ベクトルの成分表示 目次 平面（または空間）上のベクトルを成分により表す方法を導入します。
ベクトルをその成分で表すことで、幾何的に定義 したベクトルを代数的に扱うことができます。ただし、ベクトルの成分表示は与えられた座標系に依存する点に注意が必要です。
ベクトルの成分表示# 定義 1.5（ベクトルの成分）# 平面上に 1 1 1 a = ( P Q → ) \bm{a} = (\, \overrightarrow{PQ} \,) a = ( PQ ) P P P ( p 1 , p 2 ) (p_{1}, \, p_{2}) ( p 1 , p 2 ) Q Q Q ( q 1 , q 2 ) (q_{1}, \, q_{2}) ( q 1 , q 2 ) a 1 , a 2 a_{1}, \, a_{2} a 1 , a 2 a \bm{a} a component \text{component} component
{ a 1 = q 1 − p 1 a 2 = q 2 − p 2
\begin{equation*}
\left\{ \; \begin{split}
a_{1} &= q_{1} - p_{1} \\
a_{2} &= q_{2} - p_{2} \\
\end{split} \right.
\end{equation*}
{ a 1 a 2 = q 1 − p 1 = q 2 − p 2
このとき、ベクトル a \bm{a} a
a = ( a 1 a 2 )
\begin{equation*}
\bm{a} = \begin{pmatrix}
\, a_{1} \, \\ \, a_{2} \,
\end{pmatrix}
\end{equation*}
a = ( a 1 a 2 )
成分表示の意義（幾何ベクトルを代数的に扱う）# ベクトルの成分表示は幾何的に定義したベクトル（幾何ベクトル） を実数の組と対応付けるものです。平面上のベクトル a = ( P Q → ) \bm{a} = (\, \overrightarrow{PQ} \,) a = ( PQ ) 2 2 2 ( a 1 , a 2 ) (a_{1}, \, a_{2}) ( a 1 , a 2 ) a \bm{a} a
ベクトルの成分表示により、幾何ベクトルを代数的に扱うことができます。ベクトルを扱う際に、合同や平行といった幾何的な概念だけでなく、四則演算などの代数的な取り扱いが可能になります。そのような意味で、ベクトルの成分表示は、大変強力な手段となります。
上記の定義 は平面上のベクトルに関するものですが、空間内のベクトルについても同様に定義できます。空間内のベクトルには、与えられた座標により 3 3 3
ベクトルの成分表示は一意に定まる# 平面上のベクトル a = ( P Q → ) \bm{a} = (\, \overrightarrow{PQ} \,) a = ( PQ ) Q Q Q P P P P P P Q Q Q a \bm{a} a a \bm{a} a a \bm{a} a
仮に、下図のように a = ( P Q → ) = ( P ′ Q ′ → ) \bm{a} = (\, \overrightarrow{PQ} \,) = (\, \overrightarrow{P^{\prime}Q^{\prime}} \,) a = ( PQ ) = ( P ′ Q ′ ) a \bm{a} a
上図において、P , Q , P ′ , Q ′ P, Q, P^{\prime}, Q^{\prime} P , Q , P ′ , Q ′ ( p 1 , p 2 ) , (p_{1}, \, p_{2}), ( p 1 , p 2 ) , ( q 1 , q 2 ) , \, (q_{1}, \, q_{2}), ( q 1 , q 2 ) , ( p 1 ′ , p 2 ′ ) , (p^{\prime}_{1}, \, p^{\prime}_{2}), ( p 1 ′ , p 2 ′ ) , ( q 1 ′ , q 2 ′ ) \, (q^{\prime}_{1}, \, q^{\prime}_{2}) ( q 1 ′ , q 2 ′ ) P Q / / P ′ Q ′ PQ \, /\!/ \, P^{\prime}Q^{\prime} PQ / / P ′ Q ′ ∠ Q P R = ∠ Q ′ P ′ R ′ , \angle QPR = \angle Q^{\prime}P^{\prime}R^{\prime}, ∠ QPR = ∠ Q ′ P ′ R ′ , ∠ P Q R = ∠ P ′ Q ′ R ′ \, \angle PQR = \angle P^{\prime}Q^{\prime}R^{\prime} ∠ PQR = ∠ P ′ Q ′ R ′ P Q PQ PQ P ′ Q ′ P^{\prime}Q^{\prime} P ′ Q ′ P Q = P ′ Q ′ PQ = P^{\prime}Q^{\prime} PQ = P ′ Q ′ 1 1 1 △ P Q R ≡ △ P ′ Q ′ R ′ \triangle PQR \equiv \triangle P^{\prime}Q^{\prime}R^{\prime} △ PQR ≡ △ P ′ Q ′ R ′ P R = P ′ R ′ , PR = P^{\prime}R^{\prime}, PR = P ′ R ′ , Q R = Q ′ R ′ QR = Q^{\prime}R^{\prime} QR = Q ′ R ′
{ P R = P ′ R ′ Q R = Q ′ R ′ ⇒ { q 1 − p 1 = q 1 ′ − p 1 ′ ( = a 1 ) q 2 − p 2 = q 2 ′ − p 2 ′ ( = a 2 )
\begin{gather*}
\left\{ \begin{array} {c}
PR = P^{\prime}R^{\prime} \\
QR = Q^{\prime}R^{\prime} \\
\end{array} \right. \\
\Rightarrow \; \left\{ \begin{array} {c}
q_{1} - p_{1} = q^{\prime}_{1} - p^{\prime}_{1} \; (\; = a_{1} ) \\
q_{2} - p_{2} = q^{\prime}_{2} - p^{\prime}_{2} \; (\; = a_{2} ) \\
\end{array} \right.
\end{gather*}
{ PR = P ′ R ′ QR = Q ′ R ′ ⇒ { q 1 − p 1 = q 1 ′ − p 1 ′ ( = a 1 ) q 2 − p 2 = q 2 ′ − p 2 ′ ( = a 2 )
これは、2 2 2 ( P Q → ) , ( P ′ Q ′ → ) (\, \overrightarrow{PQ} \,), \,(\, \overrightarrow{P^{\prime}Q^{\prime}} \,) ( PQ ) , ( P ′ Q ′ ) a \bm{a} a
ベクトルの成分表示は座標系に依存する# ベクトル a \bm{a} a
つまり、ベクトルの成分表示は与えられた座標系に依存するものであり、座標系が異なれば、同じベクトルでもその成分表示は異なります。
例えば、次のような平面上のベクトル a = ( P Q → ) \bm{a} = (\, \overrightarrow{PQ} \,) a = ( PQ ) P P P Q Q Q a \bm{a} a
逆ベクトルと零ベクトルの成分表示# 逆ベクトル# ベクトル a = ( a 1 a 2 ) \bm{a} = \begin{pmatrix} \, a_{1} \, \\ \, a_{2} \, \end{pmatrix} a = ( a 1 a 2 ) a \bm{a} a − a = ( − a 1 − a 2 ) - \bm{a} = \begin{pmatrix} \, - a_{1} \, \\ \, - a_{2} \, \end{pmatrix} − a = ( − a 1 − a 2 )
これは、逆ベクトルの定義 から、a = ( P Q → ) \bm{a} = (\, \overrightarrow{PQ} \,) a = ( PQ ) − a = ( Q P → ) - \bm{a} = (\, \overrightarrow{QP} \,) − a = ( QP ) a \bm{a} a − a - \bm{a} − a
零ベクトル# 零ベクトルは、成分表示により 0 = ( 0 0 ) \bm{0} = \begin{pmatrix} \, 0 \, \\ \, 0 \, \end{pmatrix} 0 = ( 0 0 )
これも、零ベクトルの定義 や、零ベクトルが始点と終点の等しい有向線分により定まることから明らかといえます。
位置ベクトル# 定義 1.6（位置ベクトル）# 平面上に座標系が与えられており、その原点を O O O P P P O O O P P P p = ( O P → ) \bm{p} = (\, \overrightarrow{OP} \,) p = ( OP ) P P P position \text{position} position vector \text{vector} vector
位置ベクトルは座標系に依存する# 上記の定義 からわかる通り、位置ベクトルは与えられた座標系に依存します。平面上のどこに原点 O O O
このことを強調する意味で、位置ベクトル p \bm{p} p “この座標系に関する” 位置ベクトル（[1] ）や、“原点 O O O 位置ベクトル（[4] ）等と表現されることがあります。
位置ベクトルの成分と座標# 位置ベクトルは、平面上の点とベクトルを対応させるものです。すなわち、座標系が与えられているとき、平面上の点 P P P p \bm{p} p
例えば、上図のように、直交座標系が与えられており、点 P P P ( p 1 , p 2 ) (p_{1}, p_{2}) ( p 1 , p 2 ) P P P p \bm{p} p
p = ( p 1 p 2 )
\begin{equation*}
\bm{p} = \begin{pmatrix}
\, p_{1} \, \\ \, p_{2} \,
\end{pmatrix}
\end{equation*}
p = ( p 1 p 2 )
幾何ベクトルと数ベクトルの対応# 上記 の考察の通り、与えられた座標系に対してベクトルの成分表示が一意に定まるということは、平面上のベクトル a \bm{a} a 2 2 2 ( a 1 , a 2 ) (a_{1}, \, a_{2}) ( a 1 , a 2 ) 1 1 1 1 1 1
このように、いくつかの数を 1 1 1 numerical \text{numerical} numerical vector \text{vector} vector n n n n n n x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} x 1 , x 2 , ⋯ , x n x \bm{x} x
x = ( x 1 x 2 ⋮ x n )
\bm{x} = \begin{pmatrix}
\; x_{1} \; \\ \; x_{2} \; \\ \; \vdots \; \\ \; x_{n} \; \\
\end{pmatrix}
x = x 1 x 2 ⋮ x n
平面上のベクトルは、位置ベクトル により 2 2 2 3 3 3 2 2 2 R 2 \mathbb{R}^{2} R 2 3 3 3 R 3 \mathbb{R}^{3} R 3 1 1 1 1 1 1
この対応関係は、後にベクトル空間の同型 として一般化されます。ベクトル空間が互いに同型であるとき、それぞれが集合として等しい（要素が 1 1 1 1 1 1
まとめ# 平面上に直交座標系が与えられているとき、平面上のベクトル a = ( P Q → ) \bm{a} = (\, \overrightarrow{PQ} \,) a = ( PQ ) P P P ( p 1 , p 2 ) (p_{1}, \, p_{2}) ( p 1 , p 2 ) Q Q Q ( q 1 , q 2 ) (q_{1}, \, q_{2}) ( q 1 , q 2 ) a \bm{a} a a 1 , a 2 a_{1}, a_{2} a 1 , a 2
a = ( a 1 a 2 ) = ( q 1 − p 1 q 2 − p 2 )
\begin{split}
\bm{a}
&= \begin{pmatrix}
\, a_{1} \, \\ \, a_{2} \,
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\, q_{1} - p_{1} \, \\ \, q_{2} - p_{2} \,
\end{pmatrix} \\
\end{split}
a = ( a 1 a 2 ) = ( q 1 − p 1 q 2 − p 2 )
ベクトルの成分表示により、幾何的に定義されたベクトルを代数的に扱うことができる。 ベクトルの成分表示は、座標系に依存する。座標系が固定されていれば、ベクトルの成分表示は一意に定まる。 座標系が異なれば、同じベクトルでもその成分表示は異なる。 平面上に座標系が与えられているとき、平面上の点 P P P O O O P P P p = ( O P → ) \bm{p} = (\, \overrightarrow{OP} \,) p = ( OP ) P P P
[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966. [2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986. [3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010. [4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018. [5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008. [6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987. [7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022. [8] 雪江明彦. 代数学 1 1 1 [9] 雪江明彦. 代数学 2 2 2 [10] 桂利行. 代数学 I \text{I} I [11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976. [12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965. [13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002. [14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014. [15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.
初版：2023-08-07 | 改訂：2024-12-04
