行列の定義（1）

行列（$\text{matrix}$）を定義するとともに、行列の構成要素と用語、表記法について整理します。

行列の定義#

定義 2.1（行列）#

自然数 $m, n$ に対して、$mn$ 個の実数または複素数 $a_{ij} \; (\, 1 \leqslant i \leqslant m, 1 \leqslant j \leqslant n \,)$ を、縦に $m$ 個、横に $n$ 個並べたものを 行列（$\text{matrix}$） といい、$A$ などで表す。

解説#

行列とは（行列の構成要素と用語）#

行列とは、縦に $m$ 個、横に $n$ 個の数（実数または複素数）を並べて配列したものです。

行列の成分（要素）#

行列を構成する個々の数（実数または複素数）を 成分（$\text{component}$） または 要素（$\text{element},$ $\text{entry}$） といいます。

特に、上から $i$ 番目、左から $j$ 番目に並ぶ成分を $(i, j)$ 成分 といって、特定の位置にある成分に言及します。

行と列#

成分の横の並びを行、縦の並びを列といいます。特に、上から $i$ 番目の行を第 $i$ 行、左から $j$ 番目の列を第 $j$ 列といいます。

行列の型（サイズ）#

$m$ 行 $n$ 列の行列を $(m, n)$ 型の行列 や、$m \times n$ 行列 などといい、これを行列の型（またはサイズ）といいます。

特に、$(m, 1)$ 型の行列を $m$ 項列ベクトル（または単に列ベクトル）といい、次の $\bm{a}_{j}$ のように太字で表します。同様に、$(1, n)$ 型の行列を $n$ 項行ベクトル（または単に行ベクトル）といい、次の $\bm{a}^{\prime}_{i}$ のように表します。

実行列と複素行列#

成分がすべて実数である行列を実行列、成分がすべて複素数である行列を複素行列といいます。

また、$(m, n)$ 型の実行列全体の集合を $M_{m,n} (\mathbb{R})$、特に $(n, n)$ 型の場合は $M_{n} (\mathbb{R})$ と表します。複素行列の場合 $M_{m,n} (\mathbb{C})$ などになります。

行列を扱う際の注意点#

成分は実数または複素数であること#

上記の定義の通り、ここでは、行列の成分は実数または複素数であるとしています。

しかしながら、行列の成分として、体（$\text{field}$）の元を考えることもでき、そのように定義している教科書もあります（ [11], [13] など）。

体とは、簡単にいえば、和と積の二項演算が与えられており、交換法則や結合法則、分配法則などの演算規則が成り立つ集合のことです。実数 $\mathbb{R}$ や、複素数 $\mathbb{C}$ は、通常の加法と乗法について体となります。したがって、行列の成分は体の元であるとしても、 上記の定義との整合性は失われません。

このように、行列の成分として代数系（体など）の元を許容することで、例えば、多項式を成分に持つ行列や微分作用素を成分に持つ行列について考えることができます。しかしながら、線形代数の基本的な内容から逸脱するため、ここでは、あくまで、行列の成分は実数または複素数であるとしています。

実数または複素数を表す記号 $: K$#

以降の議論において、実数全体の集合 $\mathbb{R}$ と複素数全体の集合 $\mathbb{C}$ のいずれかを表す記号として $K$ を用います。

これは、「実数または複素数」のように煩雑な表記を避けるためは、それぞれの場合について二重に表現することを避けるためです。このような用法は線型代数学の教科書（ [1], [2], [3] など）でよく使われている用法です。

$K$ という文字は、体を意味するドイツ語（$\text{k\"{o}rper}$）に由来します。したがって、厳密にいえば、実数体と複素数体に限定して $K$ を用いている（任意の体を表す記号として $K$ を用いていない）点で、このような記号の用法は特殊であることに注意が必要です。

行列の相等（等号が成り立つ条件）#

$2$ つの行列 $A, B$ の型が等しく、対応するすべての成分が等しいとき、「行列 $A$ と $B$ は等しい」といいます。また、$2$ つの行列 $A$ と $B$ が等しいことを、等号を用いて「$A = B$」と表します。

以降の項において行列の演算を導入していきますが、$2$ つの行列が等しいということが何を意味するか、明らかにしておくことは重要です。すなわち、$A$ と $B$ が行列として等しいということは、 $A$ と $B$ が同じ型であり、かつ、対応するすべての成分が等しいことを意味しています。

行列の表記法#

成分による表記#

基本的には、 定義の通り、行列の成分を列挙して表記します。

また、上記の行列 $A$ を、次のように表すこともあります。

すなわち、$(i, j)$ 成分が $a_{ij}$ である行列を、その成分を括弧でくくって、$(\, a_{ij} \,)$ のように略記することができます。このような表記法はとても便利ではありますが、文脈により誤解の恐れがある場合は避けるべきです。

列ベクトルや行ベクトルによる表記#

また、上記の行列 $A$ は、列ベクトルや行ベクトルを用いて、次のように表すこともあります。

ここで、$\bm{a}_{j}$ は 列ベクトルを、$\bm{a}^{\prime}_{i}$ は 行ベクトルを、それぞれ表しています。

この表記法も、行列の演算や定理の証明において、行や列のまとまりに着目する際に大変便利です。しかしながら、これもあくまで略記です。誤って、列ベクトルや行ベクトルが行列の成分であるというような勘違いをしないように注意する必要があります。 定義の通り、行列の成分になりうるのはあくまで、実数または複素数です。

まとめ#

• 縦に $m$ 個、横に $n$ 個の数を配列したもの行列といい、$A$ などの文字で表す。

  $$ \begin{align*} A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} \end{align*} $$

• 行列を構成する個々の数を成分または要素という。特に、上から $i$ 番目、左から $j$ 番目に並ぶ成分を $(i, j)$ 成分という。

  • 行列の成分は、実数または複素数である。
  • 成分がすべて実数である行列を実行列、成分がすべて複素数である行列を複素行列という。

• 成分の横の並びを行、縦の並びを列という。特に、上から $i$ 番目の行を第 $i$ 行、左から $j$ 番目の列を第 $j$ 列という。

• $m$ 行 $n$ 列の行列を$(m, n)$ 型の行列や、$m \times n$ 行列などという。

  • 特に、$(m, 1)$ 型の行列を $m$ 項列ベクトル（または単に列ベクトル）といい、$\bm{a}_{j}$ のように太字で表す。
  • 同様に、$(1, n)$ 型の行列を $n$ 項行ベクトル（または単に行ベクトル）といい、$\bm{a}^{\prime}_{i}$ のように表す。

参考文献

[1] 齋藤正彦. 線型代数入門. 東京大学出版会. 1966.
[2] 永田雅宣 他. 理系のための線型代数の基礎. 紀伊國屋書店. 1986.
[3] 川久保勝夫. 線形代数学 [新装版]. 日本評論社. 2010.
[4] 松坂和夫. 線型代数入門 [新装版]. 岩波書店. 2018.
[5] 三宅敏恒. 線形代数学 初歩からジョルダン標準形へ. 培風館. 2008.
[6] S. Lang. Linear Algebra Third Edition. Springer. 1987.
[7] T. Miyake. Linear Algebra From the Beginnings to the Jordan Normal. Springer. 2022.
[8] 雪江明彦. 代数学 $1$ 群論入門. 日本評論社. 2010.
[9] 雪江明彦. 代数学 $2$ 環と体とガロア理論. 日本評論社. 2010.
[10] 桂利行. 代数学 $\text{I}$ 群と環. 東京大学出版会. 2004.
[11] 松坂和夫. 代数系入門. 岩波書店. 1976.
[12] 高木貞治. 代数学講義 [改訂新版]. 共立出版. 1965.
[13] S. Lang. Algebra Revised Third Edition. Springer. 2002.
[14] M. Artin. Algebra Second Edition. Pearson Education Limited. 2014.
[15] 青本和彦 他. 数学入門辞典. 岩波書店. 2005.