固有空間の次元（2）

固有空間の次元の総和は、線型変換が定義されているもとのベクトル空間の次元を超えません。前項の定理 6.11（固有空間の次元と重複度）と、重複度の定義より、これを示します。

固有空間の次元に関する考察は、正方行列が対角化可能であるための必要十分条件を導く上で、重要な役割を果たします。

固有空間の次元の総和#

定理 6.12（固有空間の次元の総和）#

$V$ を $n$ 次元ベクトル空間、$f : V \to V$ を線型変換とする。$f$ の相異なる固有値を $\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{r}$ として、それぞれの固有空間を $W (\lambda_{1}), \cdots, W (\lambda_{r})$ とすると次が成り立つ。

解説#

固有空間の次元の制約#

定理 6.12（固有空間の次元の総和）は、固有空間の次元の総和が、線型変換が定義されているもとのベクトル空間の次元を超えないことを表しています。

これは、前項の定理 6.11（固有空間の次元と重複度）と同じで、固有空間の次元について制約があることを示す定理です。

固有空間の次元とその総和#

定理 6.11（固有空間の次元と重複度）は、ある $1$ つの固有値について、固有空間の次元が重複度を超えないことを示していました。

これに対して、定理 6.12（固有空間の次元の総和）は、固有空間の次元の、すべての固有値に関する総和が、もとのベクトル空間の次元を超えないことを示しています。

下記の証明に示す通り、定理 6.12は、定理 6.11と重複度の定義により証明することができます。

対角化可能であることと同値な条件の導出#

定理 6.12（固有空間の次元の総和）は、行列が対角化可能であるための必要十分条件を導く上で、非常に重要な定理です。

すなわち、固有空間の次元の総和がもとのベクトル空間の次元に等しいことこそが、行列が対角化可能であるための必要十分条件となります。つまり、（6.3.3）式において等号が成り立つとき、線型変換 $f$ の表現行列は対角化可能となります。

行列が対角化可能であるための条件については、次項に改めて整理します。定理 6.12は、その考察において大変重要な役割を果たします。

証明#

$\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{r}$ の重複度を $m_{1}, \cdots, m_{r}$ とすると、定理 6.11（固有空間の次元と重複度）より、固有空間の次元は重複度を超えないので、$1 \leqslant i \leqslant r$ について、次が成り立つ。

また、$f$ の表現行列を $A$ とすると、$A$ の固有多項式 $\phi_{A} (t)$ は、次のように表せる。

ここで、$A$ は $n$ 次正方行列であるから、$\phi_{A} (t)$ は $n$ 次多項式であり、次が成り立つ。

以上から、

証明の考え方#

（$1$）固有空間の次元と固有値の重複度について成り立つ関係と（$2$）重複度とベクトル空間の次元に成り立つ関係から、（6.3.3）式を導きます。それぞれ、定理 6.11（固有空間の次元と重複度）と重複度の定義を用います。

（1）固有空間の次元と重複度#

• まず、定理 6.11（固有空間の次元と重複度）より、固有空間の次元と固有値の重複度について成り立つ関係を示します。

• 線型変換 $f$ の相異なる固有値を $\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{r}$ とし、それぞれの固有値の重複度を $m_{1}, \cdots, m_{r}$ とします。

• このとき、定理 6.11（固有空間の次元と重複度）より、固有空間の次元は重複度を超えないので、$1 \leqslant i \leqslant r$ について、次が成り立つといえます。

  $$ \begin{gather*} \tag{$\ast$} \dim W (\lambda_{i}) \, \leqslant \, m_{i} & (\, 1 \leqslant i \leqslant r \,) \end{gather*} $$
  • これは、$f$ の各固有値について、固有空間次元が重複度を超えないことを表しています。
  • したがって、両辺の総和をとれば、「固有空間の次元の総和は重複度の総和を超えない」ということが導けます。

（2）重複度とベクトル空間の次元#

• 次に、重複度の定義より、固有値の重複度の総和がベクトル空間の次元 $n$ を超えないことを示します。

• $f$ の表現行列を $A$ とすると、定理 6.3（固有方程式）より、$A$ の固有多項式 $\phi_{A} (t)$ は、次のように表せます。

  $$ \begin{align*} \phi_{A} (t) = (\lambda_{1} - t)^{m_{1}} \, \cdots \, (\lambda_{r} - t)^{m_{r}} \; \psi_{A} (t) \end{align*} $$
  • これは、定理 6.3（固有方程式）より、$A$ の固有値が固有多項式 $\phi_{A} (t)$ の解であることと、いま、$A$ の固有値を $\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{r}$ 、重複度を $m_{1}, \cdots, m_{r}$ としていることから明らかといえます。

• ここで、$A$ は $n$ 次正方行列であるので、$\phi_{A} (t)$ は $n$ 次多項式となります。したがって、次が成り立ちます。

  $$ \begin{align*} \tag{$\ast \ast$} \displaystyle \sum_{i}^{r} \, m_{i} \, \leqslant \, n \end{align*} $$

  • 代数学の基本定理より「 $n$ 次方程式は複素数の範囲で重複を含めて $n$ 個の解を持つ」といえます。

  • したがって、複素数の範囲で考えると、$\phi_{A} (t) = 0$ は必ず（重複を含めて）$n$ 個の解を持つことになります。このとき $A$ の固有多項式において、$\psi_{A} (t)$ は定数項となります。

    $$ \begin{align*} \displaystyle \sum_{i}^{r} \, m_{i} = n \end{align*} $$

  • 一方で、実数の範囲で考えると、$\phi_{A} (t) = 0$ は必ず $n$ 個の解を持つとは限りません。

  • 仮に、$\phi_{A} (t) = 0$ の解の個数が（重複を含めて）$l$ 個であったとすると（$\ast \ast$）式で等号は成り立たず、$\psi_{A} (t)$ は $t$ の $(n-l)$ 次多項式となります。

    $$ \begin{align*} \displaystyle \sum_{i}^{r} \, m_{i} = l \quad (\, \lt n \,) \end{align*} $$

証明のまとめ#

• （$\ast$）式と（$\ast \ast$）式より、次が成り立ちます。

  $$ \begin{gather*} & \displaystyle \sum_{i}^{r} \, \dim W (\lambda_{i}) \; \overset{(\ast)}{\leqslant} \; \displaystyle \sum_{i}^{r} \, m_{i} \; \overset{(\ast \ast)}{\leqslant} \; n \\ & \Rightarrow \quad \displaystyle \sum_{i}^{r} \, \dim W (\lambda_{i}) \; \leqslant \; n \end{gather*} $$
  • これは、$f$ の固有空間の次元の総和が $V$ の次元を超えないということを意味しています。

• 以上から、題意が示されました。

まとめ#

• $V$ を $n$ 次元ベクトル空間、$f : V \to V$ を線型変換とする。$f$ の相異なる固有値を $\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{r}$ として、それぞれの固有空間を $W (\lambda_{1}), \cdots, W (\lambda_{r})$ とすると、次が成り立つ。

  $$ \begin{equation*} \displaystyle \sum_{i}^{r} \, \dim W (\lambda_{i}) \; \leqslant \; n \end{equation*} $$
  • すなわち、固有空間の次元の総和はもとのベクトル空間の次元を超えない。

参考文献#

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