点と直線の距離（1）

平面上の点と直線の距離を与える公式を導きます。

ここでは、 方向ベクトルを用いたベクトル方程式により直線が与えられたとき、平面上の任意の点と直線の距離を求める公式を導きます。また、ベクトルで表現された点と直線の距離の公式が、座標系が与えられている場合の（一次方程式で表現された）公式と対応することを確かめます。

点と直線の距離（方向ベクトル）#

まず、平面上の直線が方向ベクトルに関するベクトル方程式によって与えられている場合について、点と直線の距離の公式を示します。

定理 1.9（平面上の点と直線の距離（方向ベクトル））#

平面上の直線 $l$ がベクトル方程式 $\bm{x} = \bm{x}_{0} + t \bm{a}$ により与えられているとする。このとき、平面上の点 $X_{1}$ の位置ベクトルを $\bm{x}_{1}$ とすると、点 $X_{1}$ と直線 $l$ の距離 $d$ は次の式により与えられる。

解説#

方向ベクトルによる点と直線の距離の公式#

（1.3.6）式は平面上の任意の点と直線の距離を与える公式であり、 方向ベクトルに関するベクトル方程式により直線が与えられている場合に用いることができます。

前項に示した通り、直線を与えるベクトル方程式は（$1$） 方向ベクトルによるものと（$2$） 法線ベクトルによるものがあります。

定理 1.9（平面上の点と直線の距離（方向ベクトル））は（$1$） 方向ベクトルの場合に対応する公式です。（$2$） 法線ベクトルを用いたベクトル方程式により直線が与えられている場合の公式については、 次項に示します。

点と直線の距離を定めるベクトル#

（1.3.6）式より、点と直線の距離は、点 $X_{1}$ の位置ベクトル $\bm{x}_{1}$ と直線 $l$ を定めるベクトル（$\bm{x}_{0}$ と $\bm{a}$）により定まることがわかります。

点 $X_{1}$ と直線 $l$ の距離 $d$ は、次のように図示されます。

上図において、点 $X_{1}$ から直線 $l$ に下ろした垂線の足を $X_{1}^{\prime}$ とすると、点 $X_{1}$ と直線 $l$ の距離 $d$ は線分 $X_{1} X_{1}^{\prime}$ の長さに他なりません。すなわち、$d = X_{1} X_{1}^{\prime}$ であり、$X_{1}^{\prime}$ の位置ベクトルを $\bm{x}_{1}^{\prime}$ とすれば、$d = \lVert \, \bm{x}_{1} - \bm{x}_{1}^{\prime} \, \rVert$ となります。

ただし、垂線の足 $X_{1}^{\prime}$ の位置ベクトル $\bm{x}_{1}^{\prime}$ は、点と直線の距離を定める公式 （1.3.6）式には表れません。これは、点 $X_{1}$ と直線 $l$ が定まっていれば、$X_{1}$ から $l$ に下ろした垂線の足が（自ずから）ただ $1$ つに定まるためです。

証明（定理 1.9）#

$X_{1}$ から直線 $l$ に下ろした垂線の足を $X_{1}^{\prime}$ として、$X_{1}^{\prime}$ の位置ベクトルを $\bm{x}_{1}^{\prime}$ とする。このとき、垂線 $X_{1} X_{1}^{\prime}$ が直線 $l$ に直交することと $X_{1}^{\prime}$ が直線 $l$ 上の点であることから、$\bm{x}_{1}^{\prime}$ に関して次が成り立つ。

したがって、

いま、$d = \lVert \, \bm{x}_{1} - \bm{x}_{1}^{\prime} \, \rVert$ であることから、$d^{2}$ は次のようになる。

定理 1.5（シュワルツの不等式）より、上式の右辺は $0$ 以上である。また、$d \geqslant 0$ であるから、次が成り立つ。

証明の考え方（定理 1.9）#

垂線の足 $X_{1}^{\prime}$ の位置ベクトルを $\bm{x}_{1}^{\prime}$ として（$1$）$\bm{x}_{1}^{\prime}$ を他の定数ベクトルで表し、（$2$）$d = \lVert \, \bm{x}_{1} - \bm{x}_{1}^{\prime} \, \rVert$ であることから、点と直線の距離を求めます。

（1）垂線の足の位置ベクトルを求める#

• $X_{1}$ から直線 $l$ に下ろした垂線の足を $X_{1}^{\prime}$ として、$X_{1}^{\prime}$ の位置ベクトル $\bm{x}_{1}^{\prime}$ を求めます。

• $\bm{x}_{1}^{\prime}$ に関して成り立つ関係式を整理します。

  • 垂線 $X_{1} X_{1}^{\prime}$ は直線 $l$ に直交します。したがって、ベクトル $\bm{x}_{1}$ と $\bm{x}_{1}^{\prime}$ の差 $\bm{x}_{1} - \bm{x}_{1}^{\prime}$ と直線 $l$ の方向ベクトル $\bm{a}$ も直交します。すなわち、$(\bm{x}_{1} - \bm{x}_{1}^{\prime}) \cdot \bm{a} = 0$ が成り立ちます。
  • $X_{1}^{\prime}$ は直線 $l$ 上の点です。したがって、$\bm{x}_{1}^{\prime}$ は直線 $l$ を与えるベクトル方程式を満たします。すなわち、$\bm{x}_{1}^{\prime} = \bm{x}_{0} + t \bm{a}$ が成り立ちます。
  • これらをまとめると、次の （$\ast$）式のようになります。これは、$\bm{x}_{1}^{\prime}$ と $t$ を未知数とする連立方程式のように捉えることができます。
    $$ \left\{ \begin{array} {c} (\bm{x}_{1} - \bm{x}_{1}^{\prime}) \cdot \bm{a} = 0 \\ \bm{x}_{1}^{\prime} = \bm{x}_{0} + t \bm{a} \end{array} \right. \tag{$\ast$} $$

• （$\ast$）式を解いて $\bm{x}_{1}^{\prime}$ を求めます。

  • 定理 1.4（内積の演算法則）より （$\ast$）式の第 $1$ 式は次のように変形できます。

    $$ \begin{gather*} \bm{x}_{1} \cdot \bm{a} = \bm{x}_{1}^{\prime} \cdot \bm{a} \end{gather*} $$

  • （$\ast$）式の第 $2$ 式の両辺のベクトルと方向ベクトル $\bm{a}$ の内積をとることで $\bm{x}_{1}^{\prime}$ を消去し、まずは $t$ を求めます。ここでも、 定理 1.4（内積の演算法則）と $\bm{x}_{1} \cdot \bm{a} = \bm{x}_{1}^{\prime} \cdot \bm{a}$ であることを利用します。

    $$ \begin{alignat*} {2} && \bm{x}_{1}^{\prime} \cdot \bm{a} &= \bm{x}_{0} \cdot \bm{a} + t \bm{a} \cdot \bm{a} \\ \Leftrightarrow \quad && \bm{x}_{1} \cdot \bm{a} &= \bm{x}_{0} \cdot \bm{a} + t \, {\lVert \, \bm{a} \, \rVert}^{2} \\ \Leftrightarrow \quad && t &= \displaystyle \frac{\, \bm{x}_{1} \cdot \bm{a} - \bm{x}_{0} \cdot \bm{a} \vphantom{(\bm{vp})} \,}{\, {\lVert \, \bm{a} \, \rVert}^{2} \,} \\ \Leftrightarrow \quad && t &= \displaystyle \frac{\, (\bm{x}_{1} - \bm{x}_{0}) \cdot \bm{a} \,}{\, {\lVert \, \bm{a} \, \rVert}^{2} \,} \\ \end{alignat*} $$

  • 上式を （$\ast$）式の第 $2$ 式に代入すると、$\bm{x}_{1}^{\prime}$ が次のように求まります。

    $$ \begin{gather*} \bm{x}_{1}^{\prime} = \bm{x}_{0} + \displaystyle \frac{\, (\bm{x}_{1} - \bm{x}_{0}) \cdot \bm{a} \,}{\, {\lVert \, \bm{a} \, \rVert}^{2} \,} \; \bm{a} \end{gather*} $$

（2）点と直線の距離を求める#

• （$1$）で求めた $\bm{x}_{1}^{\prime}$ を用いて、$d = \lVert \, \bm{x}_{1} - \bm{x}_{1}^{\prime} \, \rVert$ であることから、点と直線の距離を求めます。

• まず、$d^{\, 2}$ を求めます。

  $$ \begin{align*} d^{\, 2} &\overset{(\text{i})}{=} {\lVert \, \bm{x}_{1} - \bm{x}_{1}^{\prime} \, \rVert}^{2} \\ &\overset{(\text{ii})}{=} {\Big\lVert \, (\bm{x}_{1} - \bm{x}_{0}) - \displaystyle \frac{\, (\bm{x}_{1} - \bm{x}_{0}) \cdot \bm{a} \,}{\, {\lVert \, \bm{a} \, \rVert}^{2} \,} \; \bm{a} \, \Big\rVert}^{2} \\ &\overset{(\text{iii})}{=} {\lVert \, (\bm{x}_{1} - \bm{x}_{0}) \rVert}^{2} -2 \, \displaystyle \frac{\, \big\{ (\bm{x}_{1} - \bm{x}_{0}) \cdot \bm{a} \big\}^{2} \,}{\, {\lVert \, \bm{a} \, \rVert}^{2} \,} \\ & \qquad \qquad \quad + \displaystyle \frac{\, \big\{ (\bm{x}_{1} - \bm{x}_{0}) \cdot \bm{a} \big\}^{2} \,}{\, {\lVert \, \bm{a} \, \rVert}^{4} \,} \; {\lVert \, \bm{a} \, \rVert}^{2} \\ &\overset{(\text{iv})}{=} {\lVert \, (\bm{x}_{1} - \bm{x}_{0}) \rVert}^{2} - \displaystyle \frac{\, \big\{ (\bm{x}_{1} - \bm{x}_{0}) \cdot \bm{a} \big\}^{2} \,}{\, {\lVert \, \bm{a} \, \rVert}^{2} \,} \tag{$\ast \ast$} \end{align*} $$

  • （$\text{i}$） 内積の定義より、ベクトル $\bm{x}$ の長さについて $\lVert \, \bm{v} \, \rVert = \sqrt{\, \bm{v} \cdot \bm{v} \vphantom{\bm{vp}^{1}} \,}$ が成り立つことから、${\lVert \, \bm{v} \, \rVert}^{2} = \bm{v} \cdot \bm{v} \vphantom{\bm{vp}^{1}}$ となります。

  • （$\text{ii}$） （$1$）で求めた $\bm{x}_{1}^{\prime}$ を代入すると、$d^{\, 2}$ が $2$ つのベクトル $\bm{x}_{1} - \bm{x}_{0}$ と $\bm{a}$（いずれも定数ベクトル）により表せることがわかります。

  • （$\text{iii}$） 定理 1.4（内積の演算法則）より、次が成り立ちます。

    $$ \begin{gather*} {\lVert \, \bm{v}_{1} - \bm{v}_{2} \, \rVert}^{2} = {\lVert \, \bm{v}_{1} \, \rVert}^{2} - 2 \, \bm{v}_{1} \cdot \bm{v}_{2} + {\lVert \, \bm{v}_{2} \, \rVert}^{2} \vphantom{\bm{vp}^{1}} \end{gather*} $$

  • （$\text{iv}$）式を整理すると、$d^{\, 2}$ は $2$ つのベクトル $\bm{x}_{1} - \bm{x}_{0}$ と $\bm{a}$ の内積と、それぞれの長さの $2$ 乗により表せることがわかります。

• 次に、$d$ を求めます。

  • 定理 1.5（シュワルツの不等式）より、次が成り立ちます。

    $$ \begin{gather*} \lvert \, (\bm{x}_{1} - \bm{x}_{0}) \cdot \bm{a} \, \rvert \leqslant \lVert \, (\bm{x}_{1} - \bm{x}_{0}) \rVert \, \lVert \, \bm{a} \, \rVert \end{gather*} $$

  • したがって、上記の （$\ast \ast$）式について、次が成り立ちます。

    $$ \begin{align*} d^{\, 2} &= {\lVert \, (\bm{x}_{1} - \bm{x}_{0}) \rVert}^{2} - \displaystyle \frac{\, \big\{ (\bm{x}_{1} - \bm{x}_{0}) \cdot \bm{a} \big\}^{2} \,}{\, {\lVert \, \bm{a} \, \rVert}^{2} \,} \tag{$\ast \ast$} \\ &\geqslant {\lVert \, (\bm{x}_{1} - \bm{x}_{0}) \rVert}^{2} - \displaystyle \frac{\, {\lVert \, (\bm{x}_{1} - \bm{x}_{0}) \rVert}^{2} {\lVert \, \bm{a} \, \rVert}^{2} \,}{\, {\lVert \, \bm{a} \, \rVert}^{2} \,} \\ &= 0 \end{align*} $$

  • すなわち、 （$\ast \ast$）式の右辺は $0$ 以上であり、平方根が実数の範囲にあることが確かめられます。

  • また、$d \geqslant 0$ であるので、$d$ は （$\ast \ast$）式の正の平方根であり、次のようになります。

    $$ \begin{gather*} d = \displaystyle \frac{\, \sqrt{\, {\lVert \, \bm{x}_{1} - \bm{x}_{0} \, \rVert}^{2} {\lVert \, \bm{a} \, \rVert}^{2} - \big\{ (\bm{x}_{1} - \bm{x}_{0}) \cdot \bm{a} \big\}^{2} \,} \,}{\, \lVert \, \bm{a} \, \rVert \vphantom{\sqrt{\, {\bm{vp}}^{1} \,}} \,} \\ \end{gather*} $$

• 以上から、点と直線の距離に関する公式 （1.3.6）式が導かれました。

点と直線の距離（座標変数）#

次に、直交座標系が与えられており、平面上の直線が座標変数の一次方程式によって表される場合について、点と直線の距離の公式を示します。

定理 1.10（平面上の点と直線の距離（座標変数））#

平面上に直交座標系が与えられており、直線 $l$ が $x$ と $y$ の一次方程式 $\alpha x + \beta y + \gamma = 0$ により与えられているとする。このとき、平面上の点 $X_{1}$ の座標を $(x_{1}, y_{1})$ とすると、点 $X_{1}$ と直線 $l$ の距離 $d$ は次の式により与えられる。

解説#

座標変数による点と直線の距離の公式#

平面上に直交座標系が与えられているとき、直線 $l$ の方程式は $2$ つの変数（座標変数） $x, y$ に関する一次方程式 $\alpha x + \beta y + \gamma = 0$ の形で表すことができます。

平面上の点 $X_{1}$ の座標を $(x_{1}, y_{1})$ とすると、点 $X_{1}$ と直線 $l$ の距離 $d$ は、上記の （1.3.7）式で与えられることが知られています。これは、高校数学において、図形と方程式等の問題でよく用いられる公式です。

ベクトルによる点と直線の距離の公式との対応#

ベクトルによる点と直線の距離の公式 （1.3.6）式と、座標変数による点と直線の距離の公式 （1.3.7）式は、本質的に同じものです。このことは、下記の 証明からも明らかといえます。すなわち、 定理 1.10（平面上の点と直線の距離（座標変数））は、 定理 1.9（平面上の点と直線の距離（方向ベクトル））から直ちに導くことができます。

公式の違いと使い分け#

後にみるように、方向ベクトルに関するベクトル方程式により直線が与えられる （1.3.6）式は 空間内の点と直線の距離についても成り立ちます。

一方で、座標変数の一次方程式により直線が与えられる （1.3.7）式はあくまで平面上の点と直線に限って成り立ちます。空間上の直線を表すためには、例えば $x, y$ から $x, y, z$ のように、座標変数を $1$ つ増やす必要があり、これにより、式の形が変わるためです。

このような意味で、ベクトルによる点と直線の距離の公式 （1.3.6）式は、座標変数による点と直線の距離の公式 （1.3.7）式よりも、少しだけ一般化されたものであるといえます。

しかしながら、これらの公式はあくまで等価なものであり、平面上の直線がどのような形式で与えられているかによって使い分けることが重要です。平面上の点と直線の距離を与える公式とその使い分けについては、 次項に改めて整理します。

証明（定理 1.10）#

直線 $l$ 上の点 $X_{0}$ の座標を $(x_{0}, y_{0})$ とすると、$X_{0}$ が直線 $l$ 上にあることから、次が成り立つ。

また、$X_{0}$ の位置ベクトルを $\bm{x}_{0}$、直線 $l$ の方向ベクトルを $\bm{a}$ とすると、それぞれ次のように成分表示できる。

このとき、 定理 1.9（平面上の点と直線の距離（方向ベクトル））より、次が成り立つ。

ここで、$X_{0}$ は直線 $l$ 上の点であり $\alpha x_{0} + \beta y_{0} + \gamma = 0$ が成り立つから、

証明の考え方（定理 1.10）#

定理 1.9（平面上の点と直線の距離（方向ベクトル））から直ちに示すことができます。 （1.3.6）式に現れる $2$ つのベクトル $\bm{x}_{1} - \bm{x}_{0}$ と $\bm{a}$ を成分表示することで （1.3.7）式が得られます。

直線 $l$ が座標変数の一次方程式 $\alpha x + \beta y + \gamma = 0$ で与えられているとき、直線 $l$ の方向ベクトル $\bm{a}$ は次のように成分表示できることを用います（ ベクトル方程式と一次方程式の対応（方向ベクトル））。

まとめ#

• 平面上の直線 $l$ がベクトル方程式 $\bm{x} = \bm{x}_{0} + t \bm{a}$ により与えられているとする。平面上の点 $X_{1}$ の位置ベクトルを $\bm{x}_{1}$ とすると、点 $X_{1}$ と直線 $l$ の距離 $d$ は次の式により与えられる。

  $$ \begin{equation*} d = \displaystyle \frac{\, \sqrt{\, {\lVert \, \bm{x}_{1} - \bm{x}_{0} \, \rVert}^{2} {\lVert \, \bm{a} \, \rVert}^{2} - \big\{ (\bm{x}_{1} - \bm{x}_{0}) \cdot \bm{a} \big\}^{2} \,} \,}{\, \lVert \, \bm{a} \, \rVert \vphantom{\sqrt{\, {\bm{vp}}^{1} \,}} \,} \\ \end{equation*} $$

• 平面上に直交座標系が与えられており、直線 $l$ が $x$ と $y$ の一次方程式 $\alpha x + \beta y + \gamma = 0$ により与えられているとする。平面上の点 $X_{1}$ の座標を $(x_{1}, y_{1})$ とすると、点 $X_{1}$ と直線 $l$ の距離 $d$ は次の式により与えられる。

  $$ \begin{equation*} d = \displaystyle \frac{\, \lvert \; \alpha x_{1} + \beta y_{1} + \gamma \; \rvert \,}{\, \sqrt{\, {\alpha}^{2} + {\beta}^{2} \vphantom{ {\bm{VP}}^{1} } \,} \,} \end{equation*} $$

参考文献

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