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平面上の直線の方程式

平面上の直線はベクトルの方程式として表されます。

すなわち、平面上の直線は（11）直線に平行な方向ベクトル、（22）直線に垂直な法線ベクトル、いずれかを用いたベクトル方程式により表すことができます。

直線を表すベクトル方程式

定義 1.8（方向ベクトル）

平面上の直線が、次のベクトルに関する方程式で与えられているとき、a\bm{a} を方向ベクトル（direction\text{direction} vector\text{vector}）という。

x=x0+ta \begin{equation*} \tag{1.3.1} \bm{x} = \bm{x}_{0} + t \bm{a} \end{equation*}


解説

方向ベクトルとは

直線に平行なベクトル

方向ベクトルとは空間内の直線 ll に平行なベクトルです。逆に、方向ベクトルにより直線 ll の向きが定まるともいえます。

方向ベクトルを定める有向線分

方向ベクトルは、直線 ll 上の相異なる 22 点により定まる有向線分によって与えられます。

下図において、a=( PQ→ ),\bm{a} = (\, \overrightarrow{PQ} \,),  a′=( P′Q′→ ),\, \bm{a}^{\prime} = (\, \overrightarrow{P^{\prime}Q^{\prime}} \,),  a′′=( PQ′′→ )\, \bm{a}^{\prime \prime} = (\, \overrightarrow{PQ^{\prime \prime}} \,) はいずれも直線 ll の方向ベクトルといえます。

方向ベクトルを定める有向線分

方向ベクトルの始点のとり方は任意であり、平面上を自由に平行移動することができます（幾何ベクトルの定義）。また、方向ベクトルは直線 ll に平行なベクトルであるので、a=( PQ→ )\bm{a} = (\, \overrightarrow{PQ} \,) と a′′=( PQ′′→ )\bm{a}^{\prime \prime} = (\, \overrightarrow{PQ^{\prime \prime}} \,) のように、互いに逆の向きであるベクトルも同じ直線を与える方向ベクトルといえます。

方向ベクトルの条件

零ベクトルは方向ベクトルになり得ません。すなわち、上記の（1.3.1）式において、a≠0\bm{a} \neq \bm{0} が成り立ちます。

零ベクトルとは、長さが 00 であるようなベクトルのことです（零ベクトルの定義）。零ベクトルは、始点と終点が等しい有向線分によって定まるベクトルであり、長さが 00 で任意の方向を持つベクトルであるともいえます。したがって、定義より、零ベクトルは方向ベクトルになり得ないということです。

教科書により、長さが 11 となるように調整された（正規化された）ベクトルを、特に方向ベクトルと呼ぶ場合があります。しかしながら、いま（1.3.1）式において、必ずしも ∥ a ∥=1\lVert \, \bm{a} \, \rVert = 1 である必要はありません。したがって、ここでは長さにかかわらず、直線 ll の方向を与えるベクトルを方向ベクトルと呼ぶこととします。


直線の方程式（方向ベクトル）

ベクトル方程式（方向ベクトル）

平面上の直線は、ベクトルに関する方程式（ベクトル方程式）として表すことができます。（1.3.1）式は、平面上の直線を表す、方向ベクトルに関するベクトル方程式です。

x=x0+ta \begin{equation*} \tag{1.3.1} \bm{x} = \bm{x}_{0} + t \bm{a} \end{equation*}

ここで、x0,a\bm{x}_{0}, \bm{a} を定数、x\bm{x} を変数のように捉えれば、（1.3.1）式はベクトル x\bm{x} に関する方程式と考えることができます。このような意味で x0,a\bm{x}_{0}, \bm{a} を定数ベクトル、x\bm{x} を変数ベクトルと呼びます。

直線のベクトル方程式の意味（方向ベクトル）

（1.3.1）式は、下図のように表すことができます。

方向ベクトルに関するベクトル方程式により与えられる平面上の直線

すなわち、x0,x\bm{x}_{0}, \bm{x} の終点をそれぞれ X0,XX_{0}, X とすると、（1.3.1）式は、「平面上の点 XX が（X0X_{0} を通り、a\bm{a} に平行な）直線 ll 上にあるための条件」を表す方程式であるといえます。

ベクトル方程式の媒介変数

次のような変形により、（1.3.1）式は、「ベクトル x−x0\bm{x} - \bm{x}_{0} が方向ベクトル a\bm{a} のスカラー倍であるための条件」を表していると捉えることもできます。

x=x0+ta⇔x−x0=ta \begin{alignat*} {2} && \bm{x} &= \bm{x}_{0} + t \bm{a} \\ & \Leftrightarrow & \quad \bm{x} - \bm{x}_{0} &= t \bm{a} \end{alignat*}

ここで tt は任意の実数であり、−∞<t<∞- \infin \lt t \lt \infin です。したがって、t>0t \gt 0 であれば x−x0\bm{x} - \bm{x}_{0} は a\bm{a} と同じ向きのベクトル、t<0t \lt 0 であれば x−x0\bm{x} - \bm{x}_{0} は a\bm{a} と逆の向きのベクトルとなります。

このような実数 tt を、直線の方程式における媒介変数（parameter\text{parameter}）といいます。


直線を表すベクトル方程式と一次方程式の対応（方向ベクトル）

平面上に座標系が与えられているとき、直線を表すベクトル方程式（1.3.1）式は、座標変数に関する一次方程式と同じものになります。

x=x0+ta \begin{equation*} \tag{1.3.1} \bm{x} = \bm{x}_{0} + t \bm{a} \end{equation*}

このことは、次のようにして確かめられます。

座標変数と媒介変数

平面上に座標系が与えられているとき、（1.3.1）式において、定数ベクトル x0,a\bm{x}_{0}, \bm{a} の成分は一意に定まります。また、変数ベクトル x\bm{x} の成分を 22 つの変数（座標変数）を用いて (x,y)(x, y) とすると、x,x0,a\bm{x}, \bm{x}_{0}, \bm{a} の成分表示はそれぞれ次のようになります。

x=( x  y ),x0=( x0  y0 ),a=( a1  a2 ) \begin{array} {ccc} \bm{x} = \begin{pmatrix} \, x \, \\ \, y \, \end{pmatrix}, & \bm{x}_{0} = \begin{pmatrix} \, x_{0} \, \\ \, y_{0} \, \end{pmatrix}, & \bm{a} = \begin{pmatrix} \, a_{1} \, \\ \, a_{2} \, \end{pmatrix} \end{array}

このとき、直線を表すベクトル方程式（1.3.1）式について、次が成り立ちます。

x=x0+ta⇔  {x=x0+a1ty=y0+a2t \begin{align*} & \bm{x} = \bm{x}_{0} + t \bm{a} \\ \Leftrightarrow \; & \left\{ \begin{array} {cc} x = x_{0} + a_{1} t \\ y = y_{0} + a_{2} t \\ \end{array} \right. \tag{1.3.2} \end{align*}

（1.3.2）式は（1.3.1）式を成分ごとに表したものであり、22 つの座標変数 x,yx, y に関する連立一次方程式に他なりません。

媒介変数の消去

（1.3.2）式において、座標変数 x,yx, y はそれぞれ媒介変数 tt により表されているため、次に媒介変数を消去することを考えます。

方向ベクトル a\bm{a} が零ベクトルでない（a≠0\bm{a} \neq \bm{0}） こと（方向ベクトルの条件を参照）から、a1a_{1} と a2a_{2} の少なくとも一方は 00 でないといえます。例えば、a1=0a_{1} = 0 とすると a2≠0a_{2} \neq 0 であり、このとき（1.3.2）式は次のようになります。

{   x=x0y=y0+a2t \left\{ \; \, \begin{align*} x &= x_{0} \\ y &= y_{0} + a_{2} t \\ \end{align*} \right.

ここで、−∞<t<∞- \infin \lt t \lt \infin より yy は任意の実数となるため媒介変数 tt が消去され、直線 ll は yy 軸に平行な直線（x=x0x = x_{0}）となります。同様に a1≠0,a_{1} \neq 0,  a2=0\, a_{2} = 0 とすると、直線 ll は xx 軸に平行な直線（y=y0y = y_{0}）となります。

直線の方程式（一次方程式）との対応

a1a_{1} と a2a_{2} がいずれも 00 でないとすると、（1.3.2）式は更に次のように変形でき、媒介変数 tt を消去できます。

 x−x0 a1= y−y0 a2  ( =t )⇔a2x−a1y−( a2x0−a1y0 )=0(1.3.3) \begin{equation*} \begin{gather*} & \frac{\, x - x_{0} \,}{a_{1}} = \frac{\, y - y_{0} \,}{a_{2}} \; (\, = t \,) \\ \Leftrightarrow & a_{2} x - a_{1} y - (\, a_{2} x_{0} - a_{1} y_{0} \,) = 0 \end{gather*} \end{equation*} \tag{1.3.3}

これは、座標変数 x,yx, y に関する一次方程式に他なりません。また、次のように yy について整理すれば、明らかに、傾き  a2  a1 \displaystyle \frac{\, a_{2} \,}{\, a_{1} \,} の直線を表す方程式であることがわかります。

y= a2  a1 x−( y0− a2  a1 x0 ) \begin{gather*} y = \displaystyle \frac{\, a_{2} \,}{\, a_{1} \,} x - (\, y_{0} - \displaystyle \frac{\, a_{2} \,}{\, a_{1} \,} x_{0} \,) \end{gather*}

以上から、直線を表すベクトル方程式（1.3.1）式から、直線を表す一次方程式（1.3.3）式が得られました。

一次方程式が与えられた場合の方向ベクトル

逆に、直線を表す一次方程式（1.3.3）式から、直線を表すベクトル方程式（1.3.1）式を得ることができます。特に、直線の方程式が αx+βy+γ=0\alpha x + \beta y + \gamma = 0 の形で与えられた場合、（1.3.3）式において、a2=αa_{2} = \alpha かつ −a1=β- a_{1} = \beta となります。したがって、この直線の方向ベクトル a\bm{a} は次のように求まります。

a=( −β  α ) \begin{gather*} \bm{a} = \begin{pmatrix} \, -\beta \, \\ \, \alpha \, \end{pmatrix} \end{gather*}

上記に考察したように、直線を定める方向ベクトルは一意的ではないので、(−β,α)(-\beta, \alpha) は方向ベクトルの 11 つに過ぎません。例えば、(1,− α  β )(1, - \displaystyle \frac{\, \alpha \,}{\, \beta \,}) も同じ直線の方向ベクトルであることは、簡単に確かめられます。


定義 1.9（法線ベクトル）

平面上の直線が次のベクトルに関する方程式で与えられているとき、b\bm{b} を法線ベクトル（normal\text{normal} vector\text{vector}）という。

(x−x0)⋅b=0 \begin{equation*} \tag{1.3.4} (\bm{x} - \bm{x}_{0}) \cdot \bm{b} = 0 \end{equation*}


解説

法線ベクトルとは

直線に垂直なベクトル

法線ベクトルとは直線 ll の方向ベクトル a\bm{a} に垂直なベクトルです。法線ベクトルは、直線 ll の法線（ ll に直交する直線）の方向を与えるベクトル（すなわち、法線の方向ベクトル）であるといえます。また、法線ベクトルは、単に法ベクトルということもあります。

法線ベクトルの条件

方向ベクトルの場合と同様に、零ベクトルは法線ベクトルになり得ません。すなわち、（1.3.4）式において b≠0\bm{b} \neq \bm{0} が成り立ちます。零ベクトルは任意の方向を持つベクトルであるためです。

また、長さが 11 となるように調整された（正規化された）ベクトルを、特に法線ベクトルと呼ぶ場合があります。しかしながら、いま（1.3.4）式において、必ずしも ∥ b ∥=1\lVert \, \bm{b} \, \rVert = 1 である必要はありません。したがって、ここでは長さにかかわらず、直線 ll の法線の方向を与えるベクトルを法線ベクトルと呼ぶこととします。


直線の方程式（法線ベクトル）

ベクトル方程式（法線ベクトル）

平面上の直線は、法線ベクトルに関するベクトル方程式として表すこともできます。この場合、直線を表すベクトル方程式は（1.3.4）式のようになります。

(x−x0)⋅b=0 \begin{equation*} \tag{1.3.4} (\bm{x} - \bm{x}_{0}) \cdot \bm{b} = 0 \end{equation*}

法線ベクトルに関するベクトル方程式（1.3.4）式では、方向ベクトルに関するベクトル方程式（1.3.1）式と異なり、媒介変数が現れません。

直線のベクトル方程式の意味（法線ベクトル）

（1.3.4）式は、ベクトル x−x0\bm{x} - \bm{x}_{0} と法線ベクトル b\bm{b} の内積が 00 であることを示しています。内積の定義より、これは「 x−x0\bm{x} - \bm{x}_{0} と b\bm{b} のなす角が直角であるための条件」を表していると捉えることができます。

また、（1.3.4）式は、下図のように表すことができます。

法線ベクトルに関するベクトル方程式により与えられる平面上の直線

すなわち、x0,x\bm{x}_{0}, \bm{x} の終点をそれぞれ X0,XX_{0}, X とすると、（1.3.4）式は、「平面上の点 XX が（X0X_{0} を通り、b\bm{b} に垂直な）直線 ll 上にあるための条件」を表す方程式であるといえます。


直線を表すベクトル方程式と一次方程式の対応（法線ベクトル）

平面上に座標系が与えられているとき、直線を表すベクトル方程式（1.3.4）式は、座標変数に関する一次方程式と同じものになります。

(x−x0)⋅b=0 \begin{equation*} \tag{1.3.4} (\bm{x} - \bm{x}_{0}) \cdot \bm{b} = 0 \end{equation*}

このことは、次のようにして確かめられます。

座標変数の導入

平面上に座標系が与えられているとき、（1.3.4）式において、定数ベクトル x0,b\bm{x}_{0}, \bm{b} の成分は一意に定まります。また、変数ベクトル x\bm{x} の成分を 22 つの変数（座標変数）を用いて (x,y)(x, y) とすると、x,x0,a\bm{x}, \bm{x}_{0}, \bm{a} の成分表示はそれぞれ次のようになります。

x=( x  y ),x0=( x0  y0 ),a=( a1  a2 ) \begin{array} {ccc} \bm{x} = \begin{pmatrix} \, x \, \\ \, y \, \end{pmatrix}, & \bm{x}_{0} = \begin{pmatrix} \, x_{0} \, \\ \, y_{0} \, \end{pmatrix}, & \bm{a} = \begin{pmatrix} \, a_{1} \, \\ \, a_{2} \, \end{pmatrix} \end{array}

このとき、定理 1.3（ベクトルの内積）より、直線を表すベクトル方程式（1.3.4）式について、次が成り立ちます。

(x−x0)⋅b=0⇔(x−x0) b1+(y−y0) b2=0⇔b1x+b2y−( b1x0+b2y0 )=0(1.3.5) \begin{equation*} \begin{gather*} & (\bm{x} - \bm{x}_{0}) \cdot \bm{b} = 0 \\ \Leftrightarrow & (x - x_{0}) \, b_{1} + (y - y_{0}) \, b_{2} = 0 \\ \Leftrightarrow & b_{1} x + b_{2} y - (\, b_{1} x_{0} + b_{2} y_{0} \,) = 0 \end{gather*} \end{equation*} \tag{1.3.5}

（1.3.5）式は（1.3.4）式を成分により表したものであり、22 つの変数 x,yx, y に関する一次方程式に他なりません。

直線の方程式（一次方程式）との対応

法線ベクトル b\bm{b} が零ベクトルでない（b≠0\bm{b} \neq \bm{0}） ことから、b1b_{1} と b2b_{2} の少なくとも一方は 00 でないといえます。例えば、b1=0b_{1} = 0 とすると b2≠0b_{2} \neq 0 であり、このとき（1.3.5）式は次のようになります。

b2y−b2y0=0⇔(y−y0) b2=0⇒y=y0 \begin{gather*} & b_{2} y - b_{2} y_{0} = 0 \\ \Leftrightarrow & (y - y_{0}) \, b_{2} = 0 \\ \Rightarrow & y = y_{0} \end{gather*}

すなわち、直線 ll は xx 軸に平行な直線（y=y0y = y_{0}）となります。同様に b1≠0,b_{1} \neq 0,  b2=0\, b_{2} = 0 とすると、直線 ll は yy 軸に平行な直線（x=x0x = x_{0}）となります。

b1b_{1} と b2b_{2} がいずれも 00 でないとすると、（1.3.5）式更に次のように変形できます。これは、明らかに、傾き − b1  b2 - \displaystyle \frac{\, b_{1} \,}{\, b_{2} \,} の直線を表す方程式であることがわかります。

y=− b1  b2 x+( y0+ b1  b2 x0 ) \begin{gather*} y = - \displaystyle \frac{\, b_{1} \,}{\, b_{2} \,} x + (\, y_{0} + \displaystyle \frac{\, b_{1} \,}{\, b_{2} \,} x_{0} \,) \end{gather*}

以上から、直線を表すベクトル方程式（1.3.4）式から、直線を表す一次方程式（1.3.5）式が得られました。

一次方程式が与えられた場合の法線ベクトル

逆に、直線を表す一次方程式（1.3.5）式から、直線を表すベクトル方程式（1.3.4）式を得ることができます。特に、直線の方程式が αx+βy+γ=0\alpha x + \beta y + \gamma = 0 の形で与えられた場合、（1.3.5）式において、b1=αb_{1} = \alpha かつ b2=βb_{2} = \beta となります。したがって、この直線の法線ベクトル b\bm{b} は次のように求まります。

b=( α  β ) \begin{gather*} \bm{b} = \begin{pmatrix} \, \alpha \, \\ \, \beta \, \end{pmatrix} \end{gather*}

方向ベクトルの場合と同様に、直線を定める法線ベクトルも一意的ではないので、(α,β)(\alpha, \beta) も法線ベクトルの 11 つに過ぎません。例えば、(1, β  α )(1, \displaystyle \frac{\, \beta \,}{\, \alpha \,}) も同じ直線の法線ベクトルであることは、簡単に確かめられます。


まとめ

  • 平面上の直線は（11）直線に平行な方向ベクトル、（22）直線に垂直な法線ベクトル、いずれかのベクトル方程式として表すことができる。

    • （11）方向ベクトルによる直線のベクトル方程式：

      x=x0+ta \begin{equation*} \bm{x} = \bm{x}_{0} + t \bm{a} \end{equation*}

    • （22）法線ベクトルによる直線のベクトル方程式：

      (x−x0)⋅b=0 \begin{equation*} (\bm{x} - \bm{x}_{0}) \cdot \bm{b} = 0 \end{equation*}

  • 平面上に座標系が与えられているとき、直線を表すベクトル方程式は、座標変数に関する一次方程式と同じものになる。

  • 直線の方程式が αx+βy+γ=0\alpha x + \beta y + \gamma = 0 の形で与えられた場合、この直線の（11）方向ベクトル a\bm{a}、（22）法線ベクトル b\bm{b} は、それぞれ次のように求まる（下記は 11 つの例）。

    • （11）方向ベクトル：

      a=( −β  α ) \begin{gather*} \bm{a} = \begin{pmatrix} \, -\beta \, \\ \, \alpha \, \end{pmatrix} \end{gather*}

    • （22）法線ベクトル：

      b=( α  β ) \begin{gather*} \bm{b} = \begin{pmatrix} \, \alpha \, \\ \, \beta \, \end{pmatrix} \end{gather*}


参考文献

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[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
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[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.


初版：2023-08-22   |   改訂：2024-12-12
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