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種々の行列
固有の名称で呼ばれる種々の行列について整理します。詳しくは各行列の定義の項などを参照ください。
一覧
- 零行列（$O$）
- 正方行列
- 対角行列
- 単位行列（$E$）
- 正則行列（$A A^{-1} = A^{-1} A = E$）
- 三角行列
- 転置行列（${}^t A$）
- 共役行列（$\overline{A}$）
- 随伴行列（$A^{\ast} = {}^t \overline{A}$）
零行列
成分がすべて $0$ であるような $(m, n)$ 型の行列を $(m, n)$ 型の零行列（$\text{zero matrix}$）といい、$O_{m, n}$ と表す。混同のおそれがない場合は、単に $O$ とも表す。
$$
\begin{align*}
O_{m, n} = \begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
関連する事項
正方行列
行の数と列の数が等しい行列を正方行列（$\text{square matrix}$）という。特に、$(n, n)$ 型の行列を $n$ 次の正方行列という。
$$
\begin{align*}
A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
関連する事項
- 基本的で重要な行列
- 以降に示す行列は、転置行列と共役行列を除いて正方行列である。
対角行列
対角成分以外の成分がすべて $0$ である行列を対角行列（$\text{diagonal matrix}$）という。
$$
\begin{align*}
A = \begin{pmatrix}
a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & a_{22} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{nn} \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
関連する事項
- 基本的で重要な行列
- [対角行列の行列式]（/la/3/5/property-of-determinant-8/）
単位行列
対角成分が $1$ で、それ以外の成分がすべて $0$ である行列を単位行列（$\text{unit matrix}$）という。$n$ 次の単位行列を $E_n$ と表す。また、混同のおそれがない場合は、単に $E$ とも表す。
$$
\begin{align*}
E_n = \begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
関連する事項
- 基本的で重要な行列
- 単位行列は、クロネッカーのデルタ $\delta_{ij}$ により、$E = (\, \delta_{ij} \,)$ と表せる。
正則行列
$n$ 次の正方行列 $A$ に対して、$AB = BA = E$ となる行列 $B$ が存在するとき、$A$ を正則行列（$\text{regular /}$ $\text{invertible /}$ $\text{non-singular matrix}$）という。また、このとき $B$ を $A$ の逆行列（$\text{inverse / inverse matrix}$）といい $A^{-1}$ と表す。
関連する事項
三角行列
上三角行列と下三角行列を合わせて、三角行列（$\text{triangular matrix}$）という。
関連する事項
上三角行列
正方行列において、対角線より左下の成分がすべて $0$ であるような行列を上三角行列（$\text{upper / right triangular matrix}$）という。
$$
\begin{align*}
A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{n n} \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
関連する事項
下三角行列
正方行列において、対角線より右上の成分がすべて $0$ であるような行列を下三角行列（$\text{lower / left triangular matrix}$）という。
$$
\begin{align*}
A = \begin{pmatrix}
a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{n n} \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
関連する事項
転置行列
$(m, n)$ 型の行列 $A$ に対して、$A$ の $(i, j)$ 成分を $(j, i)$ 成分とする $(n, m)$ 型の行列を $A$ の転置行列（$\text{transpose / transposed matrix}$）といい、${}^t A$ と表す。
$$
\begin{align*}
\begin{array} {ccc}
A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{pmatrix} , & &
{}^t A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \\
\end{pmatrix}
\end{array}
\end{align*}
$$
関連する事項
- 転置行列の定義
- $A = (\, a_{ij} \,)$ に対して $A$ の転置行列を ${}^t A = B = (\, b_{ji} \,)$ と置くと、$a_{ij} = b_{ji}$ が成り立つ。
- 転置行列の行列式
対称行列
正方行列 $A$ が ${}^t A = A$ を満たすとき、$A$ を対称行列（$\text{symmetric matrix}$）という。
関連する事項
- 転置行列の定義
- $A$ が対称行列であれば、$a_{ij} = a_{ji}$ が成り立つ。
交代行列
正方行列 $A$ が ${}^t A = -A$ を満たすとき、$A$ を交代行列（$\text{alternate matrix}$）という。
関連する事項
- 転置行列の定義
- $A$ が交代行列であれば、$a_{ij} = - a_{ji}$ が成り立つ。
共役行列
行列 $A = (\, a_{ij} \,)$ に対して、$A$ の $(i, j)$ 成分 $a_{ij}$ の共役複素数 $\overline{a_{ij}}$ を $(i, j)$ 成分とする行列を $A$ の共役行列（$\text{conjugate matrix}$）といい、$\overline{A}$ と表す。
随伴行列
行列 $A$ に対して、$A$ の共役行列の転置行列（${}^t \overline{A}$）を $A$ の随伴行列（$\text{adjoint matrix / conjugate transpose}$）といい、$A^{\ast}$ と表す。
エルミート行列
正方行列 $A$ が $A^{\ast} = A$ を満たすとき、$A$ をエルミート行列（$\text{hermitian matrix}$）という。
関連する事項
- エルミート行列の成分がすべて実数である場合、特に、実対称行列という。
歪エルミート行列
正方行列 $A$ が $A^{\ast} = -A$ を満たすとき、$A$ を歪エルミート行列（$\text{skew-hermitian matrix}$）という。
関連する事項
- 歪エルミート行列の成分がすべて実数である場合、特に、実交代行列という。
正規行列
正方行列 $A$ が $A A^{\ast} = A^{\ast} A$ を満たすとき、正規行列（$\text{normal matrix}$）という。
ユニタリ行列
正方行列 $A$ が $A A^{\ast} = A^{\ast} A = E$ を満たすとき、ユニタリ行列（$\text{unitary matrix}$）という。
関連する事項
- ユニタリ行列の成分がすべて実数である場合、特に、直交行列（$\text{orthogonal matrix}$）という。
参考文献
[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
[3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010.
[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[6] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[7] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[8] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[9] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[10] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[11] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2005.
[12] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[13] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.
初版：2023-01-15 | 改訂：2024-09-02