種々の行列まとめ

固有の名称で呼ばれる、種々の行列について整理します。

種々の行列（一覧）

零行列（ $O$ ）
正方行列
対角行列
単位行列（ $E$ ）
正則行列（ $A A^{-1} = A^{-1} A = E$ ）
三角行列
- 上三角行列
- 下三角行列
転置行列（ ${}^t A$ ）
- 対称行列（ ${}^t A = A$ ）
- 交代行列（ ${}^t A = -A$ ）
共役行列（ $\overline{A}$ ）
随伴行列（ $A^{\ast} = {}^t \overline{A}$ ）
- エルミート行列（ $A^{\ast} = A$ ） $\cdots$ 実対称行列
- 歪エルミート行列（ $A^{\ast} = -A$ ） $\cdots$ 実交代行列
- 正規行列（ $A A^{\ast} = A^{\ast} A$ ）
- ユニタリ行列（ $A A^{\ast} = A^{\ast} A = E$ ） $\cdots$ 直行行列

零行列

零行列の定義

成分がすべて $0$ であるような $(m, n)$ 型の行列を $(m, n)$ 型の零行列（ $\text{zero matrix}$ ）といい、 $O_{m, n}$ と表す。混同のおそれがない場合は、単に $O$ とも表す。

\begin{align*} O_{m, n} = \begin{pmatrix} \; 0 & \cdots & 0 \; \\ \; \vdots & \ddots & \vdots \; \\ \; 0 & \cdots & 0 \; \\ \end{pmatrix} \end{align*}

正方行列

正方行列の定義

行の数と列の数が等しい行列を正方行列（ $\text{square matrix}$ ）という。特に、 $(n, n)$ 型の行列を $n$ 次の正方行列という。

\begin{align*} A = \begin{pmatrix} \; a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \; \\ \; a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \; \\ \; \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \; \\ \; a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \; \\ \end{pmatrix} \end{align*}

対角行列

対角行列の定義

対角成分以外の成分がすべて $0$ である行列を対角行列（ $\text{diagonal matrix}$ ）という。

\begin{align*} A = \begin{pmatrix} \; a_{11} & 0 & \cdots & 0 \; \\ \; 0 & a_{22} & \cdots & 0 \; \\ \; \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \; \\ \; 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \; \\ \end{pmatrix} \end{align*}

単位行列

単位行列の定義

対角成分が $1$ で、それ以外の成分がすべて $0$ である行列を単位行列（ $\text{unit matrix}$ ）という。 $n$ 次の単位行列を $E_n$ と表す。また、混同のおそれがない場合は、単に $E$ とも表す。

\begin{align*} E_n = \begin{pmatrix} \; 1 & 0 & \cdots & 0 \; \\ \; 0 & 1 & \cdots & 0 \; \\ \; \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \; \\ \; 0 & 0 & \cdots & 1 \; \\ \end{pmatrix} \end{align*}

正則行列

正則行列の定義

$n$ 次の正方行列 $A$ に対して、 $AB = BA = E$ となる行列 $B$ が存在するとき、 $A$ を正則行列（ $\text{regular /}$ $\text{invertible /}$ $\text{non-singular matrix}$ ）という。

また、このとき $B$ を $A$ の逆行列（ $\text{inverse / inverse matrix}$ ）といい $A^{-1}$ と表す。

三角行列

次の上三角行列と下三角行列を合わせて、三角行列（ $\text{triangular matrix}$ ）という。

上三角行列の定義

正方行列において、対角線より左下の成分がすべて $0$ であるような行列を上三角行列（ $\text{upper / right triangular matrix}$ ）という。

\begin{align*} A = \begin{pmatrix} \; a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \; \\ \; 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \; \\ \; \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \; \\ \; 0 & 0 & \cdots & a_{n n} \; \\ \end{pmatrix} \end{align*}

下三角行列の定義

正方行列において、対角線より右上の成分がすべて $0$ であるような行列を下三角行列（ $\text{lower / left triangular matrix}$ ）という。

\begin{align*} A = \begin{pmatrix} \; a_{11} & 0 & \cdots & 0 \; \\ \; a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \; \\ \; \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \; \\ \; a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{n n} \; \\ \end{pmatrix} \end{align*}

転置行列

転置行列の定義

$(m, n)$ 型の行列 $A$ に対して、 $A$ の $(i, j)$ 成分を $(j, i)$ 成分とする $(n, m)$ 型の行列を $A$ の転置行列（ $\text{transpose / transposed matrix}$ ）といい、 ${}^t A$ と表す。

\begin{align*} A &= \begin{pmatrix} \; a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \; \\ \; a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \; \\ \; \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \; \\ \; a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \; \\ \end{pmatrix} , \\ \\ {}^t A & \, = \begin{pmatrix} \; a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \; \\ \; a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \; \\ \; \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \; \\ \; a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \; \\ \end{pmatrix} \end{align*}

対称行列の定義

正方行列 $A$ が ${}^t A = A$ を満たすとき、 $A$ を対称行列（ $\text{symmetric matrix}$ ）という。

交代行列の定義

正方行列 $A$ が ${}^t A = -A$ を満たすとき、 $A$ を交代行列（ $\text{alternate matrix}$ ）という。

共役行列

共役行列の定義

行列 $A = (\, a_{ij} \,)$ に対して、 $A$ の $(i, j)$ 成分 $a_{ij}$ の共役複素数 $\overline{a_{ij}}$ を $(i, j)$ 成分とする行列を $A$ の共役行列（ $\text{conjugate matrix}$ ）といい、 $\overline{A}$ と表す。

随伴行列

随伴行列の定義

行列 $A$ に対して、 $A$ の共役行列の転置行列（ ${}^t \overline{A}$ ）を $A$ の随伴行列（ $\text{adjoint matrix / conjugate transpose}$ ）といい、 $A^{\ast}$ と表す。

エルミート行列（実対称行列）の定義

正方行列 $A$ が $A^{\ast} = A$ を満たすとき、 $A$ をエルミート行列（ $\text{hermitian matrix}$ ）という。エルミート行列の成分がすべて実数である場合、特に、実対称行列という。

歪エルミート行列（実交代行列）の定義

正方行列 $A$ が $A^{\ast} = -A$ を満たすとき、 $A$ を歪エルミート行列（ $\text{skew-hermitian matrix}$ ）という。歪エルミート行列の成分がすべて実数である場合、特に、実交代行列という。

正規行列の定義

正方行列 $A$ が $A A^{\ast} = A^{\ast} A$ を満たすとき、正規行列（ $\text{normal matrix}$ ）という。

ユニタリ行列（直交行列）の定義

正方行列 $A$ が $A A^{\ast} = A^{\ast} A = E$ を満たすとき、ユニタリ行列（ $\text{unitary matrix}$ ）という。ユニタリ行列の成分がすべて実数である場合、特に、直交行列（ $\text{orthogonal matrix}$ ）という。

参考文献

[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
[3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010.
[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[6] 雪江明彦. 代数学

1

群論入門. 日本評論社. 2010.
[7] 雪江明彦. 代数学

2

環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[8] 桂利行. 代数学

\text{I}

群と環. 東京大学出版会. 2004.
[9] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[10] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[11] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2005.
[12] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[13] 青本和彦他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.

初版：2023-01-15 | 改訂：2025-02-06

行列の区分け（2）

置換の定義

La

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種々の行列まとめ

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零行列

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正方行列

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