対角化の条件

行列が対角化可能であることと同値な条件（必要十分条件）を示します。

すなわち、（$1$）$n$ 次正方行列が対角化可能であることは、（$2$）固有空間の次元の総和が $n$ に等しいこと、（$3$）$n$ 個の線型独立な固有ベクトルが存在することと同値です。

対角化可能であることと同値な条件#

定理 6.13（対角化の条件）#

$A$ を $n$ 次の正方行列とすると、次の $3$ つの条件は互いに同値である。

（$1$）$A$ が対角化可能である。
（$2$）$A$ の相異なる固有値 $\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{r}$ の固有空間 $W (\lambda_{1}), \cdots, W (\lambda_{r})$ について、次が成り立つ。

（$3$）$n$ 個の線型独立な $A$ の固有ベクトルが存在する。

解説#

行列が対角化可能であるための必要十分条件#

定理 6.13（対角化の条件）は、行列が対角化可能であるための必要十分条件を示しています。

また、対角化の条件（$2$）は、正方行列 $A$ を線型変換の行列表示と捉えることで、次のように言い換えることができます。

以下に、これら $4$ つの条件の具体的な意味について考えます。

（1）正方行列が対角化可能#

「正方行列 $A$ が対角化可能である」ということは、$A$ が対角行列に相似であるということに他なりません（定理 6.10（対角化可能であるための十分条件））。

すなわち、対角化の条件（$1$）は、次の式を満たす正則行列 $P$ が存在することと言い換えることができます。

（2）固有空間の次元の総和が $n$ に等しい#

「 $A$ の固有空間の次元の総和が $A$ の次数に等しい」ことは、$A$ が対角化可能であることと同値です。

対角化の条件（2）の意味#

この対角化の条件（$2$）は、具体的には、$A$ の相異なる固有値 $\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{r}$ の固有空間 $W (\lambda_{1}), \cdots, W (\lambda_{r})$ について、次が成り立つことを指しています。

また、対角化の条件（$2$）は、「 $\textcircled{\scriptsize{1}}$ すべての固有値について、固有空間の次元が重複度に等しい」、かつ、「 $\textcircled{\scriptsize{2}}$ 重複度の総和が $A$ の次数に等しい」、と分解することができます。このことは、次のように考えると理解できます。

固有空間の次元と重複度#

前項に示したように、一般に、固有空間の次元について次が成り立ちます（定理 6.12（固有空間の次元の総和））。

また、定理 6.11（固有空間の次元と重複度）より、$A$ の固有値 $\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{r}$ について、それぞれの重複度を $m_{1}, \cdots, m_{r}$ とすれば、固有空間 $W (\lambda_{i})$ の次元は固有値の重複度 $m_{i}$ を超えません。

対角化の条件（2）の分解#

以上から、対角化の条件（$2$）は、「 $\textcircled{\scriptsize{1}}$ すべての固有値について、固有空間の次元が重複度に等しい」、かつ、「 $\textcircled{\scriptsize{2}}$ 重複度の総和が $A$ の次数に等しい」、と分解することができます。

また、分解された条件 $\textcircled{\scriptsize{1}}$ と $\textcircled{\scriptsize{2}}$ は、次のように表すことができます。

ここで、条件 $\textcircled{\scriptsize{2}}$ は、固有方程式が重複を含めて $n$ 個の解を持つということと同値です。したがって、複素数の範囲で考えれば $\textcircled{\scriptsize{2}}$ は常に成り立ちます（固有多項式の次数と解の個数を参照）。

（2’）固有空間の直和がベクトル空間に等しい#

正方行列を線型変換の行列表示とみなすことで、対角化の条件（$2$）は、「固有空間の直和が、線形変換が定義されているベクトル空間に等しい」こと、と言い換えることができます。

線型変換と正方行列#

正方行列 $A$ により定まる線型変換を $f : V \to V$ とすると、$A$ の次数 $n$ は $f$ が定義されているベクトル空間 $V$ の次元に他なりません。

すなわち、線型変換の目線からみれば、対角化の条件（$2$）は、固有空間の次元の総和が $V$ の次元に等しいことを表しています。

固有空間の直和#

更に、定理 6.9（相異なる固有値に属する固有ベクトル）より、相異なる固有値 $\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{s}$ に属する固有ベクトルは線型独立です。

そのため、相異なる固有値の固有空間 $W (\lambda_{1}), \cdots, W (\lambda_{s})$ は零ベクトル $\bm{0}$ のみを共有します。よって、固有空間 $W (\lambda_{1}), \cdots, W (\lambda_{s})$ の和空間は直和になります（固有空間の直和を参照）。

したがって、正方行列 $A$ が対角化の条件（$2$）を満たすことは、線型変換 $f$ について次が成り立つことと同値です。

対角化の条件（2）の言い換え#

以上から、「固有空間の直和が $V$ に等しい」ことは対角化の条件（$2$）と同値であり、したがって、$A$ が対角化可能であることと同値です。

[1], [2] では、対角化の条件（$2$）に先立って、「固有空間の直和が $V$ に等しい」ことが対角化可能であるための必要十分条件として示されています。一方で [3], [4] では、対角化の条件（$2$）が主たるものとして先に示されています。

（3）$n$ 個の線型独立な固有ベクトルが存在する#

「 $n$ 個の線型独立な固有ベクトルが存在する」ことは、$A$ が対角化可能であることと同値です。

これは、対角化可能であるための必要十分条件のもっとも簡単な表現であり、すなわち、$A$ の固有ベクトルのみからなる $K^{n}$ の基底があるということに他なりません。

また、この対角化の条件（$3$）も、$A$ によって定まる線型変換 $f : V \to V$ の目線から見れば、「 $f$ の固有ベクトルのみからなる $V$ の基底がある」のように言い換えることができます。

証明#

（$1$）$\Rightarrow$（$2$）$A$ が対角化可能であるとき、次の式を満たす正則行列 $P$ が存在する。

$P$ の列ベクトルを $\bm{x}_{1}, \cdots, \bm{x}_{n}$ とすると、$P$ が正則であることから、$\bm{x}_{1}, \cdots, \bm{x}_{n}$ は線型独立であり、次が成り立つ。

したがって、$\bm{x}_{1}, \cdots, \bm{x}_{n}$ は $A$ の固有ベクトルであり、$A$ の相異なる固有値を $\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{r}$ とすると、$d_{1}, \cdots, d_{n}$ は $\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{r}$ のいずれかに等しくなる。固有値 $\lambda_{i}$ の重複度を $m_{i}$ とすると、$\bm{x}_{1}, \cdots, \bm{x}_{n}$ の順序を入れ替えて、$\lambda_{i}$ に属する固有ベクトルを $\bm{x}_{i_{1}}, \cdots, \bm{x}_{i_{m_{i}}}$ と表すことができる。このとき、$\lambda_{i}$ について、次が成り立つ。

いま、$\bm{x}_{i_{1}}, \cdots, \bm{x}_{i_{m_{i}}}$ は線型独立であるから、$\lambda_{i}$ の固有空間 $W (\lambda_{i})$ の次元について $\dim W (\lambda_{i}) \geqslant m_{i}$ が成り立つ。これは、すべての $i$ について成り立ち、いま、$\displaystyle \sum_{i}^{r} m_{i} = n$ であるから、

一方で、定理 6.12（固有空間の次元の総和）より、一般に、$\displaystyle \, \sum_{i}^{r} \dim W (\lambda_{i}) \leqslant n$ であるから、等号が成り立つ。

（$2$）$\Rightarrow$（$3$）$\displaystyle \sum_{i}^{r} \dim W (\lambda_{i}) = n$ であるとき、$W (\lambda_{1}), \cdots, W (\lambda_{r})$ の基底は合わせて $n$ 個のベクトルであり、それぞれ、$A$ の固有ベクトルである。いま、$W (\lambda_{i})$ の基底を $\bm{w}_{\, i 1}, \cdots, \bm{w}_{\, i m_{i}}$ として、その線型結合を次のように表すとすると、

$W (\lambda_{1}), \cdots, W (\lambda_{r})$ の基底の線型結合は、$\bm{v}_{1} + \cdots + \bm{v}_{r}$ と表せる。ここで、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ は相異なる固有値に属する固有ベクトルであるから、定理 6.9（相異なる固有値に属する固有ベクトル）より線型独立である。よって、$\bm{v}_{1} + \cdots + \bm{v}_{r} = \bm{0}$ とすると、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ はすべて零ベクトル $\bm{0}$ に等しく、$\bm{v}_{1} = \cdots = \bm{v}_{r} = \bm{0}$ が成り立つ。また、$1 \leqslant i \leqslant r$ について、$\bm{w}_{\, i 1}, \cdots, \bm{w}_{\, i m_{i}}$ は線型独立であるから、$\bm{v}_{i} = \bm{0}$ ならば $c_{\, i 1} = \cdots = c_{\, i m_{i}} = 0$ が成り立つ。したがって、$W (\lambda_{1}), \cdots, W (\lambda_{r})$ の基底は、自明でない線型関係を持たず、線型独立である。

（$3$）$\Rightarrow$（$1$）$\bm{x}_{1}, \cdots, \bm{x}_{n}$ を $n$ 個の線型独立な $A$ の固有ベクトルとすると、$1 \leqslant i \leqslant n$ について次が成り立つ。

いま、$A \bm{x}_{1}, \cdots, A \bm{x}_{n}$ を列ベクトルとみなし、これをまとめて行列として表すと、次のようになる。

ここで、$P = (\, \bm{x}_{1}, \cdots, \bm{x}_{n} \,)$ とすれば、$\bm{x}_{1}, \cdots, \bm{x}_{n}$ が線型独立であることから、定理 4.27（行列式と線型独立性）より、$P$ は正則である。したがって、$A$ は対角化可能である。

証明の考え方#

（$1$）$\Rightarrow$（$2$）$\Rightarrow$（$3$）$\Rightarrow$（$1$）の順に導いていき、$3$ つの条件が同値であることを示します。

証明においては、前項の定理 6.12（固有空間の次元の総和）、定理 6.9（相異なる固有値に属する固有ベクトル）、定理 4.27（行列式と線型独立性）を用います。

（$1$）$\Rightarrow$（$2$）の証明#

• $A$ が対角化可能であることから、$A$ の固有空間の次元の総和が $n$ に等しいことを導きます。

$A$ の固有ベクトルを求める#

• まず、$A$ を対角化する正則行列の列ベクトルが、$A$ の固有ベクトルであることを示します。

• $A$ が対角化可能であるということは、次の式を満たす正則行列 $P$ が存在するということに他なりません（定理 6.10（対角化可能であるための十分条件））。

  $$\begin{gather*} & P^{-1} A P = \begin{pmatrix} \; d_{1} & & \large{O} \; \\ & \ddots & \\ \; \large{O} & & d_{n} \; \\ \end{pmatrix} \\ \Leftrightarrow & A P = P \begin{pmatrix} \; d_{1} & & \large{O} \; \\ & \ddots & \\ \; \large{O} & & d_{n} \; \\ \end{pmatrix} \end{gather*}$$

• ここで、$P$ を列ベクトル表示して $P = (\, \bm{x}_{1}, \cdots, \bm{x}_{n} \,)$ とすると、上記の式は、次のように分解できます。

  $$\begin{gather*} & A \, (\, \bm{x}_{1}, \cdots, \bm{x}_{n} \,) = (\, \bm{x}_{1}, \cdots, \bm{x}_{n} \,) \begin{pmatrix} \; d_{1} & & \large{O} \; \\ & \ddots & \\ \; \large{O} & & d_{n} \; \\ \end{pmatrix} \\ \\ & \Leftrightarrow \qquad \quad A \bm{x}_{i} = d_{i} \bm{x}_{i} \qquad (\, 1 \leqslant i \leqslant n \,) \end{gather*}$$

• したがって、定義より、$\bm{x}_{1}, \cdots, \bm{x}_{n}$ は $A$ の固有ベクトルであるといえます。

• また、「$A$ が対角化可能である」という仮定より、$P$ は正則であるため、$\bm{x}_{1}, \cdots, \bm{x}_{n}$ は線型独立であるといえます（定理 4.27（行列式と線型独立性））。

固有空間の次元を求める#

• 次に、固有ベクトルを固有値ごとにまとめて、固有空間の次元を求めます。

• 上記で得られた $A$ の固有値 $d_{1}, \cdots, d_{n}$ の中には重複が含まれる可能性があるため、重複を排除して、$\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{r}$ に集約します。

  • $A$ の相異なる固有値を $\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{r}$ とすると、重複を含めた固有値 $d_{1}, \cdots, d_{n}$ は、$\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{r}$ のいずれかに等しくなるはずです。
  • また、固有値 $\lambda_{i}$ の重複度を $m_{i}$ として、$\lambda_{i}$ に属する固有ベクトルを $\bm{x}_{i_{1}}, \cdots, \bm{x}_{i_{m_{i}}}$ のように表し直します。
  • これにより、$A$ の固有ベクトル $\{\, \bm{x}_{1}, \cdots, \bm{x}_{n} \, \}$ の順序を入れ替えて、$\{ \bm{x}_{1_{1}}, \cdots, \bm{x}_{1_{m_{1}}} \},$ $\{ \bm{x}_{2_{1}}, \cdots, \bm{x}_{2_{m_{2}}} \},$ $\cdots,$ $\{ \bm{x}_{r_{1}}, \cdots, \bm{x}_{r_{m_{r}}} \}$ のように、同じ固有値に属する固有ベクトルごとにまとめて表すことができます。

• 重複を排除すると、$A$ の固有値と固有ベクトルの関係式は、次のように表し直すことができます。

  $$\begin{gather*} A \bm{x}_{i_{j}} = \lambda_{i} \bm{x}_{i_{j}} & (\, 1 \leqslant j \leqslant m_{i} \,) \end{gather*}$$

• 上記の考察より、$\bm{x}_{i_{1}}, \cdots, \bm{x}_{i_{m_{i}}}$ は線型独立であるから、$\lambda_{i}$ の固有空間は少なくとも $m_{i}$ 個の線型独立なベクトルを持つといえます。すなわち、$W (\lambda_{i})$ の次元は $m_{i}$ 以上となります。

  $$\begin{gather*} \dim W (\lambda_{i}) \geqslant m_{i} & (\, 1 \leqslant i \leqslant r \,) \end{gather*}$$

• また、いま $A$ は（重複を含めて）$n$ 個の固有値を持つため、$\displaystyle \sum_{i}^{r} m_{i} = n$ であり、次が成り立ちます。

  $$\begin{gather*} & \displaystyle \, \sum_{i}^{r} \dim W (\lambda_{i}) \, \geqslant \, \displaystyle \, \sum_{i}^{r} m_{i} = n \\ & \Rightarrow \quad \displaystyle \, \sum_{i}^{r} \dim W (\lambda_{i}) \, \geqslant \, n \end{gather*}$$

• 一方で、定理 6.12（固有空間の次元の総和）より、一般に固有空間の次元の総和は $n$ を超えません。

  $$\begin{gather*} \displaystyle \, \sum_{i}^{r} \dim W (\lambda_{i}) \leqslant n \end{gather*}$$

• したがって、上記の式において等号が成り立ちます。

  $$\begin{gather*} \displaystyle \sum_{i}^{r} \dim W (\lambda_{i}) = n \end{gather*}$$

• 以上から、（$1$）$A$ が対角化可能であるならば（$2$）固有空間の次元の総和が $n$ に等しいことが確かめられました。

（$2$）$\Rightarrow$（$3$）の証明#

• 固有空間の次元の総和が $n$ に等しいとき、$n$ 個の線型独立な固有ベクトルが存在することを導きます。

固有空間の基底を求める#

• まず、固有空間の基底が $n$ 個の固有ベクトルからなることを確かめます。
• $A$ の相異なる固有値を $\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{r}$ 、それぞれの固有空間を $W (\lambda_{1}), \cdots, W (\lambda_{r})$ とすると、$W (\lambda_{1}), \cdots, W (\lambda_{r})$ の基底をなすベクトルは、$n$ 個の固有ベクトルとなります。
  • 「固有空間の次元の総和が $n$ に等しい」という仮定より、$\displaystyle \sum_{i}^{r} \dim W (\lambda_{i}) = n$ が成り立ちます。
  • したがって、各固有空間 $W (\lambda_{1}), \cdots, W (\lambda_{r})$ の基底をなすベクトルは、合わせて $n$ 個のベクトルとなります。
  • また、$W (\lambda_{1}), \cdots, W (\lambda_{r})$ の基底をなすベクトルは $W (\lambda_{1}), \cdots, W (\lambda_{r})$ の元であり、$A$ の固有ベクトルとなります。

線形独立性の証明#

• 次に、$W (\lambda_{1}), \cdots, W (\lambda_{r})$ の基底をなすベクトルが線型独立であることを示します。

• ある固有値 $\lambda_{i}$ に対して、固有空間 $W (\lambda_{i})$ の基底を $\bm{w}_{\, i 1}, \cdots, \bm{w}_{\, i m_{i}}$ として、その線型結合を $\bm{v}_{i}$ と表すこととします。

  $$\begin{gather*} \bm{v}_{i} = c_{\, i 1} \bm{w}_{\, i 1} + \cdots + c_{\, i m_{i}} \bm{w}_{\, i m_{i}} \end{gather*}$$

• このとき、$W (\lambda_{1}), \cdots, W (\lambda_{r})$ の基底をなすベクトル全体の線型結合は、次のようになります。

  $$\begin{gather*} \bm{v}_{1} + \cdots + \bm{v}_{r} \end{gather*}$$
  • $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ は相異なる固有値に属する固有ベクトルであるから、定理 6.9（相異なる固有値に属する固有ベクトル）より線型独立であるといえます。

• ここで、$\bm{v}_{1} + \cdots + \bm{v}_{r} = \bm{0}$ とすると、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ はすべて零ベクトル $\bm{0}$ に等しくなります。

  $$\begin{gather*} \bm{v}_{1} = \cdots = \bm{v}_{r} = \bm{0} \end{gather*}$$
  • 定理 6.9（相異なる固有値に属する固有ベクトル）より、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ が線型独立であるためです。
  • 仮に、$\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ のうち零ベクトルでないものがあるとすると $\bm{v}_{1}, \cdots, \bm{v}_{r}$ は自明でない線型関係を持つことになり、定理 6.9（相異なる固有値に属する固有ベクトル）に矛盾します。

• また、$\bm{w}_{\, i 1}, \cdots, \bm{w}_{\, i m_{i}}$ は $W (\lambda_{i})$ の基底なので線型独立です。したがって、$\bm{v}_{i} = \bm{0}$ ならば $c_{\, i 1} = \cdots = c_{\, i m_{i}} = 0$ が成り立ちます。

• これは、すべての固有値 $\lambda_{i}$ とその固有空間 $W (\lambda_{i})$ について成り立ちます。

  $$\begin{gather*} & \bm{v}_{1} + \cdots + \bm{v}_{r} = \bm{0} \\ \Rightarrow & \begin{array} {cc} c_{i j} = 0 & (\, 1 \leqslant i \leqslant r, 1 \leqslant j \leqslant m_{i} \,) \end{array} \end{gather*}$$

• したがって、$W (\lambda_{1}), \cdots, W (\lambda_{r})$ の基底をなすベクトルは、自明でない線型関係を持たない、すなわち、線型独立であるといえます。

• 以上から、（$2$）固有空間の次元の総和が $n$ に等しいならば（$3$）$n$ 個の線型独立な固有ベクトルが存在することが確かめられました。

（$3$）$\Rightarrow$（$1$）の証明#

• $A$ に $n$ 個の線型独立な固有ベクトルが存在するとき、$A$ が対角化可能であることを示します。
• （$3$）$\Rightarrow$（$1$）の証明は、定理 6.10（対角化可能であるための十分条件）の証明と同じ考え方となります。

対角行列との関係式の導出#

• $n$ 個の線型独立な $A$ の固有ベクトルを $\bm{x}_{1}, \cdots, \bm{x}_{n}$ とすると、次が成り立ちます。

  $$\begin{gather*} A \bm{x}_{i} = \lambda_{i} \bm{x}_{i} & (\, 1 \leqslant i \leqslant n \,) \end{gather*}$$

• いま、$A \bm{x}_{1}, \cdots, A \bm{x}_{n}$ を列ベクトルとみなし、これをまとめて行列として表すと、次のようになります。

  $$\begin{gather*} A \, (\, \bm{x}_{1}, \cdots, \bm{x}_{n} \,) = (\, \bm{x}_{1}, \cdots, \bm{x}_{n} \,) \begin{pmatrix} \; \lambda_{1} & & \large{O} \; \\ & \ddots & \\ \; \large{O} & & \lambda_{n} \; \\ \end{pmatrix} \end{gather*}$$

• ここで、$P = (\, \bm{x}_{1}, \cdots, \bm{x}_{n} \,)$ とすると、行列 $A$ と対角行列の関係式は、次のように表すことができます。

  $$\begin{alignat*} {3} && A \, (\, \bm{x}_{1}, \cdots, \bm{x}_{n} \,) &= (\, \bm{x}_{1}, \cdots, \bm{x}_{n} \,) \begin{pmatrix} \; \lambda_{1} & & \large{O} \; \\ & \ddots & \\ \; \large{O} & & \lambda_{n} \; \\ \end{pmatrix} \\ && \Leftrightarrow \qquad A P &= P \begin{pmatrix} \; \lambda_{1} & & \large{O} \; \\ & \ddots & \\ \; \large{O} & & \lambda_{n} \; \\ \end{pmatrix} \\ \end{alignat*}$$

正則性の証明#

• 上式において、$\bm{x}_{1}, \cdots, \bm{x}_{n}$ が線型独立であることから、定理 4.27（行列式と線型独立性）より、$P$ は正則であるといえます。

• $P$ が正則である（逆行列を持つ）ので、上式に左から $P^{-1}$ を掛けることで、$A$ は次のように対角化されます。

  $$\begin{gather*} & A P = P \begin{pmatrix} \; \lambda_{1} & & \large{O} \; \\ & \ddots & \\ \; \large{O} & & \lambda_{n} \; \\ \end{pmatrix} \\ \Leftrightarrow & P^{-1} A P = \begin{pmatrix} \; \lambda_{1} & & \large{O} \; \\ & \ddots & \\ \; \large{O} & & \lambda_{n} \; \\ \end{pmatrix} \end{gather*}$$

• 以上から、（$3$）$n$ 個の線形独立な固有ベクトルが存在するならば（$1$）$A$ が対角化可能であることが確かめられました。

まとめ#

• $A$ を $n$ 次の正方行列とすると、次の $3$ つの条件は互いに同値である。

• 対角化の条件（$2$）は、具体的には次のように表せる。

  • $A$ の相異なる固有値 $\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{r}$ の固有空間 $W (\lambda_{1}), \cdots, W (\lambda_{r})$ について、次が成り立つ。

    $$\begin{equation*} \displaystyle \sum_{i}^{r} \, \dim W (\lambda_{i}) = n \end{equation*}$$

  • $A$ により定まる線型変換を $f : V \to V$ として、固有空間 $W (\lambda_{1}), \cdots, W (\lambda_{s})$ の直和が $V$ に等しい。

    $$\begin{align*} W (\lambda_{1}) \oplus \cdots \oplus W (\lambda_{s}) = V \end{align*}$$

参考文献#

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