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三角化の条件
行列が三角化可能であることと同値な条件（必要十分条件）を示します。
すなわち、$n$ 次の正方行列 $A$ が三角化可能であるためには、$A$ が重複を含めて $n$ 個の固有値を持つことが必要にして十分です。したがって、複素数の範囲で考えれば、正方行列は常に三角化可能であるといえます。
三角化可能であることと同値な条件
定理 6.14（三角化の条件）
$A$ を $n$ 次の正方行列とする。$A$ が重複を含めて $n$ 個の固有値を持つならば、$A$ は三角化可能である。すなわち、次の式を満たす正則行列 $P$ が存在する。
$$
\begin{equation}
P^{-1} A P = \begin{pmatrix}
\; \lambda_{1} & & \large{\ast} \; \\
& \ddots & \\
\; \large{O} & & \lambda_{n} \; \\
\end{pmatrix}
\end{equation} \tag{6.3.5}
$$
解説
行列の三角化とは
正方行列 $A$ が三角化可能であるということは、 （6.3.5）式を満たすような正則行列 $P$ が存在するということに他なりません。
このとき、 定理 4.56（相似な行列）より、$A$ は 三角行列に 相似になります。すなわち、三角化可能な行列とは、三角行列に 相似な行列であるともいえます。
行列が三角化可能であるための必要十分条件
三角化の十分条件
定理 6.14（三角化の条件）は、正方行列が三角化可能であるための十分条件を示しています。すなわち、重複を含めて $n$ 個の固有値を持つならば、$n$ 次の正方行列は三角化可能です。
三角化の必要条件
また、重複を含めて $n$ 個の固有値を持つことは、$n$ 次の正方行列が三角化可能であるための必要条件でもあります。このことは、次のように、固有多項式の性質により確かめられます。
すなわち、 （6.3.5）式が成り立つとき、 定理 6.4（三角行列の固有値）より $P^{-1} A P$ の固有値全体は対角成分 $\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}$ に等しくなります。
また、 定理 6.6（相似な行列の固有多項式）より、相似な行列の固有値全体は等しいので、$A$ の固有値全体も $\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}$ に等しくなります。
よって、$n$ 次正方行列 $A$ が三角化可能であるならば、$A$ は重複を含めて $n$ 個の固有値を持つことがわかります。
行列の三角化は対角化の一部
行列が三角化可能であるための条件（重複を含めて $n$ 個の固有値を持つこと）は、行列が対角化可能であるための条件の一部です。これは、 対角行列が 三角行列でもあることから明らかといえます。具体的には、次のように確かめられます。
正方行列 $A$ の相異なる固有値を $\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{r}$ 、それぞれの重複度を $m_{1}, \cdots, m_{r}$ します。このとき、$A$ が「重複を含めて $n$ 個の固有値を持つ」という条件は、次のように表すことができます。
$$
\begin{align*}
\displaystyle \sum_{i}^{r} \, m_{i} &= n
\end{align*}
$$
これは、 前項の 定理 6.13（対角化の条件）における、対角化の条件（$2$）の一部です（ 対角化の条件（$2$）の分解を参照）。
逆に、$A$ が三角化可能であるとき、各固有空間の次元が重複度に等しい（ $1 \leqslant i \leqslant r$ について $\dim W (\lambda_{i}) = m_{i}$ が成り立つ）ならば、$A$ は、更に対角化可能であるということができます。
複素数の範囲では、正方行列は常に三角化可能
定理 6.3（固有方程式）に示したように、代数学の基本定理より「 $n$ 次方程式は複素数の範囲で重複を含めて $n$ 個の解を持つ」といえます。
したがって、複素数の範囲で考えれば、$n$ 次正方行列 $A$ は重複を含めて必ず $n$ 個の固有値を持つことになります。つまり、複素数の範囲で考えれば、正方行列は常に三角化可能であるということができます。
行列を三角化する正則行列は一意的でない
（6.3.5）式において、行列 $A$ を三角化する正則行列 $P$ は一意に定まりません。
$$
\begin{equation}
P^{-1} A P = \begin{pmatrix}
\; \lambda_{1} & & \large{\ast} \; \\
& \ddots & \\
\; \large{O} & & \lambda_{n} \; \\
\end{pmatrix}
\end{equation} \tag{6.3.5}
$$
正則行列 $P$ がどのような行列であるかにより、 （6.3.5）式の右辺の三角行列も異なります。しかしながら、対角成分の値（$A$ の固有値）については変わりません。
ユニタリ行列による三角化
正則行列 $P$ として、 直交行列や ユニタリ行列を選ぶことができ、これにより計量を保ったまま $A$ を三角化できることが後にわかります。このことは、 計量ベクトル空間の章において、 内積を定義してから改めて整理します。
証明
$A$ を $n$ 次正方行列とする。$n = 1$ のとき、$A$ が固有値を持つならば、 定義より $A$ は既に三角行列であり （6.3.5）式が成り立つ。
$n \gt 1$ のとき、$(n-1)$ 次までの正方行列について、 （6.3.5）式が成り立つと仮定する。このとき、$A$ の固有値 $\lambda_{1}$ に属する固有ベクトルを $\bm{x}_{1}$ とすると、$\bm{x}_{1} \neq \bm{0}$ であり、$\bm{x}_{1}$ に $(n-1)$ 個のベクトルを加えて $K^{n}$ の基底を作ることができる。これを $\bm{x}_{1}, \bm{x}_{2}, \cdots, \bm{x}_{n}$ として、まとめて $Q = (\, \bm{x}_{1}, \bm{x}_{2}, \cdots, \bm{x}_{n} \,)$ と表すと、$Q$ は正則であり、次が成り立つ。
$$
\begin{gather*}
& A Q = Q \left( \, \begin{array} {c|c}
\lambda_{1} & \large{\ast} \\
\hline
O & \begin{matrix}
& & \\
& A_{1} & \\
& &
\end{matrix} \\
\end{array} \, \right) \\
\Leftrightarrow & Q^{-1} A Q = \left( \, \begin{array} {c|c}
\lambda_{1} & \large{\ast} \\
\hline
O & \begin{matrix}
& & \\
& A_{1} & \\
& &
\end{matrix} \\
\end{array} \, \right)
\end{gather*}
$$
ここで、$A_{1}$ は $(n-1)$ 次の正方行列であり、帰納法の仮定より、三角化可能である。したがって、$R_{1}$ を $(n-1)$ 次の正則行列とすると、次が成り立つ。
$$
\begin{gather*}
R_{1}^{-1} A_{1} R_{1} = \left( \begin{array} {ccc}
\lambda_{2} & & \large{\ast} \\
& \ddots & \\
\large{O} & & \lambda_{n} \\
\end{array} \right)
\end{gather*}
$$
いま、次のような $n$ 次正方行列 $R$ を考えると、$R^{-1} R = R R^{-1} = E$ が成り立ち、$R$ は正則である。
$$
\begin{align*}
R &= \left( \, \begin{array} {c|c}
1 & O \\
\hline
O & \begin{matrix}
& & \\
& R_{1} & \\
& &
\end{matrix} \\
\end{array} \, \right) , \\
R^{-1} &= \left( \, \begin{array} {c|c}
1 & O \\
\hline
O& \begin{matrix}
& & \\
& R_{1}^{-1} & \\
& &
\end{matrix} \\
\end{array} \, \right)
\end{align*}
$$
したがって、$P = QR$ とすると、$P$ は正則であり、次が成り立つ。
$$
\begin{align*}
P^{-1} A P
&= (\, R^{-1} Q^{-1} \,) \, A \, (\, Q R \,) \\
&= R^{-1} \, (\, Q^{-1} A Q \,) \, R \\
&= \left( \, \begin{array} {c|c}
1 & O \\
\hline
O & \begin{matrix}
& & \\
& R_{1}^{-1} & \\
& &
\end{matrix} \\
\end{array} \, \right)
\left( \, \begin{array} {c|c}
\lambda_{1} & \large{\ast} \\
\hline
O & \begin{matrix}
& & \\
& A_{1} & \\
& &
\end{matrix} \\
\end{array} \, \right)
\left( \, \begin{array} {c|c}
1 & O \\
\hline
O & \begin{matrix}
& & \\
& R_{1} & \\
& &
\end{matrix} \\
\end{array} \, \right) \\
&= \left( \, \begin{array} {c|c}
\lambda_{1} & \large{\ast} \\
\hline
O & \begin{matrix}
& & \\
& R_{1}^{-1} A_{1} R_{1} & \\
& &
\end{matrix} \\
\end{array} \, \right) \\
&= \begin{pmatrix}
\; \lambda_{1} & & & \large{\ast} \; \\
\; & \lambda_{2} & & \; \\
& & \ddots & \\
\; \large{O} & & & \lambda_{n} \; \\
\end{pmatrix} \tag*{$\square$}
\end{align*}
$$
証明の考え方
（$1$）$n = 1$ のときは、 三角行列の定義より明らかです。（$2$）$n \gt 1$ のときは、数学的帰納法により、$(n-1)$ 次までの正方行列が三角化可能であると仮定して、$n$ 次の正方行列も三角化可能であることを示します。
（1）$n = 1$ の場合の証明
このとき、$A$ は $1$ 次正方行列、つまり、$1$ つの成分のみからなる行列となります。
$A$ が固有値 $\lambda_{1}$ を持つとすると、$A$ は、その固有値を用いて、$A = (\, \lambda_{1} \,)$ のように表せます。
このとき、 三角行列の定義より、$A$ は既に三角行列であるといえます。
- 形式的には、$A$ は $1$ 次の単位行列 $E_{1}$ により三角化されるともいえます。$$ \begin{gather*} E_{1}^{-1} A E_{1} = (\, a_{11} \,) \end{gather*} $$
- 形式的には、$A$ は $1$ 次の単位行列 $E_{1}$ により三角化されるともいえます。
したがって、$n = 1$ の場合、$A$ は三角化可能であるといえます。
（2）$n \gt 1$ の場合の証明
部分的な三角化
まず、$n$ 次正方行列 $A$ が、$(n-1)$ 次の行列をブロックにもつ行列に、部分的に三角化されることを示します。
$A$ の $1$ つの固有値を $\lambda_{1}$ として、$\lambda_{1}$ に属する固有ベクトルを $\bm{x}_{1}$ とします。固有ベクトルは零ベクトルではないので、このとき、$\bm{x}_{1} \neq \bm{0}$ が成り立ちます（ 固有ベクトルの定義）。
したがって、$\bm{x}_{1}$ に $(n-1)$ 個のベクトルを加えて $K^{n}$ の基底を作ることができ、これを $\bm{x}_{1}, \bm{x}_{2}, \cdots, \bm{x}_{n}$ とします（ 定理 4.33（線型独立なベクトルと基底））。
- 上記のように、$\bm{x}_{1} \neq \bm{0}$ であることを確かめておくことは重要です。
- 零ベクトル $\bm{0}$ を含むベクトルの組は線型従属であるので、 定理 4.33を用いて、$K^{n}$ の基底を作ることができなくなってしまうためです。
これをまとめて $Q = (\, \bm{x}_{1}, \bm{x}_{2}, \cdots, \bm{x}_{n} \,)$ と表すと、$\bm{x}_{1}, \bm{x}_{2}, \cdots, \bm{x}_{n}$ が線型独立であることから、$Q$ は正則であるといえます（ 定理 4.27（行列式と線型独立性））。
$A \bm{x}_{1}, A \bm{x}_{2}, \cdots, A \bm{x}_{n}$ を列ベクトルとして、これをまとめて行列として表すと、次のようになります。
$$ \begin{gather*} A \, (\, \bm{x}_{1}, \bm{x}_{2}, \cdots, \bm{x}_{n} \,) = (\, \bm{x}_{1}, \bm{x}_{2}, \cdots, \bm{x}_{n} \,) \left( \, \begin{array} {c|c} \lambda_{1} & \large{\ast} \\ \hline O & \begin{matrix} & & \\ & A_{1} & \\ & & \end{matrix} \\ \end{array} \, \right) \end{gather*} $$このとき、$Q = (\, \bm{x}_{1}, \bm{x}_{2}, \cdots, \bm{x}_{n} \,)$ であり、$Q$ が正則であることから、次が成り立ちます。
$$ \begin{gather*} & A Q = Q \left( \, \begin{array} {c|c} \lambda_{1} & \large{\ast} \\ \hline O & \begin{matrix} & & \\ & A_{1} & \\ & & \end{matrix} \\ \end{array} \, \right) \\ \Leftrightarrow & Q^{-1} A Q = \left( \, \begin{array} {c|c} \lambda_{1} & \large{\ast} \\ \hline O & \begin{matrix} & & \\ & A_{1} & \\ & & \end{matrix} \\ \end{array} \, \right) \tag{$\star$} \end{gather*} $$- ここで、左下のブロックは $(n-1, 1)$ 型の零行列であり、$A$ の第 $1$ 列の成分は $1$ 行目を除いてすべて $0$ に等しくなります。
- したがって、$A$ は $Q$ により部分的に三角化されているといえます。
- また、右下のブロック $A_{1}$ は $(n-1)$ 次の正方行列、$\ast$ は任意の $(1, n-1)$ 型の行列を表しています。
正則行列による三角化
次に、帰納法の仮定により $A_{1}$ が三角化可能であるとして、上記の （$\star$）式の右辺を三角化するような正方行列を求めます。
（$\star$）式において、$A_{1}$ は $(n-1)$ 次の正方行列であるので、帰納法の仮定より、三角化可能です。すなわち、次の式を満たす $(n - 1)$ 次正則行列 $R_{1}$ が存在します。
$$ \begin{gather*} R_{1}^{-1} A_{1} R_{1} = \left( \begin{array} {ccc} \lambda_{2} & & \large{\ast} \\ & \ddots & \\ \large{O} & & \lambda_{n} \\ \end{array} \right) \end{gather*} $$いま、$R_{1}$ をブロックに持つ、次のような $n$ 次正方行列 $R$ を考えます。
$$ \begin{gather*} R = \left( \, \begin{array} {c|c} 1 & O \\ \hline O & \begin{matrix} & & \\ & R_{1} & \\ & & \end{matrix} \\ \end{array} \, \right) \end{gather*} $$次が成り立つことから、$R$ は逆行列を持つ、すなわち、$R$ は正則であるといえます。
$$ \begin{align*} \left( \, \begin{array} {c|c} 1 & O \\ \hline O & \begin{matrix} & & \\ & R_{1}^{-1} & \\ & & \end{matrix} \\ \end{array} \, \right) \left( \, \begin{array} {c|c} 1 & O \\ \hline O & \begin{matrix} & & \\ & R_{1} & \\ & & \end{matrix} \\ \end{array} \, \right) &= \left( \, \begin{array} {c|c} 1 & O \\ \hline O & \begin{matrix} & & \\ & R_{1}^{-1} R_{1} & \\ & & \end{matrix} \\ \end{array} \, \right) \\ &= \left( \, \begin{array} {c|c} 1 & O \\ \hline O & \begin{matrix} & & \\ & E_{n-1} & \\ & & \end{matrix} \\ \end{array} \, \right) \\ &= \begin{pmatrix} \; 1 & & & \large{O} \; \\ \; & 1 & & \; \\ & & \ddots & \\ \; \large{O} & & & 1 \; \\ \end{pmatrix} \\ &= E_{n} \end{align*} $$また、上記と同様の計算により、次が成り立つことも確かめられます。
$$ \begin{align*} \left( \, \begin{array} {c|c} 1 & O \\ \hline O & \begin{matrix} & & \\ & R_{1} & \\ & & \end{matrix} \\ \end{array} \, \right) \left( \, \begin{array} {c|c} 1 & O \\ \hline O & \begin{matrix} & & \\ & R_{1}^{-1} & \\ & & \end{matrix} \\ \end{array} \, \right) = E_{n} \end{align*} $$したがって、$R$ は正則であり（ 正則行列の定義）、逆行列 $R^{-1}$ は、次のように表せます。
$$ \begin{align*} R^{-1} = \begin{align*} \left( \, \begin{array} {c|c} 1 & O \\ \hline O & \begin{matrix} & & \\ & R_{1}^{-1} & \\ & & \end{matrix} \\ \end{array} \, \right) \end{align*} \end{align*} $$
更に、$P = QR$ とすれば、正則行列の積が正則行列となる（ 定理 2.5（正則行列））ことから、$P$ も正則行列となり、次が成り立ちます。
$$ \begin{align*} P^{-1} A P &\overset{(\text{i})}{=} (\, R^{-1} Q^{-1} \,) \, A \, (\, Q R \,) \\ &\overset{(\text{ii})}{=} R^{-1} \, (\, Q^{-1} A Q \,) \, R \\ &\overset{(\text{iii})}{=} \left( \, \begin{array} {c|c} 1 & O \\ \hline O & \begin{matrix} & & \\ & R_{1}^{-1} & \\ & & \end{matrix} \\ \end{array} \, \right) \left( \, \begin{array} {c|c} \lambda_{1} & \large{\ast} \\ \hline O & \begin{matrix} & & \\ & A_{1} & \\ & & \end{matrix} \\ \end{array} \, \right) \left( \, \begin{array} {c|c} 1 & O \\ \hline O & \begin{matrix} & & \\ & R_{1} & \\ & & \end{matrix} \\ \end{array} \, \right) \\ &\overset{(\text{iv})}{=} \left( \, \begin{array} {c|c} \lambda_{1} & \large{\ast} \\ \hline O & \begin{matrix} & & \\ & R_{1}^{-1} A_{1} R_{1} & \\ & & \end{matrix} \\ \end{array} \, \right) \\ &\overset{(\text{v})}{=} \begin{pmatrix} \; \lambda_{1} & & & \large{\ast} \; \\ \; & \lambda_{2} & & \; \\ & & \ddots & \\ \; \large{O} & & & \lambda_{n} \; \\ \end{pmatrix} \end{align*} $$- （$\text{i}$） 定理 2.5（正則行列）より、$P^{-1} = (QR)^{-1} = R^{-1} Q^{-1}$ が成り立ちます。
- （$\text{ii}$）積の順序の入れ替えにより、 （$\star$）式の右辺と $R$ の積の形を作ります。
- （$\text{iv}$） ブロック行列の積の演算規則により、三角行列が得られます。
以上から、$n \gt 1$ の場合も、$A$ が三角化可能であることが示されました。
まとめ
$A$ を $n$ 次の正方行列とする。$A$ が重複を含めて $n$ 個の固有値を持つならば、$A$ は三角化可能である。すなわち、次の式を満たす正則行列 $P$ が存在する。
$$ \begin{equation*} P^{-1} A P = \begin{pmatrix} \; \lambda_{1} & & \large{\ast} \; \\ & \ddots & \\ \; \large{O} & & \lambda_{n} \; \\ \end{pmatrix} \end{equation*} $$- $A$ が重複を含めて $n$ 個の固有値を持つことは、$A$ が三角化可能であるための十分条件であり、必要条件でもある。
- 行列が三角化可能であるための条件（重複を含めて $n$ 個の固有値を持つこと）は、行列が対角化可能であるための条件の一部。
複素数の範囲で考えれば、$n$ 次正方行列 $A$ は重複を含めて必ず $n$ 個の固有値を持つ。したがって、複素数の範囲で考えれば、正方行列は常に三角化可能である。
行列 $A$ を三角化する正則行列 $P$ は一意に定まらない。
参考文献
[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
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[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
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初版：2024-10-15 | 改訂：2025-05-12