三角化の条件

行列が三角化可能であることと同値な条件（必要十分条件）を示します。

すなわち、$n$ 次の正方行列 $A$ が三角化可能であるためには、$A$ が重複を含めて $n$ 個の固有値を持つことが必要にして十分です。したがって、複素数の範囲で考えれば、正方行列は常に三角化可能であるといえます。

三角化可能であることと同値な条件#

定理 6.14（三角化の条件）#

$A$ を $n$ 次の正方行列とする。$A$ が重複を含めて $n$ 個の固有値を持つならば、$A$ は三角化可能である。すなわち、次の式を満たす正則行列 $P$ が存在する。

解説#

行列の三角化とは#

正方行列 $A$ が三角化可能であるということは、（6.3.5）式を満たすような正則行列 $P$ が存在するということに他なりません。

このとき、定理 4.56（相似な行列）より、$A$ は三角行列に相似になります。すなわち、三角化可能な行列とは、三角行列に相似な行列であるともいえます。

行列が三角化可能であるための必要十分条件#

三角化の十分条件#

定理 6.14（三角化の条件）は、正方行列が対角化可能であるための十分条件を示しています。すなわち、重複を含めて $n$ 個の固有値を持つならば、$n$ 次の正方行列は三角化可能です。

三角化の必要条件#

また、重複を含めて $n$ 個の固有値を持つことは、$n$ 次の正方行列が三角化可能であるための必要条件でもあります。このことは、次のように、固有多項式の性質により確かめられます。

すなわち、（6.3.5）式が成り立つとき、定理 6.4（三角行列の固有値）より $P^{-1} A P$ の固有値全体は対角成分 $\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}$ に等しくなります。

また、定理 6.6（相似な行列の固有多項式）より、相似な行列の固有値全体は等しいので、$A$ の固有値全体も $\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}$ に等しくなります。

よって、$n$ 次正方行列 $A$ が三角化かのうであるならば、$A$ は重複を含めて $n$ 個の固有値を持つといえます。

行列の三角化は対角化の一部#

行列が三角化可能であるための条件（重複を含めて $n$ 個の固有値を持つこと）は、行列が対角化可能であるための条件の一部です。これは、対角行列が三角行列でもあることから明らかといえます。具体的には、次のように確かめられます。

正方行列 $A$ の相異なる固有値を $\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{r}$ 、それぞれの重複度を $m_{1}, \cdots, m_{r}$ します。このとき、$A$ が「重複を含めて $n$ 個の固有値を持つ」という条件は、次のように表すことができます。

これは、前項の定理 6.13（対角化の条件）における、対角化の条件（$2$）の一部です（対角化の条件（$2$）の分解を参照）。

逆に、$A$ が三角化可能であるとき、各固有空間の次元が重複度に等しい（ $1 \leqslant i \leqslant r$ について $\dim W (\lambda_{i}) = m_{i}$ が成り立つ）ならば、$A$ は、更に対角化可能であるということができます。

複素数の範囲では、正方行列は常に三角化可能#

定理 6.3（固有方程式）に示したように、代数学の基本定理より「 $n$ 次方程式は複素数の範囲で重複を含めて $n$ 個の解を持つ」といえます。

したがって、複素数の範囲で考えれば、$n$ 次正方行列 $A$ は重複を含めて必ず $n$ 個の固有値を持つことになります。つまり、複素数の範囲で考えれば、正方行列は常に三角化可能であるということができます。

行列を三角化する正則行列は一意的でない#

（6.3.5）式において、行列 $A$ を三角化する正則行列 $P$ は一意に定まりません。

正則行列 $P$ がどのような行列であるかにより、（6.3.5）式の右辺の三角行列も異なります。しかしながら、対角成分の値（$A$ の固有値）については変わりません。

正則行列 $P$ として、直行行列やユニタリ行列を選ぶことができ、これにより計量を保ったまま $A$ を三角化できることが後にわかります。このことは、計量ベクトル空間の章において、内積を定義してから改めて整理します。

証明#

$A$ を $n$ 次正方行列とする。$n = 1$ のとき、$A$ が固有値を持つならば、定義より、$A$ は既に三角行列であり（6.3.5）式が成り立つ。

$n \gt 1$ のとき、$(n-1)$ 次までの正方行列について、（6.3.5）式が成り立つと仮定する。このとき、$A$ の固有値 $\lambda_{1}$ に属する固有ベクトルを $\bm{x}_{1}$ とすると、$\bm{x}_{1} \neq \bm{0}$ であり、$\bm{x}_{1}$ に $(n-1)$ 個のベクトルを加えて $K^{n}$ の基底を作ることができる。これを $\bm{x}_{1}, \bm{x}_{2}, \cdots, \bm{x}_{n}$ として、まとめて $Q = (\, \bm{x}_{1}, \bm{x}_{2}, \cdots, \bm{x}_{n} \,)$ と表すと、$Q$ は正則であり、次が成り立つ。

ここで、$A_{1}$ は $(n-1)$ 次の正方行列であり、帰納法の仮定より、三角化可能である。したがって、$R_{1}$ を $(n-1)$ 次の正則行列とすると、次が成り立つ。

いま、次のような $n$ 次正方行列 $R$ を考えると、$R^{-1} R = R R^{-1} = E$ が成り立ち、$R$ は正則である。

したがって、$P = QR$ とすると、$P$ は正則であり、次が成り立つ。

証明の考え方#

（$1$）$n = 1$ のときは、三角行列の定義より明らかです。（$2$）$n \gt 1$ のときは、数学的帰納法により、$(n-1)$ 次までの正方行列が三角化可能であると仮定して、$n$ 次の正方行列も三角化可能であることを示します。

（1）$n = 1$ の場合の証明#

• $A$ は $1$ 次の正方行列、つまり、$1$ つの成分のみからなる行列となります。

• $A$ が固有値 $\lambda_{1}$ を持つとすると、$A$ は、その固有値を用いて、$A = (\, \lambda_{1} \,)$ のように表せます。

• このとき、三角行列の定義より、$A$ は既に三角行列であるといえます。

  • 形式的には、$A$ は $1$ 次の単位行列 $E_{1}$ により三角化されるともいえます。
    $$\begin{gather*} E_{1}^{-1} A E_{1} = (\, a_{11} \,) \end{gather*}$$

• したがって、$A$ が固有値を持つならば、$A$ は三角化可能であるといえます。

（2）$n \gt 1$ の場合の証明#

• 数学的帰納法により、$(n-1)$ 次までの正方行列について（6.3.5）式が成り立つと仮定して、$n$ 次正方行列についても（6.3.5）式が成り立つことを導きます。

部分的な三角化#

• まず、$n$ 次正方行列 $A$ が、$(n-1)$ 次の行列をブロックにもつ行列に、部分的に三角化されることを示します。

• $A$ の $1$ つの固有値を $\lambda_{1}$ として、$\lambda_{1}$ に属する固有ベクトルを $\bm{x}_{1}$ とします。固有ベクトルは零ベクトルではないので、このとき、$\bm{x}_{1} \neq \bm{0}$ が成り立ちます（固有ベクトルの定義）。

• したがって、$\bm{x}_{1}$ に $(n-1)$ 個のベクトルを加えて $K^{n}$ の基底を作ることができ、これを $\bm{x}_{1}, \bm{x}_{2}, \cdots, \bm{x}_{n}$ とします（定理 4.33（線型独立なベクトルと基底））。

  • 上記のように、$\bm{x}_{1} \neq \bm{0}$ であることを確かめておくことは重要です。
  • 零ベクトル $\bm{0}$ を含むベクトルの組は線型従属であるので、定理 4.33を用いて、$K^{n}$ の基底を作ることができなくなってしまうためです。

• $\bm{x}_{1}, \bm{x}_{2}, \cdots, \bm{x}_{n}$ を行列としてまとめて $Q = (\, \bm{x}_{1}, \bm{x}_{2}, \cdots, \bm{x}_{n} \,)$ と表すと、$\bm{x}_{1}, \bm{x}_{2}, \cdots, \bm{x}_{n}$ が線型独立であることから、$Q$ は正則であるといえます（定理 4.27（行列式と線型独立性））。

• $A \bm{x}_{1}, A \bm{x}_{2}, \cdots, A \bm{x}_{n}$ を列ベクトルとして、これをまとめて行列として表すと、次のようになります。

  $$\begin{gather*} A \, (\, \bm{x}_{1}, \bm{x}_{2}, \cdots, \bm{x}_{n} \,) = (\, \bm{x}_{1}, \bm{x}_{2}, \cdots, \bm{x}_{n} \,) \left( \, \begin{array} {c|c} \lambda_{1} & \large{\ast} \\ \hline O & \begin{matrix} & & \\ & A_{1} & \\ & & \end{matrix} \\ \end{array} \, \right) \end{gather*}$$

• このとき、$Q = (\, \bm{x}_{1}, \bm{x}_{2}, \cdots, \bm{x}_{n} \,)$ であり、$Q$ が正則であることから、次が成り立ちます。

  $$\begin{gather*} & A Q = Q \left( \, \begin{array} {c|c} \lambda_{1} & \large{\ast} \\ \hline O & \begin{matrix} & & \\ & A_{1} & \\ & & \end{matrix} \\ \end{array} \, \right) \\ \Leftrightarrow & Q^{-1} A Q = \left( \, \begin{array} {c|c} \lambda_{1} & \large{\ast} \\ \hline O & \begin{matrix} & & \\ & A_{1} & \\ & & \end{matrix} \\ \end{array} \, \right) \tag{$$$\star$} \end{gather*}
  • ここで、左下のブロックは $(n-1, 1)$ 型の零行列であり、$A$ の第 $1$ 列の成分は $1$ 行目を除いてすべて $0$ に等しくなります。
  • したがって、$A$ は $Q$ により部分的に三角化されているといえます。
  • また、右下のブロック $A_{1}$ は $(n-1)$ 次の正方行列、$\ast$ は任意の $(1, n-1)$ 型の行列を表しています。

正則行列による三角化#

• 次に、帰納法の仮定により $A_{1}$ が三角化可能であるとして、上記の（$\star$）式の右辺を三角化するような正方行列を求めます。

• （$\star$）式において、$A_{1}$ は $(n-1)$ 次の正方行列であるので、帰納法の仮定より、三角化可能です。すなわち、次の式を満たす $(n - 1)$ 次正則行列 $R_{1}$ が存在します。

  $$\begin{gather*} R_{1}^{-1} A_{1} R_{1} = \left( \begin{array} {ccc} \lambda_{2} & & \large{\ast} \\ & \ddots & \\ \large{O} & & \lambda_{n} \\ \end{array} \right) \end{gather*}$$

• いま、$R_{1}$ をブロックに持つ、次のような $n$ 次正方行列 $R$ を考えます。

  $$\begin{gather*} R = \left( \, \begin{array} {c|c} 1 & O \\ \hline O & \begin{matrix} & & \\ & R_{1} & \\ & & \end{matrix} \\ \end{array} \, \right) \end{gather*}$$

• 次が成り立つことから、$R$ は逆行列を持つ、すなわち、$R$ は正則であるといえます。

  $$\begin{align*} \left( \, \begin{array} {c|c} 1 & O \\ \hline O & \begin{matrix} & & \\ & R_{1}^{-1} & \\ & & \end{matrix} \\ \end{array} \, \right) \left( \, \begin{array} {c|c} 1 & O \\ \hline O & \begin{matrix} & & \\ & R_{1} & \\ & & \end{matrix} \\ \end{array} \, \right) &= \left( \, \begin{array} {c|c} 1 & O \\ \hline O & \begin{matrix} & & \\ & R_{1}^{-1} R_{1} & \\ & & \end{matrix} \\ \end{array} \, \right) \\ &= \left( \, \begin{array} {c|c} 1 & O \\ \hline O & \begin{matrix} & & \\ & E_{n-1} & \\ & & \end{matrix} \\ \end{array} \, \right) \\ &= \begin{pmatrix} \; 1 & & & \large{O} \; \\ \; & 1 & & \; \\ & & \ddots & \\ \; \large{O} & & & 1 \; \\ \end{pmatrix} \\ &= E_{n} \end{align*}$$

  • また、上記と同様の計算により、次が成り立つことも確かめられます。

    $$\begin{align*} \left( \, \begin{array} {c|c} 1 & O \\ \hline O & \begin{matrix} & & \\ & R_{1} & \\ & & \end{matrix} \\ \end{array} \, \right) \left( \, \begin{array} {c|c} 1 & O \\ \hline O & \begin{matrix} & & \\ & R_{1}^{-1} & \\ & & \end{matrix} \\ \end{array} \, \right) = E_{n} \end{align*}$$

  • したがって、$R$ は正則であり（正則行列の定義）、逆行列 $R^{-1}$ は、次のように表せます。

    $$R^{-1} = \begin{align*} \left( \, \begin{array} {c|c} 1 & O \\ \hline O & \begin{matrix} & & \\ & R_{1}^{-1} & \\ & & \end{matrix} \\ \end{array} \, \right) \end{align*}$$

• 更に、$P = QR$ とすれば、正則行列の積が正則行列となる（定理 2.5（正則行列））ことから、$P$ も正則行列となり、次が成り立ちます。

  $$\begin{align*} P^{-1} A P &\overset{(\text{i})}{=} (\, R^{-1} Q^{-1} \,) \, A \, (\, Q R \,) \\ &\overset{(\text{ii})}{=} R^{-1} \, (\, Q^{-1} A Q \,) \, R \\ &\overset{(\text{iii})}{=} \left( \, \begin{array} {c|c} 1 & O \\ \hline O & \begin{matrix} & & \\ & R_{1}^{-1} & \\ & & \end{matrix} \\ \end{array} \, \right) \left( \, \begin{array} {c|c} \lambda_{1} & \large{\ast} \\ \hline O & \begin{matrix} & & \\ & A_{1} & \\ & & \end{matrix} \\ \end{array} \, \right) \left( \, \begin{array} {c|c} 1 & O \\ \hline O & \begin{matrix} & & \\ & R_{1} & \\ & & \end{matrix} \\ \end{array} \, \right) \\ &\overset{(\text{iv})}{=} \left( \, \begin{array} {c|c} \lambda_{1} & \large{\ast} \\ \hline O & \begin{matrix} & & \\ & R_{1}^{-1} A_{1} R_{1} & \\ & & \end{matrix} \\ \end{array} \, \right) \\ &\overset{(\text{v})}{=} \begin{pmatrix} \; \lambda_{1} & & & \large{\ast} \; \\ \; & \lambda_{2} & & \; \\ & & \ddots & \\ \; \large{O} & & & \lambda_{n} \; \\ \end{pmatrix} \end{align*}$$
  • （$\text{i}$）定理 2.5（正則行列）より、$P^{-1} = (QR)^{-1} = R^{-1} Q^{-1}$ が成り立ちます。
  • （$\text{ii}$）積の順序の入れ替えにより、（$\star$）式の右辺と $R$ の積の形を作ります。
  • （$\text{iv}$）ブロック行列の積の演算規則により、三角行列が得られます。

• 以上から、$n$ 次正方行列 $A$ も、正則行列 $P$ により三角化可能であることが示されました。

まとめ#

• $A$ を $n$ 次の正方行列とする。$A$ が重複を含めて $n$ 個の固有値を持つならば、$A$ は三角化可能である。すなわち、次の式を満たす正則行列 $P$ が存在する。

  $$\begin{equation*} P^{-1} A P = \begin{pmatrix} \; \lambda_{1} & & \large{\ast} \; \\ & \ddots & \\ \; \large{O} & & \lambda_{n} \; \\ \end{pmatrix} \end{equation*}$$
  • $A$ が重複を含めて $n$ 個の固有値を持つことは、$A$ が三角化可能であるための十分条件であり、必要条件でもある。
  • 行列が三角化可能であるための条件（重複を含めて $n$ 個の固有値を持つこと）は、行列が対角化可能であるための条件の一部。

• 複素数の範囲で考えれば、$n$ 次正方行列 $A$ は重複を含めて必ず $n$ 個の固有値を持つ。したがって、複素数の範囲で考えれば、正方行列は常に三角化可能である。

• 行列 $A$ を三角化する正則行列 $P$ は一意に定まらない。

参考文献#