで、零行列 $O$ は $(n, m)$ 型行列であり、$C$ は $(m, n)$ 型行列となります。

条件を満たす行列の別形#

定理 6.5（零行列をブロックに持つ行列の固有多項式）は、$A$ が次のような正方行列であっても成り立ちます。

すなわち、$A$ を区分けしたとき、$2$ つの正方行列ブロック $B, D$ は対角線上に並んでいる必要がありますが、零行列 $O$ の位置は左下でも右上でも良いということです。 （6.2.1$^{\prime}$）式において、$B$ を $m$ 次の正方行列、$D$ を $n$ 次の正方行列とすれば、零行列 $O$ は $(m, n)$ 型行列であり、$C$ は $(n, m)$ 型行列となります。

固有多項式の基本的な性質（ 定理 6.5 の証明）

定理 6.5（零行列をブロックに持つ行列の固有多項式）は、 固有方程式の形と、行列式の基本的な性質（ 定理 3.16（零行列をブロックに持つ行列の行列式））により証明することができます。（詳しくは、下記の 証明に示す通りです。）

このような意味で、 定理 6.5は、 前項と同様、固有多項式の基本的な性質を表す定理であるといえます。

証明#

$B$ と $D$ はそれぞれ $m$ 次と $n$ 次の正方行列であるから、$A$ の固有多項式 $\phi_{A} (t)$ について、次が成り立つ。

ここで、 定理 3.16（零行列をブロックに持つ行列の行列式）より、零行列をブロックにもつ行列の行列式は $2$ つの行列式の積に等しいから、次が成り立つ。

したがって、$A$ の固有多項式は $B$ の固有多項式と $D$ の固有多項式の積に等しい。$\quad \square$

証明の考え方#

定理 6.3（固有方程式）より、（$1$）行列 $A$ の固有多項式を求め、（$2$）行列式の基本的性質に関する 定理 3.16（零行列をブロックに持つ行列の行列式）を用います。

（1）固有多項式を求める#

• $A$ の固有多項式 $\phi_{A} (t)$ を求めます。

• 定理 6.3（固有方程式）より、$A$ の固有多項式は、次のようになります。

  $$ \begin{align*} \phi_{A} (t) &\overset{(\text{i})}{=} \big\lvert \, A - t E_{m + n} \, \big\rvert \\ &\overset{(\text{ii})}{=} \left\lvert \, \begin{pmatrix} \, B & C \, \\ \, O & D \, \end{pmatrix} - t \begin{pmatrix} \, E_{m} & O \, \\ \, O & E_{n} \, \end{pmatrix} \, \right\rvert \\ &\overset{(\text{iii})}{=} \begin{vmatrix} \; B - t E_{m} & C \; \\ \; O & D - t E_{n} \; \end{vmatrix} \tag{$\ast$} \end{align*} $$
  • （$\text{iii}$）$B$ と $D$ がそれぞれ $m$ 次と $n$ 次の正方行列であり、対角線上に並んでいることによります。

（2）行列式の基本的性質を利用する#

• 行列式の基本的性質を用いて、固有多項式 $\phi_{A} (t)$ を簡単にします。

• 定理 3.16（零行列をブロックに持つ行列の行列式）より、零行列をブロックにもつ行列の行列式は $2$ つの行列式の積に等しく、次が成り立ちます。

  $$ \begin{gather*} \begin{vmatrix} \; B & C \; \\ \; O & D \; \end{vmatrix} = \vert \, B \, \vert \, \vert \, D \, \vert \end{gather*} $$

• これを（$\ast$）に適用すると、固有多項式 $\phi_{A} (t)$ は次のようになります。

  $$ \begin{align*} \phi_{A} (t) &\overset{(\text{iii})}{=} \begin{vmatrix} \; B - t E_{m} & C \; \\ \; O & D - t E_{n} \; \end{vmatrix} \tag{$\ast$} \\ &\overset{(\text{iv})}{=} \big\lvert \, B - t E_{m} \, \big\rvert \; \big\lvert \, D - t E_{n} \, \big\rvert \\ &\overset{(\text{v})}{=} \phi_{B} (t) \; \phi_{D} (t) \end{align*} $$
  • （$\text{iv}$） 定理 3.16（零行列をブロックに持つ行列の行列式）によります。
  • （$\text{v}$） 定理 6.3（固有方程式）より、$\phi_{B} (t) = \big\lvert \, B - t E_{m} \, \big\rvert,$ $\, \phi_{D} (t) = \big\lvert \, D - t E_{n} \, \big\rvert$ となります。

• 以上から、$A$ の固有多項式は $B$ の固有多項式と $D$ の固有多項式の積に等しいことが示されました。

（参考）別形についても 定理 6.5が成り立つことの確認

• $A$ が （6.2.1$^{\prime}$）式のような形の正方行列の場合も、同様に 定理 6.5（零行列をブロックに持つ行列の固有多項式）が成り立つことを確認します（ 条件を満たす行列の別形を参照）。

  $$ \begin{equation} A = \begin{pmatrix} \, B & O \, \\ \, C & D \, \end{pmatrix} \end{equation} \tag{6.2.1$^{\prime}$} $$

• 上記の考察と同様に、$A$ の固有多項式 $\phi_{A} (t)$ について、次が成り立ちます。

  $$ \begin{align*} \phi_{A} (t) &\overset{(\text{i}^{\prime})}{=} \big\lvert \, A - t E_{m + n} \, \big\rvert \\ &\overset{(\text{ii}^{\prime})}{=} \left\lvert \, \begin{pmatrix} \, B & O \, \\ \, C & D \, \end{pmatrix} - t \begin{pmatrix} \, E_{m} & O \, \\ \, O & E_{n} \, \end{pmatrix} \, \right\rvert \\ &\overset{(\text{iii}^{\prime})}{=} \begin{vmatrix} \; B - t E_{m} & O \; \\ \; C & D - t E_{n} \; \end{vmatrix} \\ &\overset{(\text{iv}^{\prime})}{=} \big\lvert \, B - t E_{m} \, \big\rvert \; \big\lvert \, D - t E_{n} \, \big\rvert \\ &\overset{(\text{v}^{\prime})}{=} \phi_{B} (t) \; \phi_{D} (t) \end{align*} $$
  • （$\text{iv}^{\prime}$） 定理 3.16（零行列をブロックに持つ行列の行列式）は零行列 $O$ の位置が左下でも右上でも成り立つので、この場合も $A$ の固有多項式は $B$ の固有多項式と $D$ の固有多項式の積の形に分解できます。

• したがって、$A$ が （6.2.1$^{\prime}$）式のような形の正方行列である場合も、 定理 6.5が成り立つといえます。

まとめ#

• $B$ を $m$ 次の正方行列、$D$ を $n$ 次の正方行列として、$A$ が次のような $(m + n)$ 次の正方行列であるとする。

  $$ \begin{align*} A &= \begin{pmatrix} \, B & C \, \\ \, O & D \, \end{pmatrix} \; , \\ A &= \begin{pmatrix} \, B & O \, \\ \, C & D \, \end{pmatrix} \end{align*} $$

  • このとき、$A$ の固有多項式は $B$ と $D$ の固有多項式の積として表せる。

    $$ \begin{equation*} \phi_{A} (t) = \phi_{B} (t) \; \phi_{D} (t) \end{equation*} $$

  • すなわち、$A$ の固有値全体の集合は $B$ の固有値全体と $D$ の固有値全体の和（和集合）に等しい。

参考文献

[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
[3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010.
[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008.
[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022.
[8] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.