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種々の行列 まとめ
固有の名称で呼ばれる、種々の行列について整理します。
種々の行列（一覧）
- 零行列（$O$）
- 正方行列
- 対角行列
- 単位行列（$E$）
- 正則行列（$A A^{-1} = A^{-1} A = E$）
- 三角行列
- 転置行列（${}^t A$）
- 共役行列（$\overline{A}$）
- 随伴行列（$A^{\ast} = {}^t \overline{A}$）
零行列
零行列の定義
成分がすべて $0$ であるような $(m, n)$ 型の行列を $(m, n)$ 型の零行列（$\text{zero matrix}$）といい、$O_{m, n}$ と表す。混同のおそれがない場合は、単に $O$ とも表す。
$$
\begin{align*}
O_{m, n} = \begin{pmatrix}
\; 0 & \cdots & 0 \; \\
\; \vdots & \ddots & \vdots \; \\
\; 0 & \cdots & 0 \; \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
関連する事項
正方行列
正方行列の定義
行の数と列の数が等しい行列を正方行列（$\text{square matrix}$）という。特に、$(n, n)$ 型の行列を $n$ 次の正方行列という。
$$
\begin{align*}
A = \begin{pmatrix}
\; a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \; \\
\; a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \; \\
\; \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \; \\
\; a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \; \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
関連する事項
対角行列
対角行列の定義
対角成分以外の成分がすべて $0$ である行列を対角行列（$\text{diagonal matrix}$）という。
$$
\begin{align*}
A = \begin{pmatrix}
\; a_{11} & 0 & \cdots & 0 \; \\
\; 0 & a_{22} & \cdots & 0 \; \\
\; \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \; \\
\; 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \; \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
関連する事項
単位行列
単位行列の定義
対角成分が $1$ で、それ以外の成分がすべて $0$ である行列を単位行列（$\text{unit matrix}$）という。$n$ 次の単位行列を $E_n$ と表す。また、混同のおそれがない場合は、単に $E$ とも表す。
$$
\begin{align*}
E_n = \begin{pmatrix}
\; 1 & 0 & \cdots & 0 \; \\
\; 0 & 1 & \cdots & 0 \; \\
\; \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \; \\
\; 0 & 0 & \cdots & 1 \; \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
関連する事項
- 基本的で重要な行列
- 単位行列は、クロネッカーのデルタ $\delta_{ij}$ により、$E = (\, \delta_{ij} \,)$ と表せる。
正則行列
正則行列の定義
$n$ 次の正方行列 $A$ に対して、$AB = BA = E$ となる行列 $B$ が存在するとき、$A$ を正則行列（$\text{regular /}$ $\text{invertible /}$ $\text{non-singular matrix}$）という。
また、このとき $B$ を $A$ の逆行列（$\text{inverse / inverse matrix}$）といい $A^{-1}$ と表す。
関連する事項
三角行列
次の 上三角行列と 下三角行列を合わせて、三角行列（$\text{triangular matrix}$）という。
上三角行列の定義
正方行列において、対角線より左下の成分がすべて $0$ であるような行列を上三角行列（$\text{upper / right triangular matrix}$）という。
$$
\begin{align*}
A = \begin{pmatrix}
\; a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \; \\
\; 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \; \\
\; \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \; \\
\; 0 & 0 & \cdots & a_{n n} \; \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
下三角行列の定義
正方行列において、対角線より右上の成分がすべて $0$ であるような行列を下三角行列（$\text{lower / left triangular matrix}$）という。
$$
\begin{align*}
A = \begin{pmatrix}
\; a_{11} & 0 & \cdots & 0 \; \\
\; a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \; \\
\; \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \; \\
\; a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{n n} \; \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
関連する事項
- 三角行列の定義
- 三角行列の行列式
- 上三角行列において、$i \gt j \Rightarrow a_{ij} = 0$ が成り立つ。
- 下三角行列において、$i \lt j \Rightarrow a_{ij} = 0$ が成り立つ。
転置行列
転置行列の定義
$(m, n)$ 型の行列 $A$ に対して、$A$ の $(i, j)$ 成分を $(j, i)$ 成分とする $(n, m)$ 型の行列を $A$ の転置行列（$\text{transpose / transposed matrix}$）といい、${}^t A$ と表す。
$$
\begin{align*}
A &= \begin{pmatrix}
\; a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \; \\
\; a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \; \\
\; \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \; \\
\; a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \; \\
\end{pmatrix} , \\ \\
{}^t A & \, = \begin{pmatrix}
\; a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \; \\
\; a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \; \\
\; \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \; \\
\; a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \; \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
対称行列の定義
正方行列 $A$ が ${}^t A = A$ を満たすとき、$A$ を対称行列（$\text{symmetric matrix}$）という。
交代行列の定義
正方行列 $A$ が ${}^t A = -A$ を満たすとき、$A$ を交代行列（$\text{alternate matrix}$）という。
関連する事項
- 転置行列の定義
- 転置行列の行列式
- $A = (\, a_{ij} \,)$ に対して $A$ の転置行列を $B = (\, b_{ji} \,)$ と置くと、$a_{ij} = b_{ji}$ が成り立つ。
- $A$ が 対称行列であれば、$a_{ij} = a_{ji}$ が成り立つ。
- $A$ が 交代行列であれば、$a_{ij} = - a_{ji}$ が成り立つ。
- 部分空間の直和の例（対象行列と交代行列）
共役行列
共役行列の定義
行列 $A = (\, a_{ij} \,)$ に対して、$A$ の $(i, j)$ 成分 $a_{ij}$ の共役複素数 $\overline{a_{ij}}$ を $(i, j)$ 成分とする行列を $A$ の共役行列（$\text{conjugate matrix}$）といい、$\overline{A}$ と表す。
随伴行列
随伴行列の定義
行列 $A$ に対して、$A$ の共役行列の転置行列（ ${}^t \overline{A \vphantom{\big(\big)} \,}$ ）を $A$ の随伴行列（$\text{adjoint matrix / conjugate transpose}$）といい、$A^{\ast}$ と表す。
関連する事項
次の行列は、 随伴行列を用いて定義される。
- エルミート行列（$A^{\ast} = A$）
- 歪エルミート行列（$A^{\ast} = -A$）
- 正規行列（$A A^{\ast} = A^{\ast} A$）
- ユニタリ行列（$A A^{\ast} = A^{\ast} A = E$）
エルミート行列（実対称行列）の定義
正方行列 $A$ が $A^{\ast} = A$ を満たすとき、$A$ をエルミート行列（$\text{hermitian matrix}$）という。
エルミート行列の成分がすべて実数である場合、特に、実対称行列という。
歪エルミート行列（実交代行列）の定義
正方行列 $A$ が $A^{\ast} = -A$ を満たすとき、$A$ を歪エルミート行列（$\text{skew-hermitian matrix}$）という。
歪エルミート行列の成分がすべて実数である場合、特に、実交代行列という。
ユニタリ行列（直交行列）の定義
正方行列 $A$ が $A A^{\ast} = A^{\ast} A = E$ を満たすとき、ユニタリ行列（$\text{unitary matrix}$）という。
ユニタリ行列の成分がすべて実数である場合、特に、直交行列（$\text{orthogonal matrix}$）という。すなわち、$A$ が直交行列であるとき、$A \, {}^{t} A = {}^{t} A \, A = E$ が成り立つ。
正規行列の定義
正方行列 $A$ が $A A^{\ast} = A^{\ast} A$ を満たすとき、正規行列（$\text{normal matrix}$）という。
関連する事項
次の行列は、 正規行列の例である。
- エルミート行列（$A^{\ast} = A$）
- 実対称行列（${}^{t} A = A$）
- 歪エルミート行列（$A^{\ast} = -A$）
- 実交代行列（${}^{t} A = -A$）
- ユニタリ行列（$A A^{\ast} = A^{\ast} A = E$）
- 直交行列（$A \, {}^{t} A = {}^{t} A \, A = E$）
参考文献
[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
[3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010.
[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008.
[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022.
[8] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.
初版：2023-01-15 | 改訂：2025-05-12
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